数学人教A版高中必修一（2019新编）1-4-1 充分条件与必要条件（学案）

1.4充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件【学习目标】素养目标学科素养1、理解充分条件、必要条件的概念，并会判断．(重点)2、可以通过已知关系探讨参数取值范围．(难点)1、数学抽象2、逻辑推理【自主学习】充分条件与必要条件的概念命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p

qp

q条件关系p是q的

条件q是p的

条件p不是q的

条件q不是p的

条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个条件．解读：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．二．充分条件、必要条件与集合的关系设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}A⊆Bp是q的充分条件；q是p的必要条件B⊆Aq是p的充分条件；p是q的必要条件【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)若p是q的充分条件，则p是唯一的．()(2)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．()(3)若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立．()(4)q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．()(5)若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件．()2．“a＝b”是“ac＝bc”的________条件．(充分，必要)【经典例题】题型一充分条件、必要条件的判定点拨：充分、必要条件的判断方法1.定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．2.命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．例1下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。若a=b，则ac=bc。（6）若x，y为无理数，则xy为无理数。【跟踪训练】1下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。（5）若ac=bc，则a=b（6）若xy为无理数，则x，y为无理数题型二利用充分条件、必要条件求参数的范围点拨：1.利用充分、必要条件求参数的思路根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．2.从集合角度看充分、必要条件：设命题p、q分别对应集合A、B，若A⊆B，则p是q的充分条件；若B⊆A，则p是q的必要条件．例2已知集合，，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．【跟踪训练】2已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值．【当堂达标】1.(多选)设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是()A．x＞3.5B．x＜3C．x＞4D．x＜42.设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不充分又不必要条件3.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法判断4.俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的()A．充分条件 B．必要条件C．既不充分又不必要条件 D．无法判断5.设x，y∈R，那么“x>y>0”是“eq\f(x,y)>1”的________条件(填“充分”或“必要”)．6.已知p：关于x的不等式eq\f(3－m,2)<x<eq\f(3＋m,2)，q：0<x<3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．【课堂小结】1．能够将一个命题改写成“若p，则q”的形式，并能准确地用语言表述充分条件、必要条件．2．充分条件、必要条件的判断，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”的真假，“若p，则q”为真命题，则p是q的充分条件，否则p不是q的充分条件．“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件．3．掌握集合的包含关系与充分条件、必要条件的关系.【参考答案】【自主学习】⇒⇏充分必要充分必要【小试牛刀】1.×√√√√2.充分【经典例题】例1（1）这是平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。（2）这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。（3）这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。（4）由于(-1)2=1，但是-1≠1，p⇏q，所以p不是q的充分条件。（5）由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件。（6）为无理数但是有理数，p⇏q，所以p不是q的充分条件。【跟踪训练】1（1）这是平行四边形的性质定理，p⇒q，所以q是p的必要条件。（2）这是三角形相似的性质定理，p⇒q，所以q是p的必要条件。（3）如图，对角线垂直，但不是菱形，p⇏q，所以q不是p的必要条件。（4）显然p⇒q，所以q是p的必要条件。（5）由于，但，p⇏q，所以q不是p的必要条件。（6）由于为无理数，但不全是无理数，p⇏q，所以q不是p的必要条件。例2解：若“”是“”的必要条件，则，①当时，；②，则且，.综上所述，或．【跟踪训练】2解：解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，令A＝{2，－3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)))，∵q是p的充分条件，∴B⊆A.当－eq\f(1,m)＝2时，m＝－eq\f(1,2)；当－eq\f(1,m)＝－3时，m＝eq\f(1,3).所以m＝－eq\f(1,2)或m＝eq\f(1,3).【当堂达标】1.AC解析：∵x>3.5⇒x>3.14，x>4⇒x>3.14.∴x>3.14成立的一个充分条件是x>3.5或x>4.故选AC.2.B解析：因为集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”可得到“m∈A”，故选B.3.A解析：当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．4.A解析：这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．选A.5.充分解析：x>y>0⇒eq\f(x,y)>1，而由eq\f(x,y)>1推不出x>y>0，如：x＝－5，y＝－4，满足eq\f(x,y)>1，但－5<－4，即x<y<0，不满足x>y>0.故x>y>0是eq\f(x,y)>1的充分条件．6.解：记A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))\f(3－m,2)<x<\f(3＋m,2)))，B＝{x|0<x<3}，若p是q的充分条件，则A⊆B.注意到B＝{x|0<x<3}≠∅，分两种情况讨论：①若A＝∅，即eq\f(3