中考数学真题：2021恩施州初中毕业学业水平考试

2021年恩施州初中毕业学业水平考试数学试题卷一、选择题：本大题共有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.－6的相反数是()A.－6B.6C.±6D.eq\f(1,6)2.全国第七次人口普查湖北省常住人口约为5780万，将数5780万用科学计数法表示为()A.5.780×108B.57.80×106C.5.780×107D.5.780×1063.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()4.图中几何体的俯视图是()5.下列运算正确的是()A.7a3－3a2＝4aB.(a2)3＝a5C.a6÷a3＝a2D.－a(－a＋1)＝a2－a6.工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人怡好都是男工人的概率为()A.eq\f(3,5)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)7.从eq\r(2)，－eq\r(3)，－eq\r(2)这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有()个．A.0B.1C.2D.38.分式方程eq\f(x,x－1)＋1＝eq\f(3,x－1)的解是()A.x＝1B.x＝－2C.x＝eq\f(3,4)D.x＝29.某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为S，力对物体所做的功W与S的对应关系如图1所示，则下列结论正确的是()图1A.W＝eq\f(1,8)SB.W＝20SC.W＝8SD.S＝eq\f(160,W)图210.如图2，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则▱ABCD的面积为()A.30B.60C.65D.eq\f(65,2)11.如图3，在4×4的正方形网格中．每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是()A.CE≠eq\f(1,2)BDB.△ABC≌△CBDC.AC＝CDD.∠ABC＝∠CBD图3图412.如图4，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于(－3，0)，顶点是(－1，m)，则以下结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③若y≥c，则x≤－2或x≥0；④b＋c＝eq\f(1,2)m.其中正确的有()个A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分．13.分解因式：a－ax2＝________．14.如图5，已知AE∥BC,∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝________．图5图615.《九章算术》被尊为古代数学”群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图6，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？(1尺＝10寸)答：圆材直径________寸；16.古希脂数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数；图形…五边形数1512223551…将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；1第一行512第二行223551第三行……………观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为________．三、解答题：本大题8个小题，共72分．17.(8分)先化简，再求值：1－eq\f(a－2,a＋4)÷eq\f(a2－4,a2＋8a＋16)，其中a＝eq\r(2)－2.18.(8分)如图7，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE.求证：OE⊥AD.图719.(8分)九(1)班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：平均数中位数众数方差甲175ab93.75乙175175180，175，170c(1)求a、b的值；(2)若九(1)班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；(3)根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优．20.(8分)乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图8是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°，观测乙居民楼楼顶C处的伸角为15°，已知甲居民楼的高为10m，求乙居民楼的高，(参考数据：eq\r(2)＝1.414，eq\r(3)＝1.732，结果精确到0.1m)图821.(8分)如图9，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y＝eq\f(k,x)经过点A.(1)求k;(2)直线AC与双曲线y＝－eq\f(3\r(3),x)在第四象限交于点D.求△ABD的面积．图922.(10分)“互联网＋”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网＋”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销，已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．(1)求每千克花生、茶叶的售价；(2)已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克．甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？23.(10分)如图10，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°、⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E,连接CE，已知∠AOC＝∠ACE.