弹性力学课件

第一章绪论§1.1弹性力学的内容§1.2弹性力学的几个基本概念§1.3弹性力学的基本假定§1.1弹性力学的内容1.弹性体力学：简称弹性力学，有称弹性理论（TheoryofElasticity)，研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。研究对象：弹性体研究目标：变形等效应，即应力、形变和位移。2.对弹性力学、材料力学和结构力学作比较弹性力学的任务和材料力学,结构力学的任务一样,是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移,校核它们是否具有所需的强度和刚度,并寻求或改进它们的计算方法.(1)研究对象：材料力学主要研究杆件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力、形变和位移；结构力学研究杆系结构，如桁架、钢架或两者混合的构架等；弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外（对杆件进行进一步的、较精确的分析），还研究平面体、空间体，板和壳等。(2)研究方法:弹性力学与材料力学有相似，又有一定区别。弹性力学：在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出精确解答。材料力学：虽然也考虑这几个方面的的条件，但不是十分严格。一般地说,由于材料力学建立的是近似理论,因此得出的是近似的解答。但对于细长的杆件结构而言,材料力学力解答的精度是足够的,符合工程的要求。弹性力学:梁的深度并不远小于梁的跨度，而是同等大小的，那么，横截面的正应力并不按直线分布，而是按曲线变化的。qq例如：材料力学:研究直梁在横向载荷作用下的平面弯曲，引用了平面假设，结果：横截面上的正应力按直线分布。这时，材料力学中给出的最大正应力将具有很大的误差。结构力学：研究杆系结构，弹性力学通常并不研究杆件系统，但在20世纪50年代中叶发展起来的有限单元法中(基于弹性力学的理论)，把连续体划分成有限大小的单元构件，然后用结构力学里的位移法、力法或混合法求解，更加显示了弹性力学与结构力学结合综和应用的良好效果。弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科中占有重要的地位。许多非杆件形状的结构必须用弹性力学方法进行分析。例如，大坝，桥梁等。xzyo§1这.2弹性模力学美中的心几个脊基本婆概念弹性贼力学慢的基丈本概绸念:外力日、应绿力、冰形变蚁和位些移1.外力：体积唇力和比表面偿力，煎简称体力和面力体力：分毒布在穴物体塞体积丸内的氏力，狡例如裹重力旺和惯券性力踢。

VPf

Ffxfyfzf:极限拾矢量,即物橡体在P点所初受体两力的慨集度炸。方坝向就套是

F的极解限方童向。fx,花fy,务fz：体架力分版量,沿坐炊标正骂方向邻为正禾，沿凳坐标致负方脊向为雀负。量纲模：N/嚼m3=k侵g∙m泄/s2∙m3=k党g/谜m2∙s2即：L-2MT-2fx,fy,fz：体力分量。xzyof

SP面力：分未布在穗物体况表面踏的力贪，例血如流忍体压弓力和飞接触僵力。

Ffyfzfx量纲途：N/侵m2=k至g∙m连/s2∙m2=k丈g/滨m∙果s2即：L-1MT-2f:

极限矢量,即物体在P点所受面力的集度。方向就是

F的极限方向。沿坐侄标正务方向萄为正承，沿壶坐标假负方屠向为就负。符号叔规定:内力：发生踪蝶在物潜体内击部的宏力，即物鞋体本跨身不衣同部案分之残间相趴互作保用的尾力。xzyoP

Aτ

p

FⅠⅡ2.应力：单位蜂截面练面积蝴的内务力.p:极限烧矢量,即物朗体在土截面mn上的、类在P点的趋应力少。方固向就押是

F的极颠限方追向。量纲昂：N/偷m2=k览g∙m逝/s2∙m2=k拜g/禾m∙丑s2即：L-1MT-2应力些分量赤：

，

ABC

zy

zx

z

yz

yx

y

xy

xz

x

y

yz

yx

zy

z

zx

xy

xz

xPyxzOPA飘=

x,爷PB浅=

y编,只PC乖=

z

x,

y,

z,

xy标,

xz匙,

yx驾,

yz否,

zx奋,

zy,正面熊：截面再上的非外法故线沿史坐标怪轴的蜂正方养向正面闯上的直应力以沿盖坐标受轴的正方浇向为阴正，沿壳坐标烫轴的负方嘴向为舌负。负面：截面铁上的步外法宝线沿印坐标浓轴的盖负方球向负面骆上的铲应力以沿物坐标电轴的负方军向为氏正，沿腥坐标馒轴的正方谎向为池负。正应铅力符但号规烤定与烟材力阳同，渗切应骂力与慌材力帮不相糊同。符号挣规定:（不膝考虑男位置,把应猫力当瞧作均店匀应扇力）ABC

zy

zx

z

yz

yx

y

xy

xz

xb

y

yz

yx

zy

z

zx

xy

xz

xaPyxzo连接逮前后衣两面欢中心蒜的直坟线ab作为路矩轴苹，列米出力羊矩平足衡方湾程，水得得:同理乡丰可得:切应挤力互膊等定妻理：作用间在两慈个互旧相垂勿直的稍面上非并且控垂直奸于该国两面臣角线塌的切财应力渴是互嚼等的(大小屠相等,正符差号也暮相同)。可以众证明,已知

x,

y,

z,

yz秒,

zx项,

xy厌,就可欠求得聚该点棵任意悬截面援上的,帜.因此墙，此环六个盟应力农分量绪可以膏完全菜确定嫩该点炼的应恒力状索态。

zy

zx

z

yz

yx

y

xy

xz

x

y

yz

yx

zy

z

zx

xy

xz

xPyxzOABCABC

zy

zx

z

yz

yx

y

xy

xz

x

y

yz

yx

zy

z

zx

xy

xz

xPyxzO用各耀部分脱的长昼度和陶角度艇来表宗示。PA挎=

x,炸PB唇=

y练,棍PC洽=

z线应阵变：单位偶长度却的伸岂缩或吨相对辫伸缩,亦称塞正应局变.用

表示切应挂变：各善线段牢之间士的直摆角的稍改变.用

表示3.形变：就是它形状揭的改达变。ABC

zy

zx

z

yz

yx

y

xy

xz

x

y

yz

yx

zy

z

zx

xy

xz

xPyxzO

x:x方向胡的线扛段PA的线患应变愉。

xy:y与x两方伞向的浴线段PB与PC之间融的直左角的锻改变通。

:伸长晓为正呈，缩短余为负妥。量纲猜：1符号主规定:

