上海市四区2022年数学高一年级上册期末联考试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）

1.下列函数中，在R上为增函数的是。

A・y=B・y_^2

C_f2x,x>0,Dj=igx

y=[x,x<Q

2,中国扇文化有着深厚的文化底蕴，小小的折扇传承千年的制扇工艺与书画艺术，折扇可以看作是从一个圆面中剪下

3

的扇形制作而成，设折扇的面积为S一圆面中剩余部分的面积为5?，当S|：5?=二时，折扇的圆心角的弧度数为（）

7C24

A.—B.一

23

八3兀、5万

C.—D.—

46

3.全称量词命题“Vx2(),2X>1”的否定为()

A.玉<0,2'<1B.Vx>0,2J<1

C.3x>0,2X<1D.Vx<0,2y

4.圆户"+筋-4户4=0的半径为()

A.lB.0

C.2D.4

5.已知/(x)=公3+bx+2,若/(-2)=3,则/(2)

A.lB.2

C.3D.4

6.已知函数/(x)=ln(5—。)的单调区间是(l,+8),那么函数g(x)=a(皿加+i)在区间(―1,2)上()

A.当4＞1时，有最小值无最大值B.当4＞1时，无最小值有最大值

C.当0＜。＜1时，有最小值无最大值D.当0＜。＜1时，无最小值也无最大值

7.设当x=9时，函数y=3sinx-cosx取得最大值，则sin6=()

R9

15.--------

10

3710

10。噜

8.如图，在正方形A5CD中，E、尸分别是5C、CO的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及E尸把这个正方形

折成一个空间图形，使B、C、。三点重合，重合后的点记为“，那么，在这个空间图形中必有()

A.AG上AEFH所在平面B.AH^EFH所在平面

C.HF所在平面D.HGL^AEF所在平面

9.以下给出的是计算1+；+；+…+'的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是

结束

上*1

AMV10

C.^<19

D"<19

10.一正方体的六个面上用记号笔分别标记了一个字，已知其表面展开图如图所示，则在原正方体中，互为对面的是

()

A.西与楼，梦与游，红与记

B.西与红，楼与游，梦与记

C.西与楼，梦与记，红与游

D.西与红，楼与记，梦与游

二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上)

11.如图，

A44G，AC,B2C21AGB3C3是三个边长为1的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边鸟。3上有2个不同的

点6、2,则砥•(耐+底)=__________

g(x),x<0

12.若函数〃x)=门丫是奇函数，贝!Ig(—3)=.

13.如图，G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有.

M

H

④

14.若实数X,y满足x>y>0,且10g2尤+iog,y=3,则LL2L的最小值为_________.

工一〉

15.已知角a的终边经过点P(4,-3),则2sina+cosa的值等于

三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

16.已知函数/(幻=1(%(1+》)—108.(17),其中3>0且

⑴求函数f(x)的定义域；

⑵判断/(X)的奇偶性，并说明理由；

⑶若/(|)=2,求使/(x)>0成立的X的集合

17.已知函数/(x)=Gsinxcosx-cos?"机的最大值为1.

(1)求机的值；

TT

(2)求当xe[O,万]时/(x)的取值范围；

(3)求使得/(工巨；成立的x的取值集合.

18.某鲜奶店每天以每瓶3元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶7元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的

鲜牛奶作垃圾处理.

(1)若鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶，求当天的利润》(单位：元)关于当天需求量〃(单位：瓶，〃eN)的函数

解析式；

(2)鲜奶店记录了100天鲜牛奶的日需求量(单位：瓶)，绘制出如下的柱形图(例如：日需求量为25瓶时，频数为

(ii)若该鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润

不少于100元的概率.

19.已知定义域为O的函数若存在实数a,使得vx.CD，都存在「cD满足一，则称函数，工具有性

”十'7'=a

质p3

(1)判断下列函数是否具有性质p(0)，说明理由；①〃灯=2门②f(X)=log/，Xe(0,。

(2)若函数ft：的定义域为O,且具有性质p(i：,贝胪〃、.：存在零点"是‘eD”的条件，说明理由；(横

线上填“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”)

(3)若存在唯一的实数°,使得函数=力.2+》+4,xe[0?具有性质求实数，的值.

20.为了解学生的周末学习时间(单位：小时)，高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查,

将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：

0.050

0.045

0.040

0.030

a

0.015

°51015202530学习时间(小时)

(1)求出图中a的值；

(2)求该班学生这个周末的学习时间不少于20小时的人数；

(3)如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说

明理由

21.设条件p:0cx<2,条件q:(x-m)[尤-(m+3)]W0

(1)在条件q中，当加=2时，求实数X的取值范围.