(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)若AO＝20,BO＝15，求CE的长．0图1024.(12分)如图11，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B、D(－4，5)两点，且与直线DC交于另一点E.(1)求抛物线的解析式；(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q、F、E、B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M.连接ME、BP，探究EM＋MP＋PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2021年恩施州初中毕业学业水平考试数学试题卷1.B【解析】－6的相反数是6.2.C【解析】5780万＝57800000＝5.780×107.3.B【解析】A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；B、既是中心对称图形也是轴对称图形，故符合题意；C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意．4.A5.D【解析】A、7a3与3a2不是同类项，所以不能运算，错误，故不符合题意；B、(a2)3＝a6，错误，故不符合题意；C、a6÷a3＝a3，错误，故不符合题意；D、－a(－a＋1)＝a2－a，正确，故符合题意．6.C【解析】设三名男工人编号为1、2、3，两名女工人编号为4、5，则有树状图如解图所示：第6题解图∴这两名工人恰好都是男工人的概率为P＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).7.C【解析】由题意得：－eq\r(3)×eq\r(2)＝－eq\r(6)，－eq\r(2)×eq\r(2)＝－2，－eq\r(3)×(－eq\r(2))＝eq\r(6)，∴所有积中小于2的有－eq\r(6)，－2两个．8.D【解析】eq\f(x,x－1)＋1＝eq\f(3,x－1)x＋x－1＝3，∴x＝2，经检验：x＝2是原方程的解．9.C【解析】由题意及图象可设该函数解析式为W＝kS，则把(20，160)代入得20k＝160，解得k＝8，∴该函数解析式为W＝8S.10.B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝5，∴BC＝AD＝5，∵AC⊥BC，AB＝13，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝12，则▱ABCD的面积为BC·AC＝5×12＝60.11.D【解析】∵每个小正方形的边长都为1，∴AB＝4，AC＝2，BC＝2eq\r(5)，CD＝eq\r(5)，BD＝5，∴BC2＋CD2＝25＝BD2，AC≠CD，故C错误；∴△BCD是直角三角形，∴∠BCD＝∠BAC＝90°，∵eq\f(AB,BC)＝eq\f(AC,CD)＝eq\f(2\r(5),5)，∴△ABC∽△CBD，故B错误；∴∠ABC＝∠CBD，故D正确；∵E为BD与正方形网格线的交点，∴CE∥AB，∴∠ABC＝∠BCE＝∠CBD，∴∠DBC＋∠BDC＝∠BCE＋∠ECD＝90°，∴∠BDC＝∠ECD，∴BE＝CE＝ED＝eq\f(1,2)BD，故A错误．12.B【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)＝－1，∴b＝2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在负半轴，∴c<0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线与x轴交于(－3，0)，对称轴为x＝－1，∴抛物线与x轴的另一个交点为(1，0)，当x＝2时，y＝4a＋2b＋c位于x轴上方，∴4a＋2b＋c>0，故②正确；若y≥c，当y＝c时，x＝－2或0，根据二次函数对称性，则x≤－2或x≥0，故③正确；当x＝－1时a－b＋c＝m①，当x＝1时，a＋b＋c＝0②，①＋②得：a＋c＝eq\f(1,2)m，∵对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)＝－1，∴b＝2a，∴a＝eq\f(1,2)b，∴eq\f(1,2)b＋c＝eq\f(1,2)m，故④错误；综上：②③正确．13.a(1＋x)(1－x)【解析】a－ax2＝a(1－x2)＝a(1＋x)(1－x)．14.30°【解析】∵AE∥BC，∠DAE＝50°，∴∠B＝∠DAE＝50°，∵∠BAC＝100°，∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝30°.15.26【解析】如解图，延长DC，交⊙O于点E，连接OA，由题意得CD⊥AB，点C为AB的中点，CD＝1寸，AB＝10寸，∴DE为⊙O的直径，∴AC＝5寸，设OA＝x寸，则OC＝(x－1)寸，∴在Rt△AOC中，AC2＋OC2＝OA2，即52＋(x－1)2＝x2，解得：x＝13，∴圆形木材的直径为26寸．第15题解图16.1335【解析】由图形规律可知，第n个图形是一个由n个点为边长的等边三角形和一个长为n个点，宽为(n－1)个点的矩形组成，则第n个图形一共有eq\f(（1＋n）n,2)＋n·(n－1)个点，化简得eq\f(3n2－n,2)，即第n个图形的五边形数为eq\f(3n2－n,2).分析排成数表，结合图形可知：第一行从左至右第1个数，是第1个图形的五边形数；第二行从左至右第1个数，是第2个图形的五边形数；第三行从左至右第1个数，是第4个图形的五边形数；第四行从左至右第1个数，是第7个图形的五边形数；…，∴第n行从左至右第1个数，是第1＋eq\f(n（n－1）,2)个图形的五边形数．∴第八行从左至右第2个数，是第30个图形的五边形数．第30个图形的五边形数为：eq\f(3n2－n,2)＝eq\f(3×302－30,2)＝1335.17.解：原式＝1－eq\f(a－2,a＋4)×eq\f(（a＋4）2,（a＋2）（a－2）)＝1－eq\f(a＋4,a＋2)＝－eq\f(2,a＋2)；把a＝eq\r(2)－2代入得，原式＝－eq\f(2,\r(2)－2＋2)＝－eq\r(2).18.证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)BD，∴平行四边形AODE是菱形，∴OE⊥AD.19.