:直角象变小航为正，变践大为乓负。可以栽证明,已知

x,

y,

z,

yz脖,

zx睬,

xy码,就可怖求得荒经过景该点希任一谁线段过上的督线应糠变.也可雕以求汇得经厕过该霉点任班意两劣个线央段之碌间的友角度掉的改予变。吹因此蹦，此火六个取形变趋分量嘱可以境完全返确定严该点乘的形明变状站态。4.位移：就是耀位置肥的移按动。任意纸一点亩的位散移用蚊它在x,席y,露z三轴肚上的训投影u,籍v,宵w来表猫示.量纲乞：L符号溪规定:沿坐荒标轴妖正方温向为浊正,沿坐至标轴百负方危向为叫负，一般护而论势，弹沾性体叙内任乖意一胞点的判体力鲁分量大、面末力分伞量、欠应力羽分量律、形胜变分艺量和车位移鱼分量湖都随植该点牧的位河置而寇变，前因而烛都是必位置渠坐标窜的函足数。§1撇.3弹性痰力学讯中的狮基本痒假设在弹京性力砍学的狠问题蓬里,通常爬是已知物体薪的边界(形状市和大夹小),物体麦的弹性习常数,物体摸所受莫的体力,物体序边界骄上的约束拍情况穷或面液力,而应力荒分量、形变筛分量涂和位鸣移分屠量则是需要谨求解唱的未茫知量.一.研究竹方法1.考虑闻静力吃学、烤几何无学和慎物理哗学三若方面汉条件墨，分皮别建立事三套姓方程。建立响微分蚂方程更：根据姨微分昌体的帆平衡咽条件；建立葱几何粮方程危：根据惑微分桑线段匠上形俱变与径位移靠之间妙的几何椒关系伍；建立题物理典方程葬：根据泻应力祝与形笨变之她间的漂物理唇关系固。2.在弹巨性体叙的边爱界上灿，建脆立边界揉条件。应力亩边界犹条件浙：在给袍定面青力的友边界法上，睬根据汗边界通上的微侦分体供的平视衡条鹊件；位移戏边界拔条件秒：在给辈定的框约束阳边界揉上，羽根据阵边界流上的约露束条澡件。求解可弹性沿力学际问题迹，即弯在边弓界条体件下似根据愈平衡集微分声方程馒、几沉何方苍程、敲物理朗方程吼求解勤应力茫分量砍、形地变分收量和敞位移芦分量姑。为使爆问题鹿求解叉成为预可能膀，通驻常必伶须按棚照所隙研究障的物布体性特质，与以及对求解推问题饱的范童围，禾略去脏一些虾影响配很小剥的次惭要因霉素，武作出蓝若干页基本司假定卧。二.弹性臣力学兽的基惜本假绵定(3驻)均匀吵性—假定音物体词是均喘匀的.(1建)连续提性—假定朋物体且是连值续的.(4掀)各向秧同性—假定个物体氏是各构向同定性的.符合授以上汪四个宫假定征的物抽体，猾就成宰为理填想弹顾性体.(2肌)完全缺弹性—假定蜜物体饮是完茫全弹理性的.形变秒与引凯起变的撕应力怜成正库比,即两办者成厌线性妇关系.(5互)小变永形假僚定—假定达位移爷和形焦变是末微小颂的.它包均含两血个含雹义：ⅰ假定掏应变阳分量<<御1.例如五：普幅通梁来中的嫩正应毙变

<<10-3<<1,切应婆变<<思1盲;ⅱ假定代物体茄的位废移<<物体岂尺寸.例如菊：梁宵中挠度<<梁的高度这样屠，在绘建立含平衡许微分档方程混时，贵可以乎用变王形前悉的尺趴寸代炉替变里形后反的尺刊寸，筹从而罗使方揉程大早为简倒化；在建候立几毁何方堤程时料，由紫于

<<1，可以津在同倍一方礼程中皂只保甲留形崭变成引分的骗一次斧幂，需而略呼去二保次幂宵及更恶高次旋幂，轿从而情使几齐何方伴程成舞为线纱性方购程。例如旗：对酿于微负小转禾角a，对于捞微小辜正应努变e，这样扭，弹贤性力族学里葛的几龙何方鞋程和碌微分这方程瞎都简多化为旗线性跪方程顺，弹徒性力职学问图题都毒化为祝线性席问题废，从外而可纳以应宋用叠玩加原捐理。第二苗章纲平面含问题研的基挖本理毫论§2夺.1平面笔应力粉问题践与平轿面应悼变问旦题§2胖.2平衡途微分较方程§2石.3平面傍问题高中一欺点的砖应力夕状态§2类.4几何杏方程闷刚岸体位略移§2坦.5物理西方程§2闸.6边界执条件§2请.7圣维亮南原坟理§2宣.8按位拉移求略解平睬面问罚题§2廉.9按应匀力求衫解平今面问溪题烤相晌容方营程§2奶.1真0常体拜力情妇况下春的简朴化气应力器函数§2肤.1平面脚应力金问题鹅与平刺面应燥变问竟题如果罚弹性立体具童有某疲种特莫殊的责形状穴，并未且承府受的恩是某宁些特浮殊的朴外力奥和约烈束，芽就可帖以把丘空间维问题尊简化告为近孤似的涌平面卖问题纳。一.第一武种平呆面问家题—平面澡应力昨问题xyozyd/2d/2这类问题的条件是：弹性体是等厚度(d)的薄板，体力、面力和约束都只有xy平面的量(fx,fy,fx,fy,u,v),都不沿z向变化；并且面力和约束只作用于板边，在板面()上没有任何面力和约束的作用。因板办很薄沙，外苍力不更沿厚男度变题化，贝应力沟沿板凤厚连脉续，澡有由切擦应力亮互等横定理粉：只剩闷下平昌行于xy面的三个告平面他应力壳分量舞，即

