数学人教A版高中必修一（2019新编）3-4函数的应用（一）（分层作业）

3.4函数的应用（一）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·全国·高一专题练习）某公司今年销售一种产品，一月份获得利润万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为，则满足的方程为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】分别求出二、三份的利润再求和即可.【详解】二、三月份利润的月增长率为，则二月份获得利润为万元，三月份获得利润为万元，依题意得：.故选：D.2．（2022·全国·高一课时练习）某市为打击出租车无证运营、漫天要价等不良风气，出台两套出租车计价方案，方案一：2公里以内收费8元（起步价），超过2公里的部分每公里收费3元，不足1公里按1公里计算：方案二：3公里以内收费12元（起步价），超过3公里不超过10公里的部分每公里收费2.5元，超过10公里的部分每公里收费3.5元，不足1公里按1公里计算．以下说法正确的是（

）A．方案二比方案一更优惠B．乘客甲打车行驶4公里，他应该选择方案二C．乘客乙打车行驶12公里，他应该选择方案二D．乘客丙打车行驶16公里，他应该选择方案二【答案】C【分析】根据方案算出应付车费比较即可.【详解】A.应付车费与公里数有关，故错误；B.乘客甲打车行驶4公里，方案一：应付车费为；方案二应付车费为，他应该选择方案一，故错误；C.乘客乙打车行驶12公里，方案一：应付车费为；方案二应付车费为，他应该选择方案二，故正确；D.乘客丙打车行驶16公里，方案一：应付车费为；方案二应付车费为，他应该选择方案一，故错误；故选：C3．（2021·全国·高一专题练习）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（

）A．135 B．149C．165 D．195【答案】B【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解.【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选：B4．（2022·全国·高一课时练习）甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是（

）A．v甲＞v乙 B．v甲＜v乙C．v甲＝v乙 D．大小关系不确定【答案】B【分析】利用平均变化率的几何意义即可得出选项.【详解】设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．故选：B5．（2022·全国·高一课时练习）某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（

）A．310元 B．300元C．390元 D．280元【答案】B【分析】利用已知条件列方程，化简求得正确选项.【详解】依题意，解得.故选：B6．（2022·全国·高一课时练习）下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（

）①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①【答案】A【分析】根据三个事件的特征，分析离家距离的变化情况，选出符合事件的图像.【详解】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合；对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；故选：A.7．（2022·全国·高一课时练习）甲、乙两人沿着同一方向从地去地，甲前一半的路程使用速度，后一半的路程使用速度；乙前一半的时间使用速度，后一半的时间使用速度，关于甲，乙两人从地到达地的路程与时间的函数图象及关系（其中横轴表示时间，纵轴表示路程）可能正确的图示分析为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意分析开始图象是重合的线段，再根据v1＜v2可知两人的运动情况均是先慢后快，即可.【详解】由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，所以图象是重合的线段，由此排除C，D，再根据v1＜v2可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A正确．故选：A8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若，则的取值范围是（

）A．， B．，C．，， D．，，【答案】D【解析】根据每一段函数的函数解析式，分类讨论转化，即可容易求得结果.【详解】因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得成立，所以将原不等式转化为：或，从而得或．故选：D．【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，属简单题.9．（2022·湖南·高一课时练习）国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x（km）0＜x≤500500＜x≤10001000＜x≤1500…邮资y（元）5.006.007.00…如果某人在西安要快递800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是（

）A．5.00元 B．6.00元C．7.00元 D．8.00元【答案】C【分析】直接由邮资标准表找到x＝1200所对应的邮费即可.【详解】通过邮资标准表可得到，当x＝1200时，y＝7.00元.故选：C.【点睛】本题主要考查了学生处理信息的能力，属于基础题.10．（2022·全国·高一课时练习）某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（）A．200本 B．400本 C．600本 D．800本【答案】C【分析】该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，由此能求出结果．【详解】该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，解得x≥600．∴该厂为了不亏本，日印图书至少为600本．故选C．【点睛】本题考查函数的实际应用问题，是基础题．二、多选题11．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）函数s=f（t）的图像如图所示（图像与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（

）A．函数s=f（t）的定义城为[-3，+∞）B．函数s=f（t）的值域为（0，5]C．当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应D．当时，【答案】BD【分析】由函数的定义域值域与单调性结合图象逐一判断即可求解【详解】对于A：由图象可知：函数s=f（t）在没有图象，故定义城不是[-3，+∞），故A错误；对于B：由图象可知函数s=f（t）的值域为（0，5]，故B正确；对于C：由图象可知，当时，有3个不同的t值与之对应，故C错误；对于D：由图象可知函数s=f（t）在上单调递增，又当时，，则在上单调递增，故D正确；故选：BD12．（2022·全国·高一课时练习）某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（

