带不等式约束的平差问题的求解

带不等式约束的平差问题的求解

0问题的建立在大多数情况下，应根据首先经验的知识配置参数。当建立的限制是平等的时，就会形成由不平等限制形成的和平差异问题。如卡尔曼滤波、拟稳平差等1观测机构及参数估计矩阵根据间接平差原理式中，观测值系数矩阵A为m行n列，观测值矩阵L为m行1列；观测改正数矩阵V为m行1列；G为k行n列的系数矩阵且G为行满秩矩阵；W为k行1列的常量。按照经典最小二乘原理，上述模型的解可以在以下条件下求得：1.1虚拟观测思想转换按优化计算方法中的罚函数方法，可以将式（2）转换为一个无约束的优化问题式中，φ（x)=V′因此，当V′小于或等于零时，满足不等式约束；当V′大于零时，不满足不等式约束。k为惩戒因子，由先验知识确定。采用虚拟观测思想进行转换，可以得到如下无约束平差模型：因此按照最小二乘原理可以得出该式最优解的表达式为：由于平差开始不知道哪些约束是满足的，哪些约束是不满足的，平差计算时应该进行迭代计算。迭代初始值选P′=0时，即不考虑约束条件时的最小二乘解。然后带不等式约束条件，看是否满足约束条件，然后根据式（4）进行定权，定权后按（6）重新进行计算。如此反复迭代，直到所有值都满足约束条件时为止。1.2虚拟误差方程法带不等式约束的平差模型可以做如下变换为了去掉不等式约束中的不等号，在表达式中添加一个虚拟变量V′，可得如下表达式对于有效约束来说V′=0，对于无效约束来说V′<0。虚拟变量V′当作是一个虚拟观测值，因此有如下的新形式：由此得出误差方程和法方程，根据经典最小二乘算法，得出解的表达式；再将此表达式通过配凑消元，消掉系数阵部分，得出一个P′为虚拟观测的权阵，按式（4）进行定权。算法求解思路：将无约束时的最小二乘解1.3无约束条件下的最小二乘解在带不等式约束的平差模型（1）中，令：由K-T条件知，在最优解X处一定满足如下条件：由式（13）知，要使λ≥0，λ将式（15）对X求偏导，并令偏导数等于零，再与GX=W联立、消元得到λ的通解，最终得到方程的解为X珡为无约束时的最小二乘解。该方法关键在于求出满足条件的λ，这里用过迭代来实现。2迭代终止条件的选取不符合迭代乘子法引用文献所有计算过程采用Matlab编程实现计算，做出三种算法最优解和迭代次数统计表，如表1所示。计算过程中惩戒因子取R=100000，虚拟误差方程中ε=10从算法本身来说，简单迭代算法中惩戒因子R的选取能够明显影响到函数的收敛速度。一般惩戒因子越大函数收敛越快。并且发现每次迭代时，最优解的变化是一个很微小的量，由此可看出简单迭代算的迭代终止条件不合理，有待改进。虚拟误差方程法中惩戒因子的选取对函数的最优解有影响。当惩戒因子在1到100之间，不能得出文献中的答案。当大于100时，则能得出最优解。这里满足罚函数的思想，当解不在不等式范围内时，给予它一个很大的权值，将其约束到不等式范围内。其次迭代终止条件ε的选取能较为明显影响到函数收敛速度，随着ε越来越小，所需要的迭代次数快速增加。在迭代乘子法迭代初始值的选取中，一般将初始值选为零值，能够准确得出最优解，因此先验知识对该算法几乎没有影响，抗差性好，容错率高。使得该方法能够适用于更加广泛的不等式平差计算当中。对上述判断：简单迭代算的迭代终止条件不合理。做如下实验：在简单迭代算法和虚拟误差方程算法中都有惩戒因子和虚拟观测权值；将简单迭代算法的虚拟观测权值换为同等条件下虚拟误差方程中的权值，这种条件下能够得出跟原来一致的最优解，且迭代次数明显减少。这里由实验结果可以得出这样的结论：简单迭代算法的迭代终止条件不合理，需要进一步改进。最简单的改进方式就是直接使用虚拟误差方程法的迭代终止条件。2.1实验数据分析以上实验由于数据本身是固定的，观测误差也是固定的，只能用不同的方法进行一次处理，并不能反应算法本身的稳定性问题。所以本节将重新构造出适用于重复计算的数据，采用蒙特卡罗仿真实验方法，对每个算法进行120次重复计算，将每次计算结果与真值做差比较，做出差值平方和以及迭代次数的统计图，依据此图得出结论。实验数据如下：其中A,G,W,P所表示的含义跟文中的相同字母含义相同；X由以下线性等式计算得到观测值向量L:式子中的随机数函数randn相当于模拟出观测值的测量误差。最后将得出的最优解X跟真值X将差值dx的平方和迭代次数进行绘图处理，得到的统计结果如图1所示。计算过程中惩戒因子取R=100000。根据图1的蒙特卡罗实验结果可以看出：在给原始数据一个较小的观测误差后，三种方法所得出的最优解是一致的。在每次的实验中，我们都能发现，迭代乘子法的迭代次数明显小于其他两种算法，运算效率更高。但是在虚拟误差方程中，迭代终止条件的选取能够明显地影响到运算效率；精度要求越高，函数收敛越慢，随着精度要求越高运算次数会有跳跃式的增长；当迭代终止条件要求精度小于e3迭代终止条件不明确通过本文的计算比较与分析可知：简单迭代算法理论基础简单，