x,

y,

xy=yx所以凭这种宿问题缓称为平面卷应力宗问题。xyozyd/2d/21.设薄湾板的渴厚度格为d,xy为中喇面,z轴垂槐直于xy面.因为烈板面酿上不受旬力，停所违以2.由于芦物体低形状线和外御力、栋约束医沿z向均楼不变忠化,故

x,

y,

xy只是x,诉y的函阴数,ex,ey,gxy也只盐是x,琴y的函减数,但位锐移与z有关破。二.第二毁种平练面问呼题—平面夸应变企问题oyx这类问题的条件是：弹性体为常截面的很长的柱体，体力、面力和约束条件与平面应力问题相似，只有xy平面的体力fx,fy；面力fx,fy和约束u,v的作用，且都不沿z向变化。§2恋.2平衡蹲微分浴方程在弹棵性力赴学中箩分析烫问题挂，要坝考虑虽静力孔学、惹几何截学和闻物理网学三器方面箱条件厉，分轧别建租立三敲套方熔程。首先践考虑轻平面冻问题毯的静渣力学拾方面乌，建得立微飘分体稿的平衡款微分票体方州程—应力韵分量欠与体杏力分途量之青间的偷关系沙式。zyd/2d/2oyxxyo从图纪示薄究板或狂柱形狐体中辈，取莲出一歪个微嘉小的粉正六置面体吃，边凶长为dx,dy,在z方向童的尺萌寸取召为1个单竿位尺兆寸。xyodxdy一般马而论,应力蚀分量苏是位虽置坐蒙标x和y的函隆数,因此,作用删于左偶右两之对面枝或上红下两蜜对面伙的应匆力分歇量不皆完全语相同,有微弹小的替差。oxy

x略去招二阶蓝及二讲阶以摔上的底微量旱后得凤：例：胸设作蜓用于行左面夜的正怜应力阅为

x，则橡右面澡的正讯应力而由于x坐标监的改谱变而虎改变克，可由泰勒展丛开得瓦：若

x为常量,则,左右两面都是

x,即为均匀应力。泰勒展分开式oxy

x同理闲，设徒左面拣的切润应力淋为

xy，则右面缓的切举应力贝为

xy

y

yxCfxfy设上淘面的述正应乒力及碑切应克力为

x,

xy，则塑下面哄的正歌应力踪蝶其切暮应力鸟为因六燃面体消是微惧小的,所以,各面秤的应适力可乌认为躬是均宗匀分外布,作用慕在对艰应面泰中心.所受升体力陪也可宏认为荐是均辞匀分储布,作用卸在对纸应面矩中心蹦。oCxy

y

yx

xy

xfxfy首先匆，以净过中地心C并平作行于z轴，海列出将上天式除辜以dxdy,得令dx,dy趋近绳于零编，得这正办是切世应力饿互等秋定理深。oCxy

y

yx

xy

xfxfy其次愚，以x轴为根投影民轴，苗列出将上钟式除谷以dxdy,得同样哪，以y轴为攀投影稠轴，恶列出胖可众得一款个相缎似的晴微分专方程于是弦得出应力隶分量禾与体涂力分甚量之冤间的油关系搭式—平面脑问题庙中的嫌平衡姐微分妖方程。这2个微傅分方迎程中俗包含3个未屡知函基数

x,

y,

xy=yx,因此俊，决洽定应葵力分量量的极问题镰是超掘静定希问题亡，必镰须考段虑几尽何方估程和槐物理推学方次面的馆条件墓，才讽能解固决问钟题。对于锈平面给应变受问题,微分盆体一证般还代有作诱用于精前后摩两面着的正躲应力

z,但不爪影响扫上述桨方程康的建扇立,上述俘方程责对于妄两种蚁平面号问题馒同样黎适用滴。§2舒.3平面舅问题鸦中一以点的象应力察状态Oxy

y

yx

xy

xPBAsn

nOxy

y

yx

xy

x

y

yx

x

xyP应力女状态就是赌指一但点处冠所有类斜截葱面上枕的应睛力的腔集合谷。假定唉已知昌任意缩慧点P处坐巴标面难的应踩力分咳量

x,

y,

xy=yx,求经劝过该烧点且砖平行您于z轴的圈任意申斜截芬面上赖的应尖力。pypxpOxy

y

yx

xy

xnPBA用n代表凯斜截烛面AB的外邮法线父方向抄，其搂方向呼余弦树为设AB=ds,则PA仔=lds,建PB敲=mds,S

PA保B=ldsmds/2设垂佩直于粉平面克的尺催寸为1。由得其中fx为x方向童得体朵力分秧量。将上狗式除拥以ds,然后狠命ds趋于0（AB→0）得同理由得一.求任伶意斜笋截面芽上的漏正应未力

n和闷切应云力

nsn

npypxpOxy

y

yx

xy

xnPBA令斜赵截面窜得正觉应力催为

n,切应刚力为

n.由px,py投影口得可见洽，已域知点P处的花应力钓分量

x,

y,

xy=yx,就可袭求得暑经过汽该点棵的任牙意斜递截面璃上的剧正应段力

n和筋切应辣力

n。Oxy

y

yx

xy

x

y

yx

x

xyP

1

2

1

2a1sn

nOxy

y

yx

xy

xPBA二.求主盘应力林及主螺应力妙的方买位—应力冻主向应力臣主面渔上

=闯0，=p投影遇得代入得pypxp由上库两式皂分别隐解出m亦/轰l击,得于是开，有解得Oxy

y

yx

xy

x

y

yx

x

xyP

1

2

1

2a1易得下面彼求主约应力胶方向即得即得设

1与x轴的逢夹角检为

1设

2与x轴的瘦夹角泻为

2Oxy

y

yx

xy

x

y

yx

x

xyP

1

2

1

2a1由得于是轻有就是嗓说，

1,

2的方半向互宵相垂贼直。从材逢料力柜学知便识我赚们知宗道与应活力主玩向成450的斜笼面上巡寿。§2状.4几何毁方程犁刚体输位移xyOPBAuP'A'B'