(2)若p是q的充分不必要条件，则实数，〃的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）

1、C

【解析】对于A,.,在R上是减函数；对于B,1,=如在_s,0）上是减函数，在（0,+S）上是增函

y=2-x=（T）

数；对于C,当，.兰0时，］,="是增函数，当\<0时，）,=".是增函数；对于D,丫=嘈、的定义域是（0,+s>

【详解】解：对于A,在R上是减函数，故A不正确;

y=2r=(i)X

对于B,）,=产在（_s,0）上是减函数，在；0,+s）上是增函数，故B不正确;

对于C,当K20时，）,=2*是增函数，当时，），=、,是增函数，所以函数/,：在R上是增函数，故C正确;

对于D,）,=：手的定义域是（0,+8），故不满足在R上为增函数，故D不正确,

故选：C.

2、C

【解析】设折扇的圆心角为a,则圆面中剩余部分的圆心角为2兀-a,根据扇形的面积公式计算可得;

【详解】解：设折扇的圆心角为a,则圆面中剩余部分的圆心角为2兀-a,圆的半径为r,依题意可得

解得a―――；

；（21-可产4

故选：C

3、C

【解析】

由命题的否定的概念判断.否定结论，存在量词与全称量词互换.

【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题“VxNO,2*"的否定是'TXNO,2、<1"

故选：C.

【点睛】本题考查命题的否定，属于基础题.

4、C

【解析】将圆的方程化为标准方程即可得圆的半径.

【详解】由圆x2+y+2x-4y+l=0化为标准方程有：

（x+l）2+（y-2）2=4,

所以圆的半径为2.

故选：C

【点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，并由此得出圆的半径大小，属于基础题.

5、A

【解析】构造函数g(尤)=加+笈,则g(x)为奇函数，根据/(-2)=3可求得g⑵=-1,进而可得到

/(2)=g(2)+2=l

【详解】令g(x)=ox3+版,则g(x)为奇函数，且〃x)=g(x)+2,

由题意得/(—2)=g(—2)+2=3,

2)=1,

•••g(2)=-1,

.•"(2)=g(2)+2=l.

故选A

【点睛】本题考查运用奇函数的性质求函数值，解题的关键是根据题意构造函数g(x),体现了转化思想在解题中的

应用，同时也考查观察、构造的能力，属于基础题

6、D

【解析】依题意不等式这一匕>0的解集为(1,+00),即可得到。>0且。一。=0,即a=b>0,再根据二次函数的

性质计算g(x)在区间(-1,2)上的单调性及取值范围，即可得到函数的最值情况

【详解】因为函数/(x)=ln(ox-/的单调区间是(1,+8),

即不等式⑪―人>0的解集为(1,+oo),

所以4>0且。一人=(),即。=8>0,

所以g(x)=a出+切3+1)=/**",

当4>1时，了=。(无+1)2在(-1,2)上满足0<。5+1)2<9。，

故g(x)=a"””此时为增函数，既无最大值也无最小值，由此A,B错误；

当Ovavl时,y=〃(％+1)2在(-1,2)上满足Ova(元+1><9。,

此时g(x)=a"*"为减函数，既无最大值也无最小值，故C错误，D正确，

故选：D.

7、D

【解析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式：/(x)=7iOsin(x-a),并求出cosa和sina,由条件和正

弦函数的最值列出方程，求出夕的表达式，由诱导公式求出sinG的值

［详解］解：•.•函数y=/(x)=3sinx-cosx

_Q

=\ITo(—=sinx-cosx)

V10>

L_.3

=V10sin(x-tz)(其中cosa=

又・.・%=£时/(幻取得最大值,

irjr

:.0-a=IkTr-v—,keZ,即。=2左乃+——\-aZwZ,

229

TTTT

sin0=sin(2Z;r+—+a)=sin(—+a)

33M

=COSOf=Tio-10

故选：D

8、B

【解析】本题为折叠问题，分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得HA、HE、HF三者相互垂直，根

据线面垂直的判定定理，可判断AH与平面HEF的垂直

【详解】根据折叠前、后AHJ_HE,AHLHF不变，...AH，平面EFH,B正确；

•.•过A只有一条直线与平面EFH垂直，，A不正确；

VAG±EF,EF_LAH,...EFl.平面HAG,二平面HAGJ_AEF,过H作直线垂直于平面AEF,一定在平面HAG内，

AC不正确；

•；HG不垂直于AG,；.HGJ•平面AEF不正确，D不正确

故选B

【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，一般利用线线0线面=面面，垂直关系的相互转化判断

9、A

【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值

【详解】程序运行过程中，各变量值如下表所示:

第一圈:S=Lk=2,

第二圈:S=l+—,k=3,

3

第三圈:S=l+—+—,k=4,,

35

依此类推，第十圈:

退出循环

其中判断框内应填入的条件是：k<10,

故选A

【点睛】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视.程序填空也是重要的考试题

型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此

种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误

10、B

【解析】将该正方体折叠，即可判断对立面的字.

