数学人教A版高中必修一（2019新编）4-2-1 指数函数的概念（分层作业）

4.2.1指数函数的概念（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．2．（2022·全国·高一专题练习）函数是指数函数，则（

）A．或 B． C． D．且【答案】C【分析】由指数函数的定义可得，同时，且，从而可求出的值【详解】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.故选：C3．（2022·全国·高一课时练习）若是指数函数，则有（

）A．或 B．C． D．且【答案】C【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.【详解】因为是指数函数，所以，解得.故选：C．4．（2022·全国·高一课时练习）若函数是指数函数，则（

）A． B． C．或 D．且【答案】B【分析】根据指数函数的定义列出关于a的方程，进行求解即可．【详解】由指数函数的定义，得，解得．故选：B【点睛】本题主要考查了根据函数是指数函数求参数范围，属于基础题.5．（2022·云南昭通·高一期末）已知函数是定义在上的周期函数，且周期为2，当时，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函数的周期性，则，又根据函数在的解析式，求解的值，即可得的值.【详解】解：由题可知,所以,又当时，，所以,即.故选：C.6．（2022·全国·高一课时练习）函数是指数函数，则（

）A．或 B． C． D．且【答案】C【分析】根据指数函数的定义，得到的方程，从而得到的值.【详解】因为函数是指数函数所以，且，解得.故选：C.【点睛】本题考查根据指数函数的定义求参数的值，属于简单题.7．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末）已知指数函数在上单调递增，则的值为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】令系数为，解出的值，又函数在上单调递增，可得答案．【详解】解得，又函数在上单调递增，则，故选：B8．（2022·全国·高一课时练习）函数是指数函数，则有（