同理PB的线做应变数：PA的线袭应变俯：一.几何峰方程识：任一腾点的丢微分笨线段炎上的晴形变催分量燃与位移奶分相量之呼间的洽关系筛式。v设同理PB的转杀角：PA与PB之间四的转比角：xyOPBAuP'A'B'

vPA的转牲角：几何刻方程便：上列撒几何颂方程忠对两猾种平站面问谣题同增样适腐用。二.形变刺与位嚷移之寨间的椒关系1.如果全物体腹的位朱移确扇定，齿则形越变完并全确陷定。从物晕理概命念:当物鲜理变种形后呢各点系的位韵置完晶全确筒定,任一季微分队线段腐上的轨形变别（伸忘缩、今转角舞等）哥也就橡完全指确定轧了.从数书学概灾念:当位确移函券数确仔定时晌，其追导数怒也就塘确定副了。2.当物桶体的寇形变现分量充确定勿时，砖位移索分量威不完裂全确挪定。从物团理概颜念:在物读体内玩形变照不变昆的条杯件下,物体分还可坟以做接刚体恰运动—平动留和转抄动,即还屠有刚劫体运娃动的挖人任航意性.从数赖学概冠念:由形穴变分误量求密位移店分量矮是一芹个积饲分的牢过程坐，在赠常微两分中略，会数出现恭一个纠任意穿常数获；而史在偏芝微分丛中，眯要出复现一怜个与常积分体变量碌无关猾的任糟意函治数。详这些创任意凭函数浪是未痰定项灭，这些天未定同项正桥是刚呢体平彻移和的刚体协转动劫量。若假漏设怎求出农相应坏的位帆移分迈量。代入俊几何明方程仇：将前熔二式尸对x及y积分凯，得F1及f2为任尺意函顿数。沸代入衣几何腥方程雀中的截第三岗式，激得方程案左边工是y的函闻数，伯只随y而变牺；而右批边是x的函抚数，委只随x而变培。因此拿，只键可能绍两边罢都等徒于同劈燕一常逗数。于是兽得积分耕得其中u0及v0为任赌意常怒数。代入得这就腊是“形凝变为崭零”时的窗位移眨，也只就是羽所谓洪“与愈形变点无关设的位支移”，因悟此必逮然是刚体增位移。下面烂根据姜平面目运动冲的原怨理加遵以证哨明。u0及v0分别绢为物线体沿x轴及y轴方盆向的斧刚体彩位移唇，而

为物态体绕z轴得也刚体馒转动弯。Pxy

xy

Oz

yx当只有u0不为零时，物体内任一点位移分量.物体的所有各点只沿x方向移动同样距离u0，所以u0代表物体沿x方向的刚体位移。坐标唉为(x,但y)的任吵一点P沿y方向壁移动x,沿x负方尚向移仙动y,合成横位移糟为同样,v0代表舱物体扒沿y方向艺的刚跃体位厘移。当只广有

不为危零时,物体培内任苹一点架位移该分量Pxy

xy

Oz

yx可见,合成感位移燃的方漆向与晃径向艳线段OP垂直,也就披是沿席着切种向.因OP线上喷所有莫点移撕动方床向都映沿着蹈切线,且移慨动的艺距离夕为

,可见

代表胜物体枕绕z轴的耳刚体见转动喊。既然秃物体给在形墨变为疯零时匠可以丛有刚只体位欢移，愁那么归，当离物体糠发生笨一定驼形变饶时，盖由于董约束塞条件滩不同给，可帖能有音不同慕的刚杆体位穷移，怖为了贿完全狠确定妄位移丸，就锹必须凶有适笨当的持刚体堂约束戴条件石。§2俭.5物理画方程物理赛方程:应力抚分量烂和形叔变分侄量之阀间的稍物理坦关系感式.在理浑想弹窝性体乞（满响足连往续性竟，完踢全弹鸟性，宏均匀芳性和存各向漠同性膝）中舅，物雕理方顿程就掘是材钳料力美学中炒学过叠的胡薄克定怠律：物理泰方程汪有两种科形式：1.

皂=阀f(

)此式危是用勿应力突表示星应变魔，其及中应杠力取槽为基苹本未富知数衬，用妹于按应宽力求踩解。2.=善f(

)此式蒸是用姿应变掩表示也应力评，其打中应诵变取挡为基硬本未虎知数烤，用召于按位顺移求拨解。胡克后定律忽的一透般形君式：E是弹尾性模味量，G是切币变模好量，馋又称耗刚度封模量环，

称为亩泊松者系数石，或积泊松抢比。一.平面餐应力控问题锐的物推理方辜程将恩代入膏上式赏得独康立的皮物理猾方程另外萌：因

z可由

x,劳

y求出,故不睁作为想独立示的未早知函软数。二.平面犹应变奶问题梨的物忧理方施程将制代入梦上式宪得独垮立的藏物理则方程另外俩：因

z可由

x,舒

y求出,故不伟作为缝独立匆的未勿知函讽数。与平竞面应轻力问矿题的这物理吼方程店对比摄，只坦需将E换为，

换为对于变两类亏平面书问题盐，三男套方醋程除伏了物开理方葱程中条的系始数须询变换俩外,其他逐平衡趋方程什和几污何方强程是叉完全挖相同吵的.三套显方程寄中包普含8个未彩知函貌数：

x,萍

y,字

xy=yx,帝

x,刚

y,袍

xy及u,元v药.还需逃考虑翠边界辱条件,才能造求出赴这些瞧未知正函数.§2乘.6边界葱条件边界久条件表示倒在边继界上擦位移点与约袜束，肉或应棍力与蔑面力花之间善的关葬系式拾。它互分为位移救边界素条件、应力利边界斩条件和混合盆边界软条件。一.位移等边界反条件设在部分边界上给定了约束位移分量u(s)和v(s),则对于边界上的每一点，位移函数u,v应满足条件（在su上）其中(u)s和(v)s是位移的边界值，u(s)和v(s)在边界上是坐标的已知函数。位移趴边界亦条件注意1.上式猫要求在s上任亏一点特位移壳分量氧必须诞等于上对应肃的约疏束位海移分喷量。（在su上）2.上式携是函数烂方程，而框不是它简单派的代录数方榆程或阀数值慎方程搂。位移馒边界腔条件葵实质松上是夺变形脾连续盏条件尤在约耐束边悉界上夸的表睡达式。设n为斜慕截面握的外暴法线宗方向晴，其荣方向偏余弦二.应力抚边界撑条件设在s

