弹性力学变分原理的一致性原理

弹性力学变分原理的一致性原理

广泛用于数学、物理和工程许多领域的变分法是数学和物理方法的基本和重要方法。最小势能原理（以下简称pmei）是弹性力学的典型变分原理。1变分理论的一致性原理弹性力学变分原理中变量的独立性问题,是一个争论的焦点问题.争论的双方各执一词,争执不下.笔者认为,讨论这个问题,必须站在更高的理论角度来分析.弹性力学变分理论作为一个数学理论,必须满足数学理论的一般性要求或基本要求,这个必要条件就是理论系统的一致性.因而,本文提出了变分理论的一致性原理:当且仅当变分理论的逻辑系统中不存在逻辑矛盾时,该变分理论是一致的.2弹性力学的基本方程2.1应力-应变关系(1)平衡方程:(2)几何方程(应变-位移关系):(3)物理方程(应力-应变关系):或(4)应力边界条件:(5)位移边界条件:式(1)~(5)中应用了爱因斯坦惯例,如2.2本文讨论了弹性力学的变分原理指定泛函3拉尔夫理论的不一致性3.1拉士维子的理论3.1.1变分原理与变分原理P1泛函由(7)~(11)式表达的弹性力学变分原理.P2方程(1),(2),(3a)或(3b),(4)和(5)(本节中表为(1~5)).P3唯一性定理P4变量独立性的矛盾律对所讨论的任一变分原理而言,任一变量(σP5变量独立性的排中律对所讨论的任一变分原理而言,每一变量(σP6约束性的矛盾律对所讨论的任一变分原理而言,由(1~5)式表达的任一方程不能既是约束条件又是自然条件.P7约束性的排中律对所讨论的任一变分原理而言,由(1~5)式表达的每一方程必须是约束条件或是自然条件.P8变分原理身份的矛盾律对所讨论的弹性力学问题(1~5)而言,由P1指定的任一变分原理不能既是有约束的变分原理又是无约束的、完全的广义变分原理.P9变分原理身份的排中律对所讨论的弹性力学问题(1~5)而言,由P1指定的每一变分原理必须是有约束的变分原理或是无约束的、完全的广义变分原理.3.1.2变分原理的关系D1对所讨论的变分原理而言,当且仅当变量不受由D2和D3定义的任何约束条件的约束时,该变量是独立的变量.D2在进行正推理(见D5)、逆推理或半逆推理(见D6)的过程中,如果必须把一个代数方程或者一个微分方程用代入法代入变分原理或者该变分原理的欧拉方程,该代数方程或者微分方程是该变分原理的约束条件.D3任何两个泛函由(7)~(11)式表达的变分原理,如果该二泛函的和或差等于0,则该二变分原理等价.使得该等价关系成立而必须满足的代数方程是该二变分原理共同的约束条件.D4变分原理的自然条件是变分原理通过正推理(见D5)而得到的代数方程或微分方程.D5正推理是从变分原理及其约束条件(如果有的话)出发,按照3.1.3节的数学推导规则推导出变分原理的欧拉方程及其后继方程的推理过程.D6逆推理是从(1~5)式出发,按照3.1.3节的数学推导规则推导出变分原理的推理过程.半逆推理是从变分原理出发,按照3.1.3节的数学推导规则推导出变形的变分原理的推理过程.D7约束变分原理是具有至少一个约束条件的变分原理.D8广义变分原理是用拉格朗日乘子法解除约束而建立的变分原理.完全的广义变分原理是用拉氏乘子法和/或高阶拉氏乘子法解除了所有约束条件而建立的变分原理.D9证明是根据公设P1~P9和定义D1~D9并遵循推导和推理规则R1~R9进行的数学逻辑推理过程.3.1.3高阶拉氏乘子理论中等定理和变分运算规则R1变分法基本引理(FundamentalLemmaofthecalculusofvariationsR2微分学的高斯定理(GaussTheorem).R3弹性力学的剪应力互等定理(σR4代数、微分、积分和变分运算规则.R5正推理(见D5)中的代入法.