【详解】以红为底，折叠正方体后,即可判断出：

西与红，楼与游，梦与记互为对面.

故选:B

【点睛】本题考查了空间正方体的结构特征，展开图与正方体关系,属于基础题.

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）

11、9

【解析】以A为原点建立平面直角坐标系，依题意可设三个点坐标分别为

6（3-苍百》）,£（3一y，百.y）,故A与.（AR+Ag）=9-•^（x+y）+^^（x+y）=9.

【点睛】本题主要考查向量的加法、向量的数量积运算；考查平面几何坐标法的思想方法.由于题目给定三个全等的三

角形，而％鸟的位置不确定，故考虑用坐标法来解决.在利用坐标法解题时，首先要选择合适的位置建立平面直角坐

标系，建立后用坐标表示点的位置，最后根据题目的要求计算结果.

12、-"-

27

【解析】根据题意，得至!lg（—3）=/（—3）=—/（3）,即可求解.

，1T1

【详解】因为/（X）是奇函数，可得g（-3）=y（-3）=-/（3）=--.

\3/27

故答案为：一二

27

13、②®

【解析】图①中，直线G////肱V,图②中M《面GMV,图③中GM//MV,图④中，H史面GMN

【详解】解：根据题意，

在①中，MGUHN且MG=NH,则四边形MGHN是平行四边形，有HG//MN,不是异面直线；

图②中，G、H、N三点共面，但M任面GHN,因此直线G”与MN异面；

在③中，M，N分别是所在棱的中点，所以GM//HN且GM手HN,故HG,NM必相交，不是异面直线;

图④中，G、M、N共面，但H史面GMN,:.GH与MN异面

所以图②④中GH与MN异面

故答案为：②④.

14、8

x~+V

【解析】由给定条件可得町=8,再^一二变形配凑借助均值不等式计算作答.

x-y

【详解】由log2》+log2y=3得：封=8,又实数X,y满足x>y>0,

则=。一)')-+2书'=y)+旦22J(x_y).=8,当且仅当x_y=*-,即x-y=4时取

x-yx-yx-y\x-yx-y

孙=8

由y=4解得：x-2\/3+2,y=2>/3—2,

x>y>0

所以当x=26+2,y=26—2时，“十取最小值2

x-y

故答案为：8

【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二

定”、“三相等”的条件.

2

15、——

5

【解析】因为角«的终边经过点P(4,-3),过点P到原点的距离为「=542+(-3)2=5，所以sine=-|,cos«=1,

22

所以2sina+cosa=——,故填一不.

三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

16、(1)(一U(2)奇函数(3){x|0<x<l}

【解析】(本小题满分14分)

l+x〉O

(1)由｛,„,得—1<X<1

l-x>0

...函数/(x)的定义域为(-U)...........................4分

(2)函数/(x)的定义域为(-U)关于原点对称，

V/(-X)=10ga(l-x)-log„(l+x)=-f(x)

.•./(x)是奇函数.................................................8分

382

⑶由/(-)=log--log„-=log„4=2,得a=2.…10分

/(X)=log2(1+X)-log2(1-x),

由/(X)>0得log2(1+j)-log_力>0,

log2(l+x)>log2(l-x).............12分

得l+x>l—x>0，解得0<x<L

...使/(X)>0成立的X的集合是｛x|0<x<l｝........................................................14分

17、(1)m=—

2

(3)—卜kjc,—Fk/c、keZ

_62_

【解析】(1)将函数f(x)=百Sinxcosx-cos2x+m化为只含有一个三角函数的形式，根据三角函数的性质求其最大值,

可得答案；

(2)根据xe[0,-],求出2x-之的范围，根据三角函数性质，求得答案；

26

(3)根据/(x心利用三角函数的性质，即可求得答案.