）A．或 B． C． D．，且【答案】C【分析】根据指数函数定义得到，排除的情况得到答案.【详解】由指数函数的概念得，解得或．当时，底数是1，不符合题意，舍去；当时，符合题意.故选：C．二、填空题9．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知函数，则________.【答案】4【分析】利用给定的分段函数，依次计算作答.【详解】函数，则，所以.故答案为：410．（2022·全国·高一课时练习）若函数（，且）是指数函数，则________．【答案】8【分析】根据指函数的定义求解即可.【详解】解：因为函数是指数函数，所以，所以．故答案为：8.11．（2022·全国·高一专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】③【分析】利用指数函数的定义逐个分析判断即可【详解】①的系数不是，不是指数函数；②的指数不是自变量，不是指数函数；③是指数函数；④的底数是不是常数，不是指数函数；⑤的指数不是自变量，不是指数函数；⑥是幂函数．故答案为：③12．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）设且，函数，若，则的值为________．【答案】【分析】根据函数的解析式以及已知条件可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.【详解】因为，且，则.故答案为：.13．（2022·全国·高一课时练习）若函数是指数函数，则________.【答案】2【分析】由指数函数定义求解．【详解】由是指数函数，可得解得.故答案为：2．14．（2022·湖南永州·高一期末）已知函数（且），若，则_________.【答案】2【分析】由已知函数的解析式，代入求解即可.【详解】解：因为函数（且），，所以，解得，故答案为：2.15．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是指数函数，且，则______．【答案】【分析】依题意设（且），根据即可求出的值，从而求出函数解析，再代入计算可得.【详解】解：由题意，设（且），因为，所以，又，所以，所以，所以．故答案为：16．（2022·全国·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则___________.【答案】【分析】根据，可得函数是以4为周期的周期函数，再根据函数的周期性和奇偶性即可得解.【详解】解：因为，所以函数是以4为周期的周期函数，又因是定义在上的奇函数，所以.故答案为：.三、解答题17．（2022·湖南·高一课时练习）已知指数函数的图象经过点，求的值．【答案】【分析】先将点代入函数解析式，求出函数的解析式，再求的值.【详解】指数函数的图象经过点，则，解得所以，则18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（为常数，，且）的图象经过点，．(1)试确定函数的解析式；(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，得到方程组，求得的值，即可求解；（2）根据题意转化为函数在区间上的最小值不小于，结合函数的单调性求得最小值，即可求解.（1）解：因为函数的图象经过点和，可得，结合，且，解得，所以函数的解析式为．（2）解：要使在区间上恒成立，只需保证函数在区间上的最小值不小于即可，因为函数在区间上单调递减，所以当时，取得最小值，最小值为，所以只需即可，即实数的取值范围为．19．（2022·全国·高一专题练习）设为定义在R上的奇函数，当时，（为常数），求.【答案】【分析】先由求得，再由求解即可.【详解】因为为定义在R上的奇函数，所以，解得，所以当时，，所以.20．（2022·全国·高一专题练习）若指数函数的图象经过点，求．【答案】【分析】设出函数解析式，代入点求解即可.【详解】设且，因为函数的图象经过点，代入可得，解得或(舍去)．故．21．（2022·贵州黔东南·高一期末）已知函数是指数函数.(1)求实数的值；(2)解不等式【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得从而可求出实数的值；（2）由（1）可得，再由幂函数的单调性可得，解不等式组可得答案(1)由题可知解得(2)由（1）得∵在上单调递增，∴，解得，故原不等式的解集为22．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）已知函数且的图象经过点(1)求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)3(2)【分析】（1）利用求得.（2）结合指数函数的单调性求得实数的取值范围.(1)依题意且，(2)在R上是增函数且所求的取值范围是23．（2022·北京丰台·高一期末）一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费.这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记x分钟后的病毒所占内存为yKB．(1)求y关于x的函数解析式；(2)如果病毒占据内存不超过1GB（，）时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长.【答案】(1)（）(2)57分钟【分析】（1）根据题意可得，y关于x的函数解析式；（2）先根据题意，换算病毒占据的最大内存,根据（1）中的解析式，列出不等式，可得答案.(1)因为这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍.所以x分钟后的病毒所占内存为，得（）(2)因为病毒占据内存不超过1GB时，计算机能够正常使用，故有，解得.所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟.【能力提升】一、单选题1．（2022·全国·高一单元测试）是定义域为的函数，且为奇函数，为偶函数，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数的奇偶性列方程组求的解析式，进而代入自变量求的值.【详解】由题意，，即，，即，所以，可得，故.故选：A.2．（2022·浙江宁波·高一期末）已知函数，则存在，对任意的有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】考虑到二次函数的对称轴的不同情况，结合二次函数的单调性，即可判断每个选项的正确与否.【详解】对于A,当时，有，故A错误；对于B，为四次函数，为指数函数，且是单调递增，当x取很大的实数时，不存在，使得，故B错误；对于C，要使，必须满足，也即恒有，当时，就有，说明C错误；对于D，，即，此时，若，则，那么对任意的，恒成立，故D正确；故选：D.3．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）设函数对任意的，都有，，且当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由和可得函数的周期，再利用周期可得答案.【详解】由得，所以，即，所以的周期为4，，由得，所以.故选：A.二、填空题4．（2022·陕西·西安高新第三中学高一开学考试）定义在上的偶函数满足，且时，，则__________.【答案】2019【分析】先判断函数的周期性，再利用周期性改变自变量的大小，将自变量转化到已知对应关系的区间上，代相应的解析式即可【详解】根据题意，函数满足则,则函数是周期为的周期函数，又由时,，则则，故答案为:5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是指数函数，如果，那么__（请在横线上填写“”，“”或“”）【答案】>【解析】由题意设，根据求出解析式，即可比较，的大小.【详解】因为函数是指数函数，设，则，解得或（舍去）所以，是增函数，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，待定系数法求解析式，属于容易题.6．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数，且），其图象像经过点（-1，5），（0，4），则的值为__________.【答案】7【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再代入求值即可．【详解】解：由已知得，解得，所以，所以．故答案为【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式及求函数值，属于基础题．三、解答题7．（2022·河北沧州·高一开学考试）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.(1)求和的值；(2)求在上的解析式.【答案】(1)(2)【分析】（1）由奇偶性和，取x=1可得；（2）取，利用，代入解析式结合奇偶性可解.(1)满足，，.(2)由题意知，.当时，.由是奇函数，，综上，在上，8．（2022·辽宁·大连二十四中高一期末）已知指数函数过点，函数.(1)求，的值；(2)判断函数在上的奇偶性，并给出证明；(3)已知在上是单调函数，由此判断函数，的单调性（不需证明），并解不等式.【答案】(1)；(2)为偶函数，证明见解析；(3)增区间为，减区间为；不等式解集为.【分析】（1）由指数函数过点求参数a，即可得的解析式，进而求，的值；（2）利用奇偶性定义判断的奇偶性；（3）由题设及（1）（2）结论即可判断的单调性，再根据单调性、奇偶性求不等式的解集.(1)由题设，，则，所以，.(2)，，定义域关于原点对称.又，故为偶函数；(3)由且，在上单调，所以为单调增区间，而为偶函数，则单调减区间为由可得：，即，解得.9．（2022·全国·高一单元测试）如图所示的函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成．（1）求的解析式；（2）比较与的大小；（3）已知，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】试题分析：（1）将分别代入，，求得，所以；（2）因为，所以，即；（3）由题意，根据定义域和单调性，有解得.试题解析：（1）由题意得解得∴（2）因为，所以，即．（3）由题意，所以解得，所以的取值范围是．考点：函数的单调性.10．（2022·全国·高一期末）已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．(1)若的图象如图①所示，求a，b的值；(2)若的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(3)在(1)中，若＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．【答案】(1)a＝，b＝－3(2)a的取值范围为(0，1)，b的取值范围为．(3)或【分析】（1）代入点的坐标列出方程求解即可；（2）根据图象可知函数为减函数确定的取值范围，再由可求的取值范围；（3）作出的图象，数形结合求解即可.(1)因为的图象过点，所以解得a＝，b＝－3.(2)由为减函数可知a的取值范围为(0，1)，因为，即，所以b的取值范围为．(3)由题中图①可知的图象如图，由图可知使有且仅有一个实数解的的取值范围为或.11．（2022·全国·高一单元测试）设函数，且，函数．（1）求的解析式；（2）若方程－b=0在[－2，2]上有两个不同的解，求实数b的取值范围．【答案】（1），（2）【详解】试题分析：（1）；本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a的值即可，（2）对于同时含有的表达式，通常可以令进行换元，但换元的过程中一定要注意新元的取值范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系，