部分边界上给定了面力分量fx(s)和fy(s),则可以由边界上任一点微分体的平衡条件，导出应力与面力之间的关系式。在边涨界上饿任一喇点P取出榜一个际微分霞体,斜面AB就是且边界盾面,

x,

y,

xy为应叨力分轮量边窄界值异。oxy

y

yx

xy

xPBAfxfy边界兼为斜傲截面丈时n设AB炸=ds，z方向权厚度派为1由平狱衡条够件，当得出丛微分余体的墨应力访分量飘与边堆界面面上的衰面力巾之间既的关闯系：（在s

上）其中在边界上是坐标的已知函数，l,m

是边界面外法线的方向余弦。fx(s)和fy(s),oxy

y

yx

xy

xPBAfxfyn除以ds，并令ds→0，得同理阴：于是夜，得调到应力边荒界条恶件3.在导宫出应驱力边才界条泪件时,只考嘱虑到屠面力(一阶壶微量),不需龟考虑搭二阶领微量—体力脉。4.应力瞧边界警条件阴是边纳界点抚上微挤分体蔑的平渐衡条集件，脚也属朝于静挪力边歪界条嫩件。（在s

上）注意1.应力拦边界织条件帅表示痕边界s

上任郑一点种的应相力和呀面力惠之间纲的关偏系。晃也是凭函数翁方程科，在s

上每颂一点皇都应护满足贴。2.上式饰中的岸面力救、应劣力都悠有不世同的熄正负烟符号糠规定勤，且尼分别筋作用离于通免过边兄界点隙的不涝同面斑上。2.边界秧为坐钩标面级时若x=劝a为正x面，焦则有若x=简b为负x面，滑则有oxy

y

yx

xy

xPBAfxfyaoxy

y

yx

xy

xPBAfxfyb正负x面上辞的面炒力分馆量一存般为遵随y而变暑化的集函数团。l=－1,m=0l=宴1,m=0（在s

上）3.应力匪边界味条件蚁的两肺种表痒达方锯式(1姥)在边桨界点逐取出胞一个夺微分链体，缺考虑斩其平纠衡条洲件，百得出（在s

上）(2乔)在同图一边林界面趁上，繁应力东分量服的边录界值耍就等绵于对苏应的落面力利分量靠。应力界分量种的绝依对值况等于婚对应献的面封力分么量的剧绝对矿值，碧面力恼分量诉的方极向就岩是应数力分播量的赛方向阻。即数特值相据同，调方向金一致。例如疗：若叹边界目面y=绩c,潮d分别许为正存、负仍坐标永面在斜疯截面商上：px,据py为斜震截面驻应力oxy

y

yx

xy

xPfxfyd

y

yxfyox

y

yx

xy

xPfxc

yx

yyoxy

y

yx

xy

xPfxfypxpy三.混合幸边界购条件物体中的一置部分忍边界病具有共已知普位移荐，因诸而具持有位菜移边对界条绸件，鸭如（在su上）另一淡部分匠边界阻则具倘有已录知面附力，画因而坊具有省应力猪边界捕条件（在s

上）在同两一边捐界上泼还可促能出丧现混书合边铺界条贞件,即两联个边夸界条丙件中吗一个弓是位毅移边僵界条扒件,另一宫个则过是应坑力边扣界条询件.oxyx方向y方向x方向y方向oxy§2探.7圣维颈南原地理及毁其应昂用求解男弹性钓力学赔问题说时，欣应力感分量绒、形育变分封量和度位移想分量赔必须竞满足摸三套虹方程凤，还裤必须覆满足窑边界览条件橡，但拼要使盆边界辰条件再得到骄完全恰满足崖很困疗难。圣维努南原液理为虽简化虾局部蔑边界扰的应班力边而界条柏件提铅供了顺有效师的方蹲法。圣维动南原紫理：如果方把物池体的顶一小部园分边建界上的仅面力,变换巷为分选布不植同但静力院等效的面妥力(主矢仪量相框同，豆对于继同一掌点的魄主矩蓄也相容同),那么,近处押的应顽力分真布将超有明沉显的佣改变,但是眠远处临所受杏的影统响可凭以不看计。1.圣维礼南原间理只暮能应未用于一小时部分还边界粉上，又武称为局部陆边界，小边锦界或次要饲边界。一.圣维膏南原抵理应日用的返条件所谓逗“近处”,根据疲经验,一般气地讲工大约萌是变列换面封力的边界汁的1~取2倍范挎围内,此范池围之带外可目认为强是“躬远处孝”。如果迷将面帜力的女等效桃变换质范围陆应用轧到大边弃界(又称越为主要男边界)上,则必秘然使袜整个终的应辅力状舟态都超改变僚了。否因此,不适奸用圣冷维南证原理。FF/2F/2FFFq2.小边倡界的悄面力业变换坚为静力返等效的面厚力.3.经变资换后颤，只扯对近割处的希应力辩分布惭有明诱显的钩影响该，但风远处粥的应钓力几牌乎不享受影恢响。FF/2F/2FFFF/2F/2F/2F/2F/2F/2(a哨)(b鞭)(c北)例如诸：如将什一端昏或两痒端的F变换湖为静力递等效的力,如图(b府),罢(果c)偿,宜(d苏).则只区有虚室线划各出的蓄部分兽应力滥分布吩有显突著改概变,其余俭部分糖所受疲影响照可不妄计。(d惕)F/AF/A图(d辞)所示典情况币，由寺于面盒力连鞋续均淋匀分药布，驳边界绒条件夕简单讲，应拌力很依容易圣求解纽奉并且汁解答低很简革单。涂而其纳他三贫种情晶况，铃由于她面力遣不连愿续分夸布，袖甚至处不知眉其分照布方刚式，虚应力菊难以区求解爹。根话据圣腰维南棒原理录，可将(d那)的应通力解候答应把用于路其他芒三种窜情况。应用倍圣维秒南原污理的拦条件截是满届足静力云等效。即挨使物溉体一沾小部叹分边记界上悄的位移秆边界勺条件转不能岔满足颜时，鼻仍可仍以应钥用圣斑维南抓原理颤。F/AF/AF(e遍)(d奔)图(e)右端是固定端，有位移边界条件(u)s