【小问1详解】

fix)-V3sinJCCOSX-COS2x+/??=-2sinxcosx--cos2x+m——

222

6.c1c1/万、1

-----sin2x——cos2x+m---=sm2x---\+m

222{6J2

由题意可知，函数的最大值/(x)1mx=1+根—g=l,解得

【小问2详解】

由⑴可知/(九)=5川2彳一小，

当OWxW工时，0<2x<7T,――<2x——<,所以sin(2无一G——,1

2666V6JL2

7T1

所以当XE0,-时/(X)的取值范围是一］』

【小问3详解】

因为/(x)=sin(2x-212,，贝！|工+2版红+2)U,&eZ,所以工+2)br«2xW万+2br,AeZ,所以

(6)26663

一+女;rKxK—+女万,女£Z,

62

IJTTT

所以/(x)N二的解集是-+k7r,-+k7r/eZ

7〃-90(〃429)

18、(1)>={,c〜»、(〃eN)；(2)(i)111.95；(ii)0.75.

120(〃>30)

【解析】⑴当〃230时，y=30x(7-3)=120；当〃W29时，y=(7—3)〃一3(30—〃)=7/1-90,故

7〃—90(〃429)

>=、。八,；(2)G)直接利用平均值公式求解即可；(ii)根据对立事件的概率公式可得当天的利润

120(〃230)

不少于10()元的概率为1—0.05—0.1—().1=0.75.

试题解析：(D当〃230时，^=30x(7-3)=120；

当〃W29时，y=(7—3)〃—3(30—〃)=7〃—90.

’7〃一90(〃429)

故y="(nGN).

120(n>30)

(2)(i)这100天中，有5天的日利润为85元，10天的日利润为92元，10天的日利润为99元，5天的日利润为106

元，10天的日利润为113元，60天的日利润为120元，

故这100天的日利润的平均数为J(5X85+10X92+10X99+5X106+10X113+60X120)=111.95.

(ii)当天的利润不少于100元当且仅当日需求量不少于28瓶.

当天的利润不少于100元的概率为1-0.05-0.1—0.1=0.75.

【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及平均数公式、对立事件的概率，属于难题.与实际

应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键

是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.

19、(1)①不具有性质p(0)；②具有性质

(2)必要而不充分条件，理由见解析

(3)_

—2s

t=­；-

【解析】⑴根据">0举例说明当盯>0时不存在外+为—；取4=2,e(0,1)可知/'⑴=log2x,Xe(0.1)

具有性质？⑻.(2)分别从月£存在零点，证明2c[0,「和若2CD，f”具有性质P(1)时，八*)=0・两个角度证

明“〃、.；存在零点”是“2eD”的必要而不充分条件.(3)令函数,⑴=tx2+x+4,xe[0,2、的值域为F，

g(x)=2a-x,xe[0,2]的值域A=[2a-2,20若函数,f(x)有性质P(a>则有对2],3x2e[0,2卜使

得“力)=2a-x成立，所以F=A，分情况讨论f的范围，从而求出f的取值.

【小问1详解】

函数=2、不具有性质p(o),理由如下：

对于a=0,%=1，因为二+/八J所以不存在teR满足气+f%)/

所以函数〃=2；、不具有性质P(0).

函数f(x)=logb，Xe(0,1)具有性质p(o)•理由如下：

对于YMe(0,取4=2-X"则4e(0>1),

因为，，

q+睡4_yx,_0

所以函数/•&)=log),xe(0,1)具有性质p(o)・

【小问2详解】

必要而不充分理由如下：

①若人为存在零点，令/•(“)=3x-1,xe[0,1],贝、a_Q-

因为eFo"取，则r.1，且“「、.

F"。，1」打=1一衿x2e[1,1]空品=竺』=1

所以/l(X)具有性质？(1),但2c[0,1卜

②若2e0，因为/(、•：具有性质p(1)，

取、._2,则存在WD使得,<、…、.

Ai一zx2eu打+心;_】+/上;_]

所以〃小)=0，即f(x)存在零点功•

综上可知，“尸总存在零点”是々eD”的必要而不充分条件.

【小问3详解】

记函数/l(x)=tx2+x+4»x6[0»2]的值域为F,函数g(x)=2a—x>xe[0>2]的值域A=[2a—2.2a}

因为存在唯一的实数a，使得函数广，0=t”+x+4,xc[0,2]有性质P(a)，即存在唯一的实数&，对

“16[0,2],3X2e[0»2r使得f(%2)=2a—%成立，所以F=4

①当t=0时，f(x)=x+4,xe[0,2],其值