）A．2.6元 B．2.8元 C．3元 D．3.2元【答案】BCD【分析】根据题意设出商品A的单价为元，用含有的式子表示商品A销售总收入，列出不等式求解即可.【详解】设商品A的单价为元，则销量为万件，此时商品A销售总收入为万元，根据题意有，解得，故BCD符合题意.故选:BCD三、填空题13．（2021·全国·高一课时练习）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是yx+3和x，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点A的横坐标为__．【答案】6【分析】设A的横坐标为m，把代入两个直线方程，所得值相减（大减小）差为1，由此可解得，得结论．【详解】设A的横坐标为m，则A的坐标为（m，0），∵屋顶所在直线方程分别是yx+3和yx，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，∴，解得m＝6，故点A的横坐标为6．故答案为：6．14．（2021·全国·高一课时练习）若直线经过和两点，则不等式组的解集为_________．【答案】【分析】将A、B两点坐标代入直线方程，求出k、b的值，再将k、b的值代入不等式组，解得即可.【详解】因为直线经过和两点，所以解得则不等式组可化为，解得.故答案为：15．（2022·全国·高一课时练习）现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩粒；第二轮，甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩粒.则红豆和白豆共有________粒.【答案】【分析】设红豆有粒，白豆有粒，由两轮的结果可构造方程组，根据的范围可计算求得，加和即可得到结果.【详解】设红豆有粒，白豆有粒，由第一轮结果可知：，整理可得：；由第二轮结果可知：，整理可得：；当时，由得：（舍）；当时，由得：（舍）；当时，由得：，，即红豆和白豆共有粒.故答案为：.16．（2022·全国·高一课时练习）已测得的两组值为，，现有两个拟合模型，甲：，乙：.若又测得的一组对应值为，则选用________作为拟合模型较好．【答案】甲【分析】将分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.【详解】对于甲：时，，对于乙：时，，因此用甲作为拟合模型较好．故答案为：甲17．（2022·全国·高一课时练习）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算．可以享受折扣优惠金额折扣优惠率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为__________元．【答案】1120【分析】设顾客选购物品的总金额为元,获得的折扣优惠金额为元,根据题意列出分段函数的解析式,利用各段解析式可求得答案.【详解】设顾客选购物品的总金额为元,获得的折扣优惠金额为元,则当时,,当时,,令,得,解得,所以应舍去;当时,,令,所以,解得,符合题意,所以他实际所付金额为1150-30=1120元.故答案为:1120.【点睛】本题考查了分段函数的解析式,弄清题意,建立各段上的函数关系式是解题关键,属于基础题.四、解答题18．（2022·全国·高一专题练习）A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为，从A到B的火车票价格（部分）如下表所示：运行区间公布票价学生票上车站下车站一等座二等座二等座AB81（元）68（元）51（元）(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？(2)由于各种原因，二等座火车票只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式.(3)请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？【答案】(1)10人、20人与180人；(2)；(3)至少要花11233元，最多要花16980元.【分析】（1）设出老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，列出方程组，求出结果；（2）分与两种情况进行求解；（3）在第二问基础上分别求出购买火车票的总费用，比较后得到至少要花11233元，最多要花16980元.（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座火车票，依题意得：，

解得，则.答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.（2）由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，①当时，最经济的购票方案为：学生都买学生票共180张，名成年人买二等座火车票，名成年人买一等座火车票.所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即.②当时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共张.所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即.综上：（3）由（2）知，当时，，由此可见，当时，y的值最小，最小值为11233元，当时，y的值最大，最大值为11610元.当时，，由此可见，当时，y的值最小，最小值为11640元，当时，y的值最大，最大值为16980元.所以按（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元.19．（2021·全国·高一课时练习）如图，在等腰梯形ABCD中，，且．已知为定值l，腰CD与直线BC夹角为60°，已知等腰梯形的面积为S．高为h，求S关于h的函数解析式．【答案】，【分析】分别用表示出,,利用，即可得到答案.【详解】由题意画图如下：过点C做AD的垂线交AD于E,在中所以因为，所以，，所以，.故答案为：，.20．（2022·全国·高一课时练习）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？【答案】(1)(2)70万盒【分析】（1）根据题意分和两种情况求解即可；（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.（1）当产量小于或等于50万盒时，，当产量大于50万盒时，，故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为（2）当时，；当时，，当时，取到最大值，为1200．