=u=0和(v)s

=v=0,把(d)的解答应用于这一情况时，位移边界条件不能满足,但右端的面力静力等效于过形心的力F(与左边的力F平衡),满足圣维南原理的条件,(d)的解答仍可应用于这一情况时,只是在靠近两端处有显著的误差,而在较远处误差可不计。如果舱物体似一小升部分杠边界笼上的烈面力推是一牵个平衡酒力系（主犹矢量阁和主初矩都敌等于答零）商，那叛么，弹这个感面力葱就只陡会使润近处算产生指显著牵的应裳力，晶而远华处的标应力净可以断不计塔。这是高因为扎主矢很量和竿主矩兔都等孟于零曾的面践力，险与无雹面力筒状态毁是等勤效的句，只亿在近吼处产付生显宫著的蒸应力梢。例如眨：FFFF4.圣维题南原朵理还鹿可以危推广边到下络列情麦形xyh/2h/2llO在应唉力边挤界条狮件上换应用少圣维炒南原鹅理,就是在边瘦界上,将精陶确的恰应力色边界估条件钟代之渣以主掌矢相药同,对同剪一点牢的主伤矩也死相同膏的静圈力等码效条黎件。二.在局争部边叠界上育应用危圣维智南原迎理例如绒，厚胁度d=1的梁马，h<蓝<l,即左休右端介是小牵边界.严格格的边危界条逐件要腥求

x

xyfxfy

xyydy

xfxfy此式周要求犹在边傲界x=±l上的京每一余点（蔽每一y值）税，应沫力分拔量与糖对应批的面电力分携量必葬须处哲处相慌等。严格秒的边姓界条悉件要辱求xyh/2h/2llO

x

xyfxfy

xyydy

xfxfy这种意严格徐的边规界条磁件是订很难谁满足忘的。但h<利<l,即左挑右端粮是小庙边界适，可拢以应汇用圣懒维南防原理拌，用蹄静力砌等效芳条件正代替韵上式户：在左陵右端许小边鸦界上蓬使应刘力的弦主矢爹量等娃于面辛力的程主矢财量，协应力糠的对司某点写主矩喘等于熟面力突对同厦一点慕的主片矩（柳数值掩相同撑，方葬向一死致）瞎。因面席力是富已知剥的,所以委面力任的主长矢量析和主仙矩可辛求,因此,应力象的主槐矢量铜和主锡矩的参绝对耻值应悄分别昌等于街面力撕的主仁矢量跨和主骄矩的凭绝对颗值,方向挣与面合力的盯主矢通量和海主矩堪一致.表示线为：xyh/2h/2llO

x

xyfxfy

xyydy

xfxfy如果咐在边艺界上悼直接抛给出颗了面椅力的居主矢精量和演主矩籍，就差可以永代替愚右边蹈各项挪。FSFNM将满与相比斜，可晋以得蜂出：前式盯是精恐确的态，而亭后式玻是近骄似的周；前式候有两角个条助件，羽一般砌是函拐数方戏程；电而后腥式有涛三凭个袜积分舰条件条，是哭代数芝方程贪。在求疼解时购，前峡式难提以满瞎足，汤后式股易满两足。在求沸解弹吗性力国学平务面问权题时捧，常春在小抛边界沃上用裤近似物的三竹个积磁分边预界条带件代草替严土格的亦边界根条件碑，使师问题县的求坊解大访大简艳化。§2肢.8按位哭移求庄解平在面问泽题我们怠已经偷建立悠了弹两性力骨学平蓄面问往题的辽基本碌方程哨和边中界条抄件求解否弹性鸽力学要的平贝面问芒题，母即求表解：3个应让力分龙量

x,波

y,悔

xy=yx,3个应举变分羽量

x,辫

y,农

xy及2个位叨移分习量u,运v的未严知函蹲数，抵这些巷函数弦在区傅域内罚必须冈满足款基本矿方程怜，在崇边界超上必愤须满末足边拜界条晶件。由于妨未知脉函数背及应喷满足篮的方团程数眼目较途多，布问题贫难以鼓求解悟。为奋此，而通常桑采用秃类似哈代数歪方程美中的体消元片法进闻行求楚解。按应森力求拳解的方巴法，休又称倾为应力滴法。它燥是以

x,胜

y,撤

xy=yx为基倍本未顽知函据数，敞从方服程和盖边界奔条件绿中消宫去u,绞v和

x,篇

y,共

xy，导出食只含

x,毅

y,懂

xy=yx的方墙程和恳相应差的边丘界条青件，越并求蚂解出

x,健

y,千

xy=yx，再猪求出

x,床

y,掘

xy和u,点v。此法谎类似怎于结废构力乐学中贤的力劈燕法。按位悔移求延解的方代法，季又称泡为位移岸法。它竭是以u,犯v为基唇本未绢知函划数，敏从方斩程和海边界逼条件环中消乞去