这是一种解除约束的方法.R6拉氏乘子法(一阶的和高阶的).这是半逆推理(见D6)中解除约束的方法.R7逆推理或半逆推理(见D6)中的代入法.这是向变分原理引入约束条件的方法.R8逆推理(见D6)中的权余法(weighted-residualmethod).这是给变分原理引入自然条件的方法.R9在一个约束条件中,至少有一个变量是受到约束的,因而该变量是不独立的.在3.2~3.6节中,我们将在高阶拉氏乘子理论的框架内给出一些定理及其证明,表明高阶拉氏乘子理论存在着矛盾.3.2p3和p8之间的矛盾：理性、证明和评论3.2.1高阶拉氏乘子法定理1弹性力学至少存在着两个具有约束条件(13)的变分原理的泛函证明(1)由钱根据D3证明,H-R原理和H-W原理等价,它们都有约束条件(2)钱用高阶拉氏乘子法建立了完全的广义变分原理(3)现在,本文遵照R6用高阶拉氏乘子法解除H-R原理的约束,结果建立起H-W原理:式中λ综合以上证明1,2,3,定理得证.3.2.23.2.1中的定义定理2H-W原理(泛函为3.2.33.2.1和3.2.2段的评论评述Re3.2定理1和公设P3矛盾;定理2和公设P8矛盾.3.3相关限制的矛盾：理性、证明和评论3.3.1和3式引入变分原理定理3式(1)、(3a)和(4)既是MPEP的约束条件,又是MPEP的自然条件.证明(1)钱先生用权余法把(1)和(4)式引入变分原理,用代入法把(2),(3a)和(5)式引入变分原理.根据R8,式(1)和(4)成为MPEP的自然条件;根据R7,式(2)、(3a)和(5)成为MPEP的约束条件(2)现在,本文用权余法把(3a)引入变分原理,而用代入法把(1)、(2)、(4)和(5)引入变分原理:代(2)入(15)得到于是代(1)入(17),得到式中使用了高斯定理.把(4)和(5)代入(18)从而根据R8,式(3a)成为MPEP的自然条件;根据R7,式(1)、(2)、(4)和(5)成为MPEP的约束条件.综合以上证明1,2,定理得证.3.3.23.3.1段的评论如下评述Re3.3.定理3和公设P6矛盾.3.4与限制的另一个矛盾：理性、证明和评论3.4.1从约束条件3到mpep的建立定理4式(3a)既是MPEP的约束条件,又是MPEP的自然条件.证明(1)钱伟长给出由(7)并遵照R4,有代(2)入(21)按照R2和R4,得到此式已满足(5).于是,按照R1得到其欧拉方程(Eulerequations)和根据P7,必须把应力-应变关系(3a)代入(24)和(25),从而使(1)和(4)成为MPEP的自然条件(见D4).根据D2,式(3a)是一个约束条件.(2)现在,本文给出:由(7)并遵照R4,有由R2、R4,有代(27)入(26),得到根据P7,必须把(2)和(5)代入(28).根据D2,它们是约束条件.用代入法(见R5)解除约束,我们得到式中e综合以上证明1,2,定理得证.3.4.2评论评述Re3.4.定理4和公设P6矛盾.3.5相关变量的独立：理性、证明和评论3.5.1给出和证明定理5变量σ证明钱伟长证明了(3a)是MPEP的约束条件,从而由R9判定σ综合这两个证明,定理得证.3.5.2评论3.6变分原则身份的矛盾：肯定、证明和评论3.6.1给出和证明定理6证明钱伟长证明了根据D3,(30)式意味着(13)式是3.6.2评论评述Re3.6定理6和公设P8矛盾.3.7钱伟长的逻辑关系和公设评述Re3.7弹性力学变分原理的高阶拉格朗日乘子理论是不一致的