因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．21．（2022·全国·高一课时练习）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元【分析】（1）年利润为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；（2）当时，根据二次函数单调性求最大值；当时，根据基本不等式求最大值，继而求出最大值.（1）当时，；当时，.所以（2）当时，.当时，取得最大值，且最大值为950.当时，当且仅当时，等号成立.因为，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.22．（2022·全国·高一专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【答案】(1)400吨；(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.（2）根据获利，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；当且仅当，即时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S元，则，因为，则，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.23．（2022·全国·高一课时练习）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．(1)当时，求函数的表达式；(2)当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒【答案】(1)；(2)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【分析】（1）根据题意，时，v(x)为常数函数；时，设，根据题意函数过(200，0)和(20，60)两点，据此求出a、b即可；（2）分段求出函数的最大值，比较最大值的大小即可判断f(x)的最大值．(1)当时，；当时，设，由已知得解得，故函数的表达式为；(2)依题意并由(1)可得，当时，为增函数，故当时，其最大值为60×20＝1200；当时，，∴当时，在区间(20，200]上取得最大值，∵3333＞1200，∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．24．（2022·全国·高一专题练习）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量.(1)将利润f(x)表示为月产量x的函数；(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润)【答案】(1)；(2)300，25000元.【分析】(1)由题意，由总收益总成本利润可知，分及求利润，利用分段函数表示；(2)在及分别求函数的最大值或取值范围，从而确定函数的最大值．从而得到最大利润．（1）由题意，当时，；当时，；故；（2）当时，；当时，(元当时，(元，当时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．【能力提升】一、单选题1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则下列说法正确的个数为（

）①函数的定义域为；②；③函数的图象关于直线对称；④当时，；⑤函数的图象与x轴有4个交点．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据分母不等于0，求解函数的定义域，判断①；代入验证判断②；画出函数的图象，判断④⑤；画出函数和的图象，即可判断函数图象的交点个数.【详解】函数的定义域为，故①错误；，故②正确；作出的图象如图所示，由图可知③错误，④正确．令，得方程，在上图中作出抛物线，由图可知的图象与抛物线有4个交点，故函数的图象与轴有4个交点，故⑤正确．故选：B．2．（2022·黑龙江双鸭山·高一期末）已知函数,若实数,则函数的零点个数为(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据分段函数做出函数的图象，运用数形结合的思想可求出函数的零点的个数，得出选项.【详解】令，得，根据分段函数的解析式，做出函数的图象，如下图所示，因为，由图象可得出函数的零点个数为3个，故选：D.【点睛】本题考查函数的零点,考查学生分析解决问题的能力,关键在于做出函数的图象，运用数形结合的思想得出零点个数，属于中档题.3．（2021·湖南益阳·高一期末）若定义在上的函数满足：，且，则下列结论中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意条件和，可对此式子赋值验证选项，即可完成求解.【详解】由已知可得函数的定义域为，满足①，且，对于选项A，可令，代入①式，得，得，所以A选项是正确的；对于选项B，可令，代入①式，得，得，所以B选项是正确的；对于选项C，可令，代入①式，得，而得，可令代入①式，得，整理得，所以C选项是错误的；对于选项D，可令，代入①式，得，而得，可令代入①式，得，整理得，所以D选项是正确的.故选：C.4．（2022·全国·高一课时练习）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发分钟.乙骑行分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（

）A．乙的速度为米/分钟 B．分钟后甲的速度为米/分钟C．乙比甲晚分钟到达地 D．、两地之间的路程为米【答案】C【分析】首先由图象确定甲乙两人的速度，再求出甲到达地时乙距离的的距离，计算甲的总路程即为、两地之间的路程，进而可判断各个选项的正确性，即可得正确答案.【详解】因为乙比甲早出发分钟，由图知：乙的速度为米/分钟，故选项A正确；设甲的原速度为，因为，解得：米/分钟，所以分钟后甲的速度为米/分钟，故选项B正确；当时，甲到达地，此时乙距离地还有米，所以还需要分钟，所以乙比甲晚分钟到达地，故选项C不正确；、两地之间的路程为米，故选项D正确；所以说法错误的是选项C，故选：C.5．（2021·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的解析式，分、和三种情况分类讨论，得出函数的解析式，结合函数的图象，即可求解.【详解】由题意，当时，，所以当时，；当时，；当时，.综上，函数，在时的解析式等价于.根据奇函数的图像关于原点对称作出函数在上的大致图像如图所示，观察图像可知，要使，，则需满足，解得.故选：B.6．（2021·全国·高一专题练习）近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为，第2月的口罩月消耗量增长率为，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为，则以下关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的关系，再根据基本不等式判断．【详解】由题意，，时，，，时，，，，因此，综上，．故选：D．二、多选题7．（2021·浙江·杭州市富阳区第二中学高一阶段练习）已知定义在R上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对任意的实数x成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（

