数学人教A版高中必修一（2019新编）5-1-2弧度制（分层作业）

5.1.2弧度制（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）半径为，圆心角是(弧度)的扇形面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由扇形的面积公式和弧长公式即可得答案.【详解】解：因为扇形的半径为，圆心角是(弧度)，所以扇形的弧长，又因为，所以.故选：A.2．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）角的弧度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用公式可求角的弧度数.【详解】角对应的弧度数为，故选：B.3．（2022·江西上饶·高一阶段练习）如图所示的时钟显示的时刻为：，此时时针与分针的夹角为则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由图可知为周角的，计算可得结果．【详解】解：由图可知，．故选：B．4．（2022·全国·高一课时练习）的角化为弧度制的结果为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据角度和弧度的换算公式即可得到答案.【详解】．故选：C.5．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先确定圆的半径，再利用弧长公式，即可得到结论.【详解】解：设半径为，所以．所以，所以弧长．故选：A．6．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）若扇形的面积为1cm2，周长为4cm，则扇形圆心角的弧度数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】设圆心角为，半径为，根据扇形面积公式及弧长公式得到方程组，解得即可.【详解】解：设圆心角为，半径为，依题意可得，解得；故选：B7．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）在半径为1的单位圆中，一条弦的长度为，则弦所对的圆心角是（

）A． B． C． D．=【答案】D【分析】连接圆心与弦的中点，解三角形求的大小.【详解】连接圆心与弦的中点，由圆的性质可得，在中，，，,所以，又，所以，所以,所以，故选：D.8．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）给出下列四个命题:①-75°是第四象限角；②小于的角是锐角；③第二象限角比第一象限角大；④一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度.其中正确的命题有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】利用反例可判断②③的正误，根据1弧度的定义可判断④的正误，根据范围可判断①的正误.【详解】对于①，因为，故为第四象限角，对于②③，，故为第二象限角，但且为第一象限角，故②③错误，对于④，因为1弧度的圆心角所对的弧长为半径，此时对应的弦长小于半径，故④错误，故选：A.9．（2022·全国·高一课时练习）玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据弧长公式由条件求出扇形的圆心角和半径，再由面积公式求出扇面面积.【详解】如图，设，，由题图及弧长公式可得解得设扇形COD、扇形AOB的面积分别为，，则该玉雕壁画的扇面面积．故选：D.10．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边与的终边重合，则的终边不可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】首先表示角的取值，即可得到的取值，再对分类讨论，即可得解.【详解】解：因为角的终边与的终边重合，所以，，所以，，令，则，此时的终边位于第二象限；令，则，此时的终边位于第三象限；令，则，此时的终边位于第四象限．所以的终边不可能在第一象限，故选：A．二、多选题11．（2022·全国·高一课时练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AD【分析】设出扇形所在圆的半径及其弧长，再由条件列出方程求解即可作答.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则解得或，又圆心角，所以或，故选：AD.12．（2022·全国·高一单元测试）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（

）A．B．若，扇形的半径，则C．若扇面为“美观扇面”，则D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为【答案】AC【分析】首先确定所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由可求得，代入扇形面积公式可知B错误；由即可求得，知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D错误.【详解】对于A，与所在扇形的圆心角分别为，，，A正确；对于B，，，，B错误；对于C，，，，C正确；对于D，，D错误.故选：AC.13．（2022·全国·高一学业考试）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（

）A．1 B．4 C．2 D．3【答案】AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为S，圆心角为，则，，解得，或，，则或1．故C，D错误.故选：AB．14．（2022·安徽·高一期中）（