x,滑

y,虾

xy=yx和

x,急

y,晶

xy，导出甚只含u,阅v的方吵程和森相应掉的边筒界条缎件，莲并求艘解出u,苗v，再蛛求出

x,光

y,书

xy和

x,精

y,秩

xy=yx。此法考类似困于结窑构力携学中旷的位岩移法杯。一.按位瘦移求贿解平医面应盘力问超题的牢方程粘和边惨界条挣件1.取u,叮v为基肺本未偶知函馆数由几何方程看出，

x,y,xy就是用u,v表示的。从物黑理方距程求汉出

x,杏

y,叮

xy=yx：2.用u,觉v表示

x,野

y,相

xy3.用u,贫v表示

x,逗

y,载

xy=yx再将几何方程代入，得到用u,v表示的

x,y,xy=yx4.求解诞位移移分量暖的方米程将上您式代朴入平腹衡微布分方宪程，液得绒：这是陶按位猪移求椅解平搁面问乔题的纲基本仙微分辟方程丢，也征就是息用位历移表拖示的嚼平衡毕微分跳方程遵。5.求解摇位移绒分量得的边食界条男件将代入化简绘，得在S

上这是杆用位闹移表结示的去应力炸边界熊条件略。这柜是按踏位移漏求解醉平面耐问题臭时所踪蝶用的换应力欺边界饿条件棒。位移现边界色条件华仍为在Su上总结须起来燃，按位挨移求跃解平是面应钱力问焰题时嘉，要群使得鄙位移估分量遗在区歌域内筹满足应微分驱方程并在忽边界粗上满珍足位轮移边井界条壤件或贤应力蔽边界框条件芹。在S

上求出位移分量后，即可用求得形变分量。在Su上用求得应力分量。二.按位梁移求耗解平怜面应共变问够题的固方程羊和边抬界条指件平面串应变痒问题腿与平木面应岁力问炉题相尺比，叨除物克理方脱程不搂同外回，其阀它方住程和谱边界朋条件彻都相兰同。只要将上述各方程和边界条件中的E换为，m

换为，就可以得出平面应变问题按位移求解的方程和边界条件。如果银已求少得平竞面应铺力问董题的置解答严，只命需将E,m作同警样的皆转换罪，就勿可得辽出对技应的闪平面幅应变恨问题摇的解邪答。在位侵移法曾中，是求幼解位泪移分衡量u和v的必窗须满挑足的珍条件南，，铸这些停条件招也是粗校核u和v是否亏正确脏的条植件，狗对已石求得阴的解石答，纳可以博利用储这些气条件竿进行伍校核委。三.位移专法优位缺点1.优点沿是能赖适应姨各种垄边界终条件阳问题虏的求服解，萍它是弊弹性饮力学拖的一命种基内本解洲法，蕉它在坡是弹唤性力策学的因各种就近似滋数值率解法未有着也广泛似的应甲用。2.缺点旧是，心从较庙复杂烦的方裁程在S

上具体片求解骡位移周函数果时，正往往软很困统难，洽已得歼出的渴函数欠解答绿很少裁。四.例题hoxyrg上端间固定幻玉，下嚼端自贺由，蠢受自侨重体斩力fx=锁0,fy=rg，试用翁位移络法求岗解此紫问题捎。解：困为简组化，膜设u细=0,v得=v(y),泊松敌比m=0,代入第一营式自员然满绝足，吨第二营式成幅为由此蛙解出将去代跪入oxyrg上下鸦边的范边界惰条件扇分别爪要求hoxyrg将幻玉代捷入得B=篮0,得由此堆得再代急入§2柏.9按应格力求鹿解平维面问京题傅相堆容方翠程按应力求解平面问题时，应力分量

x,

y,

xy取为基本未知函数，其它未知函数中

x,y,

xy可以简单地用

x,

y,

xy表示，即物理方程。要将位移分量u,v用应力分量

x,

y,

xy表示，需将物理方程代入几何方程，然后通过积分运算求出位移分量u,v.这种表达较为复杂,且其中包含了待定的积分项.从而使用应力分量

x,

y,

xy表示十分复杂，且很难求解。所以健，按着应力孝求解低函数挽解答呜时，勒通常象只求聪解全态部为荷应力晴边界绣条件驻的问寺题。椅（s=屈s

,su=0)平衡枝微分汉方程闪中应观力分豪量有3个—

x,

y,

xy，而方碑程只辣有2个，群因此怠需从蕉几何员方程邪和物夺理方胖程中脚消去春位移合分量识，导出升只含苦应力贞分量尺的补长充方业程。一.推导初按应辽力求兵解平迈面问歉题的营方程1.取

x,

y,

xy为基蕉本未绝知函井数2.导出划求解误应力鞋的基麻本方威程由于鹿位移雨分量躲只在馒几何冰方程肤中存拢在，矩先从介几何鞭方程椅中消插去位斩移分秆量。将ex对y的二狗阶导都数和ey对x的二廉阶导老数相矩加，绝得等式右边，于是，得这个讽关系逮式称甚为形变请协调林方程或相容虽方程。从相阻容方备程看卖出，讨连续曾体的潜形变市分量

x,月

y,xy不是思相互矩独立颂的，积它们献必须略满足帜相容太方程蛮，才犯能保百证位抽移分桨量u,茄v的存台在。从而热得例如皆：取跑显然赤不满松足相陡容方易程的孩形变轿分量由几闪何方皮程中眠的前赶两式持，得将gxy=Cx笛y代入赠几何戒方程千的第冶三式摆，得显然需，式(a闯)和式(b匀)不能极相容向，互外相矛唐盾。故函多数

x,呜

y,xy不能赏任意撒选取没，必屋须满喇足相板容方佛程。现在腐用物每理方溪程将没相容峡方程感中的牢形变骡分量疼消去斯，使电相容秃方程咽只包搅含应孔力分胖量

x,

y,

xy对于先平面肠应力腰问题将代入，得利用引平衡歼微分虑方程至消去txy。将平晌衡微子分方拾程写脚成将二宅式分评别对x及y求导,然后螺相加,并注急意txy=tyx食,得代入得到用应误力表联示的枪平面号应力找问题浴的相占容方委程将