）A．常值函数为回旋函数的充要条件是；B．若为回旋函数，则；C．函数不是回旋函数；D．若是的回旋函数，则在上至少有2015个零点.【答案】ACD【解析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用回旋函数的定义，令，则必有，令，则，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得，再根据零点存在性定理，推得零点的个数.【详解】A.若，则，则，解得：，故A正确；B.若指数函数为回旋函数，则，即，则，故B不正确；C.若函数是回旋函数，则，对任意实数都成立，令，则必有，令，则，显然不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C正确；D.若是的回旋函数，则，对任意的实数都成立，即有，则与异号，由零点存在性定理得，在区间上必有一个零点，可令，则函数在上至少存在2015个零点，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.8．（2021·江苏·高一单元测试）已知定义域为R的奇函数，满足，下列叙述正确的是（

）A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根B．当时，恒有C．若当时，的最小值为1，则D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则【答案】AC【分析】根据奇函数，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案【详解】函数是奇函数，故在R上的解析式为：绘制该函数的图象如所示：对A：如下图所示直线与该函数有7个交点，故A正确；对B：当时，函数不是减函数，故B错误；对C：如下图直线，与函数图交于，故当的最小值为1时有，故C正确对D：时，函数的零点有、、；若使得其与的所有零点之和为0，则或，如图直线、，故D错误故选：AC【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立三、填空题9．（2021·江苏·高一专题练习）定义区间(a，b)，[a，b]，(a，b]，[a，b]的长度为d＝b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：(1，2)[3，5]的长度d=(2-1)+(5-3)=3，设f(x)=[x]•{x}，g(x)=x-1，其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，若用d表示不等式f(x)≥g(x)解集区间的长度，则当时x∈[-2009，2009]，d＝____．【答案】2011【分析】化简函数f(x)=[x]x-[x]2，对不等式f(x)≥g(x)分类讨论，求出解集而得.【详解】f(x)=[x]•{x}=[x]•(x-[x])=[x]x-[x]2，g(x)=x-1，f(x)≥g(x)⇒[x]x-[x]2>x-1，即([x]-1)x≥[x]2-1，当x∈[0，1)时，[x]=0，上式可化为x≤1，∴x∈[0，1)；当x∈[1，2)时，[x]=1，上式可化为0≥0，∴x∈[1，2)；当x∈[2，2009]时，[x]-1>0，上式可化为x≥[x]+1，而x<[x]+1，∴x∈∅；当x∈[-2019，0)时，[x]<0，上式可化为x≤[x]+1恒成立，∴x∈[-2009，0）；∴f(x)≥g(x)在-2009≤x≤2009时的解集为[-2009，2)，故d＝2011.故答案为：2011【点睛】解决问题的关键是读懂取整函数[x]的意义及符号{x}=x-[x]的意义.10．（2022·全国·高一课时练习）某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系式，则总利润最大时，每年生产的产品数量是__________.【答案】300【分析】利用总收益与成本的差可得总利润关于的解析式，利用分段函数的性质，分别求出两段函数的最值，从而可得结果.【详解】设总成本为元，总利润为元，则，P=R-C=所以=令，得=300．当0<<300时，；当>300时，．所以当=300时，取得最大值.故答案为：300.11．（2022·河南南阳·高一期末）已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________.【答案】【分析】根据函数的解析式作出函数的大致图像，再将整理变形，然后将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题解决.【详解】由题意得，即或，的图象如图所示，关于的方程有5个不同的实数根，则或，解得，故答案为：12．（2022·全国·高一课时练习）已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x-[x].有下列结论:①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0，1);③方程f(x)=有无数个解;④函数是R上的增函数.其中正确的是____.(填序号)【答案】②③##③②【分析】画出的图象，即可判断四个选项的正误.【详解】画出函数的图象，如图所示，可以看出函数的图象不是一条直线，故A错误；函数f(x)的值域为，故②正确；方程有无数个解，③正确；函数是分段函数，且函数不是R上的增函数，故④错误.故答案为：②③13．（2022·全国·高一课时练习）某青年旅社有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租；若将出租费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张.若要使该旅社每晚的收入超过1.2万元，则每个床位的定价的取值范围是___________;【答案】【分析】设每床每晚的租金提高10的倍，由题意可得，解不等式可得的范围，再计算每个床位的定价的取值范围即可求解.【详解】设每床每晚的租金提高10的倍，即为元，出租的床位会减少10的倍张，即为张，由题意可得该旅社每晚的收入为，整理可得：解得：，因为，所以，此时每个床位的定价，所以每个床位的定价的取值范围是，故答案为：.14．（2022·全国·高一课时练习）某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式___________.【答案】，(只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可.答案不唯一)【分析】由题意，个数越高，系数越大，因此在上的函数是增函数即可，初始值，，设出函数式代入求解．【详解】由题意函数是上的增函数，设，，由，解得，所以，所以故答案为：注：在上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如，等等．【点睛】思路点睛：本题考查函数的应用，解题时注意题目的要求，只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可，因此函数模型可以很多，答案也不唯一．四、解答题15．（2022·全国·高一课时练习）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）表示为养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当时，v的值为2；当时，v是关于x的一次函数.当x＝20时，因缺氧等原因，v的值为0.(1)当时，求函数的表达式；(2)当x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.【答案】(1)(2)x＝10，最大值为12.5千克/立方米【分析】（1）根据题意得建立分段函数模型求解即可；（2）分段求得函数的最值，比较可得答案.（1）依题意，当时，；当时，是关于x的一次函数，假设，则，解得，所以.（2）当时，；当时，，当时，取得最大值.因为，所以当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5.16．（2022·全国·高一课时练习）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.(1)求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.【答案】(1)(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元【分析】（1）由题意可知时，R=4000，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，（2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案（1）由题意知，当时，，所以a=300.当时，；当时，.所以，（2）当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；当时，，当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.因为，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.17．（2022·全国·高一课时练习）如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）.(1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数；(2)当水深为1.2m时，求横断面中水的面积.【答案】(1)(2)3.84【分析】（1）根据给定条件利用梯形的面积公式列式化简即得.（2）由（1）得出的函数的解析式，代入计算可得答案.（1）依题意，横断面中的水面是下底为2m，上底为m，高为hm的等腰梯形，