）A．是正数 B．是负数 C．大于 D．大于【答案】ACD【分析】根据弧度的含义，判断2弧度的角是第二象限角，由此可判断答案.【详解】由于，故2弧度的角是第二象限角，则，故A正确，B错误；，，故,故C，D正确；故选：ACD三、填空题15．（2022·全国·高一课时练习）的角化为角度制的结果为_______．【答案】【分析】利用角度与弧度的互化即可求得对应角度制的结果【详解】故答案为：16．（2022·全国·高一专题练习）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开扇形的圆心角大小为，则这个圆锥的母线长为______．【答案】12【分析】设母线长为，由弧长公式计算可得；【详解】解：设母线长为，则侧面展开的扇形的弧长为，由题意，即，因为，故．故答案为：17．（2022·黑龙江·哈师大附中高一开学考试）一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为____________度．【答案】【分析】设扇形的半径为，圆心角为，根据弧长与扇形面积公式得到方程组，解得即可.【详解】解：设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，解得；故答案为：18．（2022·全国·高一课时练习）若两个角的差为1弧度，和为1°，则这两个角的弧度数分别为______．【答案】；【分析】设这两个角的弧度数分别为，，先将化为弧度，然后由条件可得方程，解出方程可得到答案.【详解】设这两个角的弧度数分别为，，，因为，所以，则，即这两个角的弧度数分别为，．故答案为：，19．（2022·四川巴中·高一期末（理））半径为2cm，中心角为的扇形的弧长为______cm．【答案】【分析】先将圆心角角度化成弧度制，然后直接利用弧长公式进行求解即可．【详解】解：圆弧所对的中心角为即为弧度，半径为弧长为．故答案为：．20．（2022·河南安阳·高一期末）如图，扇环ABCD中，弧，弧，，则扇环ABCD的面积__________．【答案】3【分析】根据弧长公式求出，，再由根据扇形的面积公式求解即可.【详解】设,因为弧，弧，，所以，，所以，，又扇形的面积为，扇形的面积为，所以扇环ABCD的面积．故答案为：3四、双空题21．（2022·全国·高一课时练习）把弧度化成角度：（1）______；（2）2rad=______．【答案】

54°

【分析】根据结论将弧度转化为度即可.【详解】（1），（2），故答案为：54°，.五、解答题22．（2022·全国·高一课时练习）如图，点是圆上的点.(1)若，，求劣弧的长；(2)已知扇形的周长为，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）由圆心角为可知为等边三角形，由扇形弧长公式可求得结果；（2）设圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，可知；方法一：由，利用基本不等式可知当时，取得最大值，由可求得结果；方法二：由，将表示成关于的二次函数的形式，根据二次函数性质可确定最大值点，由此可得，由可求得结果.【详解】（1），，又，为等边三角形，，则劣弧的长为.（2）设圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，扇形的周长为，，方法一：扇形面积（当且仅当时取等号），当扇形面积取得最大值时，圆心角.方法二：扇形面积，则当时，取得最大值，此时，当扇形面积取得最大值时，圆心角.23．（2022·全国·高一）已知．(1)把表示成的形式，其中，；(2)求，使与的终边相同，且．【答案】(1)(2)【分析】（1）将直接表示为的形式，其中，；（2）设，由可求得的值，即可得解.（1）解：.（2）解：，设，由可得，解得，，则，故.24．（2022·全国·高一课时练习）如果一个扇形的周长为，那么当它的半径和圆心角分别为多少时，扇形的面积最大？【答案】当扇形的半径为，圆心角为时，扇形的面积最大【分析】设该扇形的半径为，圆心角为，弧长为，面积为，可得出，利用二次函数的基本性质求出的最大值及其对应的值，即可求得值，即可得出结论.【详解】解：设该扇形的半径为，圆心角为，弧长为，面积为，则，所以，其中，所以，，所以当时，最大，最大值为，此时.25．（2022·全国·高一阶段练习）已知一扇形的圆心角为，周长为C，面积为S，所在圆的半径为r．(1)若，cm，求扇形的弧长；(2)若cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．【答案】(1)cm；(2)S的最大值是，此时扇形的半径是4cm，圆心角为2．【分析】（1）根据弧长公式即可计算；（2）将S表示成二次函数形式，利用二次函数性质即可求其最值.（1）＝，扇形的弧长cm；（2）设扇形的弧长为l，半径为r，则，∴，则，当时，，cm，，∴S的最大值是，此时扇形的半径是4cm，圆心角．26．（2022·湖南·高一课时练习）时钟的分针长6cm，从10:30到10:55，求：(1)分针转过的角的弧度数；(2)分针扫过的扇形的面积；(3)分针尖端所走过的弧长．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据每钟分针转进行求解即可；（2）根据扇形的面积公式进行求解即可；（3）根据弧长公式进行求解即可.(1)因为从10:30到10:55，所以一共走了分钟，而每钟分针转，所以分针转过的角为，它相当于，又因为分针转过的角度为负数，所以分针转过的角的弧度数为；(2)因为分针长6cm，所以分针尖端所走过的弧长为：，因此分针扫过的扇形的面积为：；(3)因为分针长6cm，所以分针尖端所走过的弧长为：.27．（2022·湖南·高一课时练习）半径为12cm的轮子，以400r/min的速度按顺时针方向旋转．(1)轮沿上的点每秒转过的度数是多少？相应的弧度数呢？(2)求轮沿上的点在轮子转动1000°时所经过的路程．【答案】(1)每秒转过，对应弧度为；(2).【分析】（1）由每分钟的转速求每秒转过的弧数，再换算成度数即可.（2）先求出1000°对应的弧度，利用弧长公式求所经过的路程.(1)由题设，每秒转过的弧数，对应角度为度.(2)由，则在轮子转动1000°时所经过的路程为.【能力提升】一、单选题1．（2022·全国·高一）已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据周长建立弧长与半径间的关系，由扇形面积公式可得,利用二次函数求最值,并求出S最大时对应的圆心角即可.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，所以，扇形面积，当时，有最大值，此时圆心角，故选：D2．（2022·江苏宿迁·高一期中）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（