用代替，得平面应变问题的相容方程现在怨，我欢们得朋到了求解尘应力熊的基舒本方岁程3.应力想边界誓条件韵（s=狡s

,su=0)在s

上其中腐假设购只求厨解全税部为歼应力策边界蛛条件析的问彼题。二.按应趟力求枕解平俘面问络题时杀，应梁力分鼻量

x,

y,

xy必须全满足跨的条踩件1.在区添域A内的众平衡及方程2.在区感域A内的剑相容末方程3.在边衡界上品的应题力边悠界条滚件其中赖假设捡只求流解全侨部为渗应力院边界屠条件雅的问炭题。在s

上4.对于毕多连公体，倦还需沾考虑拘位移讨的单形值条全件（同只有牛一个药连续翻边界阳的物渔体—单连纽奉体）今。此四崭条件,是求肥解应魄力、潮校饲核应退力是蒙否正浙确的稳全部梳条件家。对鸡已有倘的解狸答，限可以慎用这夹些条悔件进期行校慰核。§2卵.1循0常体活力情在况下程的简锐化应力寸函数很多破工程验问题浅中，菊体力舱是常妈量，震即体浓力分兵量fx和fy不随顷坐标x和y而变氧。例嫂如，最重力跳、常蜜加速纲度下堂平动挖的惯臭性力旷，都悲是常析量的窝体力殿。常体络力下丽，平呢面应肆力问惑题和带平面馆应变蓄问题诉的相颗容方嚼程的备右边洒都为纪零拉普拉斯算子常体力情况下，sx+sy应满足拉普拉斯方程，即调和方程。sx+sy应当是调和函数。一.常体邀力情予况下丛方程瓜的简呈化注意患，体力跪为常屑量时，三伤方程妹都不混含弹遣性常访数，木因而盯得出召的应伶力分沃量必俯然与肉弹性狼常数唯无关右。由批此得薯出：在s

上1.对于见不同区材料，

x,

y,

xy的理酸论解郊答相袋同；用反试验牵方法奥求应服力时钓，可催用不含同的冻模型百材料晋代替。2.对两耗种平轮面问零题，应邮力分柿量

x,

y,

xy的解吐答相傲同，即搞理论倚解可余互相宗通用画；用腰模型男试验盗时，钩可用计平面终应力响问题幅的模傲型代蛾替平脆面应慈变问势题的哥模型泊，使牺模型赌的制古作和哄加载们大大虚简化。可见烂，在晚体力月为常饮量情同况下挤，按训应力怪求解版应力辆边界材问题仿时，蚕应力锄分量帖应满撒足在s

上1.先考芳察平庭衡微冻分方籍程二.应力霜函数

特解两可以夺取为也可惩取为这是霉一非笋齐次芽微分包方程哗组，的它的馅解答欢是，例任一钱特解朗和齐缘瑞次微蠢分方晶程的搜通解矛之和锣。对应胳的齐休次微盟分方色程为现求辜其通坊解，镜根据池偏微闲分方届程理限论，蒜知若设礼函数f践=喜f(x,率y),则有假如吃函数C和D满足那么并，一吵定存卫在某繁一函跪数f,使得将齐屡次微殃分方党程改供为根据磁上述蓄微分毛方程李的理射论，讯一定泡存在鹿某一围个函唯数A，使穿得也一衰定存逐在某坑一个睬函数B，使立得由此状得即因而翻，有看一定甜存在地某一券个函胀数F(x,类y)，使得将且代文入梅；挡代兔入蹄；代入装，慢得将此宅通解无与任震一组欧特解余叠加绩，即碗得平记衡微银分方咐程的栏全解馆：2.应力晓函数

应满提足的着条件

称为平面宏问题拨的应力腐函数，又认称艾金里应折力函次数。烛但它衡是未陈知函阔数。此解喂答不乳仅满座足了稍平衡察方程参，而痰且使高平面嫂问题疯的求鞭解大珠为简溪化：狂从求慢解3个应注力未尽知函乖数，蹲变为泽求解1个应孟力函淋数

。(1污)应力共函数

应满骄足相茫容方榆程上式移所表惕示的益应力青分量以应满辞足相椒容方病程将上由式代宜入相难容方雕程，杆得fx,罚fy为常贩量,于是歌上式饮简化轿为将此羽式展饶开成调为这就鱼是用应沟力函款数表你示的度相容蜂方程。由仰此可走见，胡应力粗函数脏应满卵足重友调和佳方程拘，也亏就是争它应详是重锻调和撞函数干。此方民程可伸表示府成(2爽)应力颜函数

应满距足应毅力边胆界条震件（假设闯全部滩为应付力边率界条否件）在s

上一般轻仍用遇此式垫表示炕。综上凤所述观，在辫常体腹力情兄况下恶，按应疗力求袜解平商面问鬼题，韵可归陕纳为墓求解棒一个鹅应力剃函数，它乎必须上满足1.在区文域内押的相贫容方编程2.在边砖界上底的应再力边番界条缠件(假设亮全部款为应弱力边缴界条的件)3.在多骆连体脏中，胀还须鹅满足盗位移漏单值梅条件衔。在s

上求出汁应力率函数韵后，奸便可效求出辱应力级分量扇，然洗后再殖求应脚变分孩量和存位移括分量海。例题例1：试融列出枯下列梁问题重的边飞界条匙件。q1FFsMOxylh/2h/2(l>>h,=1)qF30oOxyb/2hgyb/2(h>>b,=1)(a并)(b圾)解：对(a烟)问题惧，在略主要膛边界y=±h/2，应疮精确鲁满足旋下列紧边界自条件q1FFsMOxylh/2h/2(l>>h,=1)(a毙)在小栗边界(次要仓边界)x=0,应用言圣维锄南原险理,列出竞三个闯积分酸近似述边界铅条件,当板暂厚=1时,在小打边界x=靠l处，布当平脆衡微虚分方蜂程和吊其它爪各边杜界都嫩已满口足条拨件下固，三柿个积震分的椒边界漠条件后必然移满足洁，可嘴以不短必校圆核。qF30oOxyb/2hgyb/2(h>>b,=1)