所以.（2）由（1）知，，，所以当水深为1.2m时，横断面水中的面积为3.84.18．（2022·全国·高一课时练习）随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.(1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；(2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：）【答案】(1)车流密度的取值范围是(2)隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.【分析】（1）根据题意得，再根据分段函数解不等式即可得答案；（2）由题意得，再根据基本不等式求解最值即可得答案.（1）解：由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），代入，解得，所以.当时，，符合题意；当时，令，解得，所以.所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是.（2）解：由题意得，当时，为增函数，所以，当时等号成立；当时，.当且仅当，即时等号成立.所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.19．（2022·全国·高一课时练习）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示：第天131030日销售量（百件）23未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）.(1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；(2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.【答案】(1)选择函数模型①，其解析式为（且为整数）(2)这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型，理由见解析【分析】（1）将将以及分别代入对应的函数模型，求得对应的函数解析式，再代入计算判断是否满足即可；（2）记日销售利润为，根据一次函数与二次函数的单调性分析的最大值，判断与4万元的大小关系判断即可（1）若选择模型（1），将以及代入可得解得，即，经验证，符合题意；若选择模型（2），将以及代入可得，解得，即，当时，，故此函数模型不符题意，因此选择函数模型（1），其解析式为（且为整数）（2）记日销售利润为，当且为整数时，，对称轴，故当时，利润取得最大值，且最大值为392（百元）当且为整数时，，当时，利润单调递减，故当时取得最大值，且最大值为（百元）所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型.20．（2022·全国·高一专题练习）设函数且．(1)判断函数的奇偶性；(2)若，试判断函数的单调性．并求使不等式对一切恒成立的的取值范围；(3)若，且在上的最小值为，求的值．【答案】(1)奇函数(2)(3)【分析】(1)用证明奇偶性的定义，可证得为奇函数.(2)利用题目条件求出的范围，再将转化为不等式恒成立问题求解即可.(3)用换元法转化为新函数（二次函数），再分类讨论参数，分别求出函数的最小值为2.从而求出的值.(1)的定义域为，关于原点对称，且)，为奇函数．(2)且．，，又，且，，故在上单调递减，不等式化为，，即恒成立，，解得；(3)，，即，解得或舍去)，，令，由(1)可知为增函数，，，令，若，当时，，；若时，当时，，解得，无解；综上，.21．（2022·全国·高一专题练习）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元．(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；(2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？【答案】(1)一次支付好，理由见解析(2)购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案；（2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案.（1）分两次支付：支付额为元;一次支付：支付额为元,因为，所以一次支付好；（2）设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件，当时，不能享受每满400元再减40元的优惠当时，，，当时，，；当时，，．所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．当时，