数学人教A版高中必修一（2019新编）5-1-2 弧度制（学案）

5.1.2弧度制【学习目标】课程标准学科素养1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系．3.掌握并能应用弧度制下的扇形、弧长公式和面积公式.1.直观想象2.数学运算【自主学习】一．度量角的两种单位制1.角度制：(1)定义：用作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的.2.弧度制：(1)定义：以作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于的圆弧所对的圆心角．3.弧度数一般地，正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．思考1：比值eq\f(l,r)与所取的圆的半径大小是否有关？4.弧度制与角度制的换算公式角度化弧度弧度化角度360°＝rad2πrad＝180°＝radπrad＝1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝(eq\f(180,π))°≈57.30°5.一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π6.角的集合与实数集R的关系角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起的关系：每一个角都有的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图．二．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则1.弧长公式：l＝.2.扇形面积公式：S＝＝.注意：(1)α为弧度制．(2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：①l＝|α|·r，|α|＝eq\f(l,r)，r＝eq\f(l,|α|)；②S＝eq\f(1,2)|α|r2，|α|＝eq\f(2S,r2).思考2：扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？【小试牛刀】1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1弧度的角大于1度的角.()(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．()(3)1弧度的角是周角的eq\f(1,360).()(4)与45°终边相同的角可以写成α＝2kπ＋45°，k∈Z.()2.2rad的角的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3.半径为2，圆心角为eq\f(π,6)的扇形的面积是________．【经典例题】题型一角度制与弧度制的互化点拨：角度制与弧度制互化的关键与方法1.关键：抓住互化公式πrad＝180°是关键；2.方法：度数×eq\f(π,180)＝弧度数；弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数；3.角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.例1将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)eq\f(7π,12)；(4)－eq\f(11π,5).【跟踪训练】1(1)已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq\f(7,12)π，试比较它们的大小．(2)把－1480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？题型二用弧度制表示终边相同的角点拨：1.弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角．例2将－1125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？【跟踪训练】2用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角θ的集合.题型三弧长公式与扇形面积公式的应用点拨：弧度制下解决扇形相关问题的步骤1.明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝eq\f(1,2)αr2和S＝eq\f(1,2)lr.(这里α必须是弧度制下的角)2.分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．3.根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．注意：看清角的度量制，恰当选用公式．例3(1)求半径为2，圆心角为eq\f(5π,3)的圆弧的长度．(2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数．【跟踪训练】3已知扇形AOB的周长为10cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．【当堂达标】1.圆的半径为r，该圆上长为eq\f(3,2)r的弧所对的圆心角是()A.eq\f(2,3)radB．eq\f(3,2)radC.eq\f(2π,3)radD．eq\f(3π,2)rad2.(多选)下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中，正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z) D.2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)3.－135°化为弧度为______，eq\f(11π,3)化为角度为________.4.已知扇形的周长为8cm，圆心角为2，则扇形的面积为________cm2.5.用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．6.已知扇形OAB的周长是60cm，求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB.【参考答案】【自主学习】一．1.度eq\f(1,360)2.弧度半径长3.正数负数0eq\f(l,r)思考1：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．4.2ππ360°180°6.一一对应唯一唯一二．αReq\f(1,2)lReq\f(1,2)αR2思考2：扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一个曲边三角形，弧是底，半径是底上的高【小试牛刀】1.(1)√(2)√(3)×(4)×2.B3.eq\f(π,3)解析：由已知得S扇＝eq\f(1,2)×eq\f(π,6)×22＝eq\f(π,3).【经典例题】例1解：(1)20°＝eq\f(20π,180)＝eq\f(π,9).(2)－15°＝－eq\f(15π,180)＝－eq\f(π,12).(3)eq\f(7π,12)＝eq\f(7,12)×180°＝105°.(4)－eq\f(11π,5)＝－eq\f(11,5)×180°＝－396°.【跟踪训练】1解析：(1)法一：(化为弧度)：α＝15°＝15×eq\f(π,180)＝eq\f(π,12)，θ＝105°＝105×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,12)，显然eq\f(π,12)＜eq\f(π,10)＜1＜eq\f(7π,12).故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二：(化为角度)：β＝eq\f(π,10)＝eq\f(π,10)×(eq\f(180,π))°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝eq\f(7π,12)×(eq\f(180,π))°＝105°.显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.(2)－1480°＝－1480×eq\f(π,180)＝－eq\f(74π,9)＝－10π＋eq\f(16π,9)，其中0≤eq\f(16π,9)<2π，因为eq\f(16π,9)是第四象限角，所以－1480°是第四象限角．例2解：－1125°＝－1125×eq\f(π,180)＝－eq\f(25π,4)＝－8π＋eq\f(7π,4).其中eq\f(3π,2)<eq\f(7π,4)<2π，因为eq\f(7π,4)是第四象限角，所以－1125°是第四象限角.【跟踪训练】2解：终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即θ＝eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z.终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，故终边落在阴影部分的角θ的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ≤θ≤\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z))))例3解：(1)∵半径R＝2，圆心角α＝eq\f(5π,3)，∴弧长l＝|α|·R＝eq\f(10π,3).(2)设扇形的半径为r，弧长为l，所对圆心角为α(0<α<2π)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝10，,\f(1,2)rl＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝8，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝4，,l＝2.))当r＝1时，l＝8，此时α＝eq\f(l,r)＝8(rad)>2π，不符合，舍去；当r＝4时，l＝2，此时α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)(rad)．∴所求圆心角的弧度数为eq\f(1,2)rad.【跟踪训练】3解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，由l＋2r＝10得l＝10－2r，S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(10－2r)·r＝5r－r2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(5,2)))2＋eq\f(25,4)，0<r<5.当r＝eq\f(5,2)时，S取得最大值eq\f(25,4)，这时l＝10－2×eq\f(5,2)＝5，∴θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(5,\f(5,2))＝2.故该扇形的面积的最大值为eq\f(25,4)cm2，取得最大值时圆心角为2rad，弧长为5cm.【当堂达标】1.B解析：由弧度数公式α＝eq\f(l,r)，得α＝eq\f(\f(3,2)r,r)＝eq\f(3,2)，因此圆弧所对的圆心角是eq\f(3,2)rad.2.CD解析：A、B中弧度与角度混用，不正确；eq\f(9π,4)＝2π＋eq\f(π,4)，所以eq\f(9π,4)与eq\f(π,4)终边相同.－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同，即与eq\f(9π,4)终边相同.3.－eq\f(3π,4)660°解析：－135°＝－135×eq\f(π,180)＝－eq\f(3π,4)；eq\f(11π,3)＝eq\f(11,3)×180°＝660°.4.4解析：设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，由圆心角为2rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.故扇形的面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4×2＝4cm2.5.解：对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－eq\f(3π,4)，60°角的终边即eq\f(π,3)的终边，∴所求集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3π,4)＜α＜2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).对于题图(2)，同理可得，所求集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)＜α≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π＋\f(π,6)＜α≤2kπ＋π＋\f(π,2)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c