偏微分方程1与共轭系统13pld1恒温hl

偏微分方程1与共轭系统13pld1恒温hl

对称性反映了客观物质世界结构的规律，而守规规律反映了客观物质世界运动变化的规律。它们紧密相连。侧微分方程的守规法是对薄弱环节（pdes）的严格法律的数学推广，例如质量守衡、能量守衡、动态势衡等经典物理概念的数学推广，可以描述pdes运动变化的特点。守规法在pdes的解算方法和安全调整中发挥着重要作用。它的结构和应用是数学、物理和力学领域的研究主题。20世纪初，诺里斯。本文基于Cheviakov的递推公式1求解pdes的lie对称给定一个PDE系统其中x=(x定义1对于PDE系统R给出.当自变量是时间和空间两个变量,即x={t,{x其中Θ[u]是局部守恒密度,Φ对于完全非退化的PDE系统,任何局部守恒律(3)有一种等价特征形式其中{Λ最近,Cheviakov博士等引理1设(1)是具有自变量x={x公式(6)等价于下列表达式显然,函数f(x)在(7)中起守恒乘子Λ注1我们发现,如果给定PDE系统(1)能写成一个完全散度表达式,此时对任意的可微函数f=f(x,u)和系统(1)的任意解u=u(x),公式(6)仍成立且等价于表达式(7).众所周知,若一个可微函数组F其中从而,我们有如下引理:引理2散度表达式(6)对于PDE系统R对任意可微函数u都成立.Lie对称方法是求解和分析PDEs的经典方法.设PDE系统(1)单参数Lie对称对应的无穷小生成元为其中ξ其中PDE系统(1)的Lagrangian函数其中{v注2我们发现,利用直接方法Ibragimov教授把给定PDE系统(1)及共轭系统(13)与其对称、Lagrangian函数和变分导数融合为一体,推出构造PDE系统(1)及共轭系统(13)守恒律的一种新定理.定理1PDE系统(1)的每个Lie点对称(10)都产生方程组(1)和方程组(13)的一组守恒律,其对应守恒向量由公式给出,这里i=1,…,n,α=1,…,m,w2采用离散度公式和新的守固定系数，形成pdes的守固定格式2.1.系统中自变量及因变量的影响先考虑非线性电报(NLT)方程其中自变量为x,t,因变量为u(x,t),且G(u)为单位长度的泄漏电流,F(u)为微分电容.2.1.1用递推公式构造nlt方程的守守律根据公式(5)和Euler算子,可以得到NLT方程(15)对应的乘子Λ=1,Λ=t,Λ=x和Λ=xt.借助递推公式(6)可得到NLT方程的几个局部守恒律.从方程(15)可以看出它有固有局部守恒律(与乘子Λ=1对应)对于(16)的两边分别乘以t和x,并用递推公式(6)得到如下两个守恒律再对(17)两边乘以x或对(18)两边乘以t,并用递推公式(6)得到第三个守恒表达式2.1.2新守守定理的构造NLT方程(15)有如下两个对称由(12)引入势函数v,得到(15)的Lagrangian函数为L=v[u下面,我们利用Ibragimov的新守恒定理(定理1),可以构造(15)的如下守恒律:故借助公式(14)得到方程(15)的守恒律向量故由公式(14)得到方程(15)的守恒律向量由于v为任意函数,我们构造的上述两个守恒律均为NLT方程(15)的无穷多守恒律,这对其线性化方面具有重要意义.2.2长波方程的守固定规律我们再考虑长水波方程组其中u=u(x,t)和v=v(x,t)分别表示从液体平衡位置偏离的水平速度场及铅直速度场.2.2.1e鞣理算子的算子从方程组(20)可以直接看到其固有局部守恒律根据公式(5)和Euler算子,可以得到方程组(20)对应的四组乘子(Λ(1)用Λ(2)用Λ(3)用Λ(4)用Λ自上述四组守恒律中(25)和(26)只是原方程组(20)中一个方程的守恒律.2.2.2方程20的坚守律向量方程组(20)有如下四个对称由公式(14),我们得到方程(20)的守恒律向量当m当m由公式(14),我们得到方程组(20)的守恒律向量当m当m当m3新恒律方法在本文中,我们分别用递推公式和新守恒定理构造了非线性电报方程和长水波方程组的守恒律.对递推公式而言,给定方程具有散度结构是构造其守恒律的关键.若PDEs以散度形式出现,那么把乘子函数推广为任意具有自变量和因变量的函数,即f=f(x,u),进而可以用递推公式构造其守恒律.新守恒定理是微分方程及其共轭方程与对应点对称、Lagrangian函数、变分导数和守恒律之间构建深层次关系的有效方法.在新守恒定理中,可以利用直接方法求出其共轭系统的势函数解,进而得到给定方程的局部守恒律.两种方法虽然在构造PDEs守恒律的机制上不同,但在引入乘子上具有共性,在构造PDEs的守恒律方面各自发挥重要作用.由公式(12)构造方程组(20)的Lagrangian函数其中m=m(t,x,u,v),n=n(t,x,u,v)是新引进的势函数.再由Euler算子作用于(27)的两边,得到方程组(20)的共轭方程组解方程(28),得到其四组解下面,利用Ibragimov的新守恒定