高中数学必修一 函数应用题赏析

高中数学必修一函数应用题赏析函数应用题赏析一、一次分段函数应用题WAP手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)按30元记费，超过500分钟按0.15元/分钟记费。假如上网时间过短，在1分钟以下不记费，1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟记费。WAP手机上网不收取通话费和漫游费。问：(1)小周12月份用WAP手机上网20小时，他要付多少上网费？(2)小周10月份付了90元的上网费，那么他这个月可以用手机上网多少小时？(3)你会选择WAP手机上网吗？你是用哪一种方式上网的？解：设使用WAP手机上网的时间为x分钟，由已知条件可知，当上网时间不超过60分钟时，以每分钟0.5元递增计费；当上网时间超过60分钟但不超过500分钟时，一律按30元收费；超过500分钟时，在30元的基础上，再增加0.15元/分钟。当1≤x≤60，y=0.5x；当60<x≤500，y=30；当x>500，y=30+0.15(x-500)。(1)当x=20×60=1,200(分钟)时，应将1,200代入第三段解析式，可得y=135。故小周要付135元上网费。(2)90元已经超过30元，所以上网时间超过500分钟，于是由解析式可得x=900。故小周这个月可以用手机上网900分钟。(3)现在直接用电脑上网一般每月60元，从图1可以看出，当上网时间较短时，用手机上网较合算，当上网时间较长时，用电脑上网更合算。小结：这是一个有关一次分段函数的应用题，我们首先应根据题目的意思准确地写出函数的解析式，注意判断自变量在分段函数的哪一段取值范围内是这个题的解题关键。其余问题一般直接转化为求函数的自变量、函数值或不等式问题。二、二次函数应用题随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效。有一家公司现有职员2a人(140<2a<420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元。据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的三分之一。为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解：设裁员x人，则可获得的经济效益为y万元，于是有y=(2a-x)(b+0.01bx)-0.4bx=-0.01bx^2+2abx-0.4bx。根据题意有2a-x≥2a/3，∴0<x≤2a/3。对y求导数，得y'=-0.02bx+2ab-0.4b，令y'=0，得x=(2ab-0.4b)/0.02b=100a-20，由于0<x≤2a/3，所以100a-20≤2a/3，解得a≤2.2，取a=2。代入y中，得y=-0.01x^2+4x，当x=20时，y取得最大值，即该公司应该裁员20人。小结：这是一个有关二次函数的应用题，我们首先应根据题目的意思准确地写出函数的解析式，然后通过求导数等方法找到函数的最值。注意要根据题目中的限制条件来确定自变量的取值范围。由140<2a<420，可得70<a<210。因此，当70<a≤140时，取x=a-70，此时y取到最大值；当140<a<210时，取x=210-a，此时y取到最大值。综上所述，当70<a≤140时，应裁员a-70人；当140<a<210时，应裁员210-a人。本题是一个多字母的二次函数应用题，要求考生读懂题目，建立数学模型，分类求解。需要搞清：为什么分类；对谁分类；如何分类。例3通过研究学生的学习行为，专家发现：学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化。设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律，经过实验分析得知f(t)=-t^2+24t+100(小于等于10)240(大于10小于等于20)-7t+380(大于20小于等于40)(1)当小于等于10时，f(t)=-t^2+24t+100是增函数，且f(10)=240；当大于20小于等于40时，f(t)=-7t+380是减函数，且f(20)=240。因此，讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟。(2)由于f(5)=195，f(25)=205，所以讲课开始后25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟时更集中。(3)当小于等于10时，由f(t)=-t^2+24t+100=180，得t=4；当大于20小于等于40时，令f(t)=-7t^2+380=180，则t≈28.57。因此，学生注意力在180以上所持续的时间28.57-4=24.57＞24。经过适当安排，老师可以在学生达到所需的状态下讲完这道题目。本题是一个二次分段函数的应用题，要求考生依据题中的条件进行完整的分类讨论。绝对值函数应用题就不在此列举了。格式错误已被修正，删除了明显有问题的段落，以下是改写后的文章：在数学中，对数函数是一个重要的概念，它在实际问题中有广泛的应用。下面我们来看两个对数函数应用题。例1：某种病毒细胞的数量随时间呈指数增长。已知第一次注射药物后，经过8天，病毒细胞的数量不能超过10个。如果每次注射药物后，病毒细胞的数量会减少50%，那么请问，再经过多少天必须注射药物？解：设病毒细胞的初始数量为x个，经过t天后数量为N个，则有N=x*2^(t/2)（每次注射药物后数量减少50%相当于每次数量变为原来的一半，即乘以1/2，两次注射药物后数量变为原来的1/4，即乘以1/2*1/2=1/4，以此类推）。由题意可得：N≤10，即x*2^(t/2)≤10，两边取对数得：(t/2)log2≤log10-logx，即t≤2(log10-logx)/log2。又因为每次注射药物后，需要经过6天才能使病毒细胞的数量减半，即t=6时，N=x*2^(6/2)=4x，所以经过6天后，病毒细胞的数量为x个的一半，即2x个。因此，再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物。小结：本题反映的解题技巧是“两边取对数”，这对实施指数运算是很有效的。例2：有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合。用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t时的湖水污染质量分数。已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式：g(t)=g(0)-(p/r)*(1-e^(-rt))其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数。(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数。解：当湖水污染质量分数为常数时，即g(t)=k（k为常数），代入上式得：k=g(0)-(p/r)因此，湖水污染的初始质量分数为g(0)=k+p/r。(2)求证：当g(0)<p/r时，湖泊的污染程度将越来越严重。解：我们易证得当0<t1<t2时，g(t1)-g(t2)=(g(0)-p/r)*(e^(-rt1)-e^(-rt2))。因为g(0)-p/r<0，t1<t2，e^(-rt1)>e^(-rt2)，所以g(t1)<g(t2)。因此，湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重。(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？解：污染停止即p=0，g(t)=g(0)*e^(-rt)。设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平的5%，即g(t)=0.05g(0)，即e^(-rt)=0.05。因此，需要经过t=ln(0.05)/(-r)天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%。小结：函数应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和对数函数的应用也是常见的。在解题过程中，我们需要结合实际情况，灵活应用数学知识。信息迁移型在数学高考应用性问题中也时有出现。这类问题关注当前国内外的政治、经济、文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色，是历年高考命题的一道亮丽的风景线。函数应用问题也是一个创新的领域。例如，在现代社会中，破译密文的难度要求越来越高。一种加密方式是将英文明文按照两个字母一组分组，最后不足一组的用任意字母补齐。然后将每组字母转换为对应的自然数，通过一个变换公式将明文转换为密文。具体来说，对于每组字母(x,y)，应用以下变换公式：x'=x+2y,y'=3x+4y。最后将得到的密文转换回字母即可。举个例子，明文"star"可以分为"st"和"ar"两组，对应的自然数数组为(19,20)和(1,18)。将这两组数组分别代入变换公式，得到(59,96)和(23,83)，再将这两组数转换回字母，得到密文"ggkw"。当然，对于密文"kcwi"，我们也可以通过逆向操作，将其转换回明文。首先将"kcwi"分为"k"、"c"、"w"、"i"四组，对应的自然数数组为(11,2)、(2,3)、(23,9)、(9,18)。将这四组数组分别代入变换公式的逆运算，得到