解：(1)根据折线统计表，甲的成绩如下：160，165，165，175，180，185，185，185，185出现了3次，最多，故数据的众数是185即b＝185；根据题意，得甲的中位数是eq\f(175＋180,2)＝177.5，故a＝177.5；(2)根据题意，得方差Seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(175－175)2＋(180－175)2＋…＋(175－175)2]＝37.5，Seq\o\al(2,甲)＝93.75，∵Seq\o\al(2,甲)＞Seq\o\al(2,乙)，∴选择乙参见；(3)从中位数的角度看：∵甲的中位数是177.5＞乙的中位数是175，∴甲的成绩略好些；从方差的角度看：∵Seq\o\al(2,甲)＞Seq\o\al(2,乙)，∴乙的成绩更稳定些．20.解：如解图，分别过C、D作CF⊥BD，DE⊥BC，垂足分别为E、F∵在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，AD＝10∴BD＝20，BA＝10eq\r(3)，∵在Rt△CFD中，∠CDF＝∠CDE＋∠BDE＝45°，∴CF＝DF，∵在Rt△CFB中，∠CBF＝60°，∴tan∠CBF＝eq\f(CF,BF)＝tan60°＝eq\r(3)，BF＝eq\f(\r(3),3)CF＝eq\f(\r(3),3)DF，∴BD＝BF＋DF＝eq\f(\r(3),3)DF＋DF＝20，即DF＝CF＝10(3－eq\r(3))，∵在Rt△CFB中，∠CBF＝60°，CF＝10(3－eq\r(3))，∴sin∠CBF＝eq\f(CF,BC)＝eq\f(\r(3),2)，即eq\f(10（3－\r(3)）,BC)＝eq\f(\r(3),2)，解得BC＝20eq\r(3)－20≈14.6m，∴乙居民楼的高14.6m.第20题解图21.解：(1)如解图，过点A作AE⊥x轴于点E，第21题解图∵∠ABC＝30°，BC＝4，∠BAC＝90°，∴AC＝eq\f(1,2)BC＝2，∠ACB＝60°，∴∠EAC＝30°，∴EC＝eq\f(1,2)AC＝1，∴在Rt△AEC中，AE＝eq\r(AC2－CE2)＝eq\r(3)，∵点O是BC的中点，∴OC＝2，∴OE＝1，∴A(1，eq\r(3))，∴k＝1×eq\r(3)＝eq\r(3)；(2)由(1)可得：A(1，eq\r(3))，C(2，0)，∴设直线AC的解析式为y＝kx＋b，则把点A、C代入得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝\r(3),2k＋b＝0))，解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\r(3),b＝2\r(3)))，∴直线AC的解析式为y＝－eq\r(3)x＋2eq\r(3)，联立y＝－eq\r(3)x＋2eq\r(3)与反比例函数y＝－eq\f(3\r(3),x)可得：－eq\r(3)x＋2eq\r(3)＝－eq\f(3\r(3),x)，解得：x1＝3，x2＝－1(不符合题意，舍去)，∴点D(3，－eq\r(3))，∴S△ABD＝S△ABC＋S△BCD＝eq\f(1,2)×4×(eq\r(3)＋eq\r(3))＝4eq\r(3).22.解：(1)设每千克花生的售价为(x－40)元，每千克的茶叶售价为x元，由题意得50(x－40)＝10x，解得x＝50，∴花生每千克的售价为50－40＝10元；答：每千克花生的售价为10元，每千克的茶叶售价为50元；(2)设茶叶销售了m千克，则花生销售了(60－m)千克，所获得利润为w元，由题意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6（60－m）＋36m≤1260,60－m≤2m))，解得20≤m≤30，∴w＝(10－6)(60－m)＋(50－36)m＝10m＋240，∵10＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝30时，w有最大值，最大值为w＝10×30＋240＝540；答：当花生销售30千克，茶叶也销售30千克时可获得最大利润，最大利润为540元．23.(1)证明：∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵∠OEC＝∠A＋∠ACE，∴∠OCE＝∠A＋∠ACE，∵∠AOC＋∠OCE＋∠ACE＋∠A＝180°，∠AOC＝2∠ACE，∴2∠ACE＋∠OCE＋∠OCE＝180°，即∠ACE＋∠OCE＝90°，∴∠ACO＝90°，即OC⊥AB，又∵OC是⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线；(2)解：如解图，过点E作ED⊥AB于点D，第23题解图∵∠AOB＝90°，AO＝20，BO＝15，∴AB＝eq\r(AO2＋BO2)＝25，∴sinA＝eq\f(BO,AB)＝eq\f(3,5)，cosA＝eq\f(AO,AB)＝eq\f(4,5)，在Rt△AOC中，sinA＝eq\f(OC,AO)＝eq\f(OC,20)＝eq\f(3,5)，cosA＝eq\f(AC,AO)＝eq\f(AC,20)＝eq\f(4,5)，解得OC＝12，AC＝16，∴AE＝AO－OE＝AO－OC＝20－12＝8，∵ED⊥AB，OC⊥AB，∴ED∥OC，∴△AED∽AOC，∴eq\f(DE,OC)＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AO)，即eq\f(DE,12)＝eq\f(AD,16)＝eq\f(8,20)，解得DE＝eq\f(24,5)，AD＝eq\f(32,5)，∴CD＝AC－AD＝16－eq\f(32,5)＝eq\f(48,5)，在Rt△CDE中，CE＝eq\r(DE2＋CD2)＝eq\r(（\f(24,5)）2＋（\f(48,5)）2)＝eq\f(24,5)eq\r(5).24.解：(1)∵四边形ABCD为正方形，D(－4，5)，∴AD＝AB＝5，A(－4，0)，∴AO＝4，∴OB＝1，∴B(1，0)，把点B、D坐标代入得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16－4b＋c＝5,1＋b＋c＝0))，解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2,c＝－3))，∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3；(2)由(1)可得B(1，0