）（参考数据：）A．572m2 B．1448m2 C．m2 D．2028m2【答案】D【分析】由题意可得，求出内侧圆弧所在圆的半径，利用扇形的弧长公式和面积公式求出弓形的面积，再求出以为直径的半圆的面积，相减即可【详解】设的外接圆的半径为，则，得，因为月牙内弧所对的圆心角为，所以内弧的弧长，所以弓形的面积为，以为直径的半圆的面积为，所以该月牙泉的面积为，故选：D3．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习）砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来．如图1，梨花广场的标志性建筑就是根据梨花的形状进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看作由两个对称的弓形组成，图2为其中的一个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆的半径为，弦长为，则一个“花瓣”的面积为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用扇形面积公式和三角形面积公式求弓形面积，由此可得结果.【详解】因为弓形的圆弧所在圆的半径为，弦长为，所以弓形的圆弧所对的圆心角的大小为，所以弓形的面积，所以一个“花瓣”的面积为，故选：B.4．（2022·上海市川沙中学高一阶段练习）在中，，以为圆心，为半径作圆弧交于点，若弧等分的面积，且弧度，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析题意，首先设出扇形的半径，表示出扇形的面积和直角三角形的面积，列方程即可求得.【详解】设扇形的半径为r，则扇形的面积为.直角三角形POB中，，△POB的面积为.由题意得，所以.故选：B5．（2022·上海市嘉定区第二中学高一阶段练习）设圆的半径为，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上）.现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出示意图，分析可知当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次，计算出点每次滚动时点所走过的路程，即可得解.【详解】由图可知，圆的半径为，正方形的边长为，以正方形的边为弦所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次，设第次滚动时，点的路程为，则，，，，因此，点所走过的路程为.故选：B.6．（2022·吉林·长春十一高高一期末）已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（

）A． B． C．3 D．2【答案】D【分析】设出扇形半径并表示出弧长后，由扇形面积公式求出取到面积最大时半径的长度，代入圆心角弧度公式即可得解.【详解】设扇形半径为,易得,则由已知该扇形弧长为.记扇形面积为,则,当且仅当，即时取到最大值，此时记扇形的圆心角为，则故选：D7．（2022·全国·高一专题练习）已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，P沿直线l匀速向右、Q沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点Q运动到如图所示的位置时，点P也停止运动，连接OQ，OP，则阴影部分的面积，的大小关系是（

）A． B．C． D．先，再，最后【答案】C【分析】根据给定条件求出扇形AOQ与面积，再由面积的关系即可判断作答.【详解】因圆O与直线l相切，则，于是得面积，令弧AQ的弧长为l，扇形AOQ面积，依题意，即，令扇形AOB面积为，则有，即，所以阴影部分的面积，的大小关系是.故选：C二、填空题8．（2022·陕西西安·高一期末）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是_______．【答案】【分析】根据题意作出图形，观察可发现该图形的面积可用3个相同扇形面积之和减去中间2个等边三角形面积来计算．【详解】由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，即．故答案为：．9．（2022·河北·高一期中）已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为______【答案】【分析】由扇形的面积公式及圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长与底面圆的半径，由体积公式求解.【详解】设该圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由，得.因为，所以，所以该圆锥的体积为.故答案为：10．（2022·浙江·高一期中）鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为，则该鲁洛克斯三角形的面积为______.【答案】【分析】由弧长公式可求得等边的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.【详解】解：由题意可知，设，则弧的长度为，所以，设弧所对的扇形的面积为，，则该鲁洛克斯三角形的面积为.故答案为：.三、双空题11．（2022·安徽·高一阶段练习）凸四边形的面积为，，，，则最大值为___________；若四边形的外接圆为圆，则所对的圆弧的长为___________．【答案】

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【分析】①以角和角为参数表示，在和中分别应用余弦定理化