2023版高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第二讲函数的基本性质课件文

第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第二讲函数的基本性质要点提炼

函数的单调性与最值考点11.函数的单调性

增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有

,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.区间D叫作函数f(x)的单调递增区间.当x1<x2时,都有

,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.区间D叫作函数f(x)的单调递减区间.图象描述自左向右图象是

的自左向右图象是

的f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升下降

函数的单调性与最值考点1注意

1.函数的单调性定义中的x1,x2有三个特征:一是任意性;二是有大小,即x1<x2(x1>x2);三是属于同一个区间,三者缺一不可.2.求函数单调区间或讨论函数单调性时,必须先求函数的定义域.3.一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.4.“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N⊆M.

函数的单调性与最值考点1

函数的单调性与最值考点1

函数的单调性与最值考点1

函数的单调性与最值考点12.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I,都有

;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.(1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.结论M为函数f(x)的最大值.M为函数f(x)的

.f(x)≤M最小值

函数的奇偶性考点2函数奇偶性的概念及性质前提(必要条件)奇偶性满足的充要条件图象特征特性单调性函数f(x)的定义域关于

对称.奇函数对定义域中任意的x,都有f(-x)=

.关于

对称.(1)如果定义域中包含0,那么f(0)=

.(2)若函数在关于原点对称的区间上有最值,则f(x)max+f(x)min=

.在关于原点对称的区间上单调性

.偶函数对定义域中任意的x,都有f(-x)=

.关于

对称.f(x)=

.在关于原点对称的区间上单调性

.原点-f(x)原点y轴00相同f(x)f(|x|)相反

函数的奇偶性考点2注意

(1)只有函数在x=0处有定义时,f(0)=0才是f(x)为奇函数的必要非充分条件;(2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.

函数的奇偶性考点2

函数的奇偶性考点2思维拓展(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,f(x+a)=f(-x+a).(2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称,f(x+b)+f(-x+b)=0.

函数的周期性考点31.周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有

,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.

2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在最小的正数,那么这个最小的正数就叫作f(x)的

正周期.

注意

并不是所有的周期函数都有最小正周期,如f(x)=5.f(x+T)=f(x)最小

函数的周期性考点3

✕✕✕✕✕√√√考向扫描

确定函数的单调性（单调区间）考向1

DD

确定函数的单调性（单调区间）考向1解析

(1)(图象法)如图,在坐标系中分别画出A,B,C,D四个选项中的函数的大致图象,即可判断D项符合题意.(也可根据基本初等函数的性质,直接判断)(2)(复合法)由x2-2x-8>0,得x<-2或x>4.因此,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域是(-∞,-2)∪(4,+∞).(先求函数f(x)的定义域)易知函数y=x2-2x-8在(-∞,-2)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,函数y=lnt为(0,+∞)上的增函数,由复合函数的单调性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞).故选D.

确定函数的单调性（单调区间）考向1(3)解法一(导数法)

f＇(x)=a(x-1)-ax(x-1)2=-a(x-1)2.当a>0时,f

＇(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f

＇(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增.解法二(定义法)

设-1<x1<x2<1,f(x)=a(x-1+1x-1)=a(1+1x-1),则f(x1)-f(x2)=a(1+1x1-1)-a(1+1x2-1)=a(x2-x1)(x1-1)(x2-1).由于-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增.

确定函数的单调性（单调区间）考向1方法技巧判断函数的单调性和求单调区间的方法(1)定义法:一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论,常用于证明抽象函数单调性.(2)图象法:若f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性,分段函数问题求解可用该方法.(3)导数法:先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间.(4)性质法:①对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各基本初等函数的增减性及“增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减”进行判断;②对于复合函数,根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.

函数单调性的应用考向2角度1比较大小

C

函数单调性的应用考向2

方法技巧利用函数的单调性比较大小的方法比较函数值的大小时,应先将自变量的值转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性求解.

函数单调性的应用考向2角度2求解不等式3.典例[2017全国卷Ⅰ]函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(

)A.[-2,2] B.[-1,1]C.[0,4] D.[1,3]

解析

∵函数f(x)为奇函数,且f(1)=-1,∴f(-1)=-f(1)=1,由-1≤f(x-2)≤1,得f(1)≤f(x-2)≤f(-1),(将常数转化为函数值)又函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3.故选D.D

函数单调性的应用考向2方法技巧利用函数的单调性求解或证明不等式的策略(1)将不等式转化为f(x1)>f(x2)的形式；(2)根据函数f(x)的单调性“脱去”函数符号“f”化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的不等式求解,注意必须在同一单调区间内进行.若不等式一边没有“f”,而是常数,则应将常数转化为函数值,如若已知0=f(1),f(x-1)<0,则f(x-1)<f(1).

函数单调性的应用考向2角度3求参数的值或取值范围4.典例[2020新高考卷Ⅱ]已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(

)A.(-∞,-1] B.(-∞,2]C.[2,+∞) D.[5,+∞)

解析

由x2-4x-5>0,解得x>5或x<-1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞).因为函数y=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,所以函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(5,+∞)上单调递增,所以a≥5,故选D.D

函数单调性的应用考向2方法技巧已知函数的单调性求参数的取值范围的方法根据函数的单调性构建含参数的方程(组)或不等式(组)进行求解,或先得到图象的升降情况,再结合图象求解.注意

若分段函数是单调函数,则不仅要各段上函数单调性一致,还要在整个定义域内单调,即要注意衔接点处的函数值大小.

函数单调性的应用考向2

[-3,-2]

函数单调性的应用考向2

求函数的最值（值域）考向3

求函数的最值（值域）考向3方法技巧求函数最值(值域)的方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求出最值(值域).(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点求出最值(值域),若函数的解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数形结合法求解.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求最值(值域).(4)导数法:先求出导函数,然后求出给定区间上的极值,再结合端点值,求出最值(值域).适用于三次函数、分式函数及含ex,ln

x,sin

x,cos

x等结构的组合函数,且f

'(x)可求.

求函数的最值（值域）考向3

求函数的最值（值域）考向3

2(-∞,-1)

求函数的最值（值域）考向3

判断函数的奇偶性考向4

B

判断函数的奇偶性考向4

判断函数的奇偶性考向4方法技巧判断函数奇偶性的方法(1)定义法

判断函数的奇偶性考向4(2)图象法(3)性质法在公共定义域内有奇函数±奇函数=奇函数,偶函数±偶函数=偶函数,奇函数×奇函数=偶函数,偶函数×偶函数=偶函数,奇函数×偶函数=奇函数.注意

(1)函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.(2)对于分段函数奇偶性的判断,要分段判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立,只有当所有区间都满足相同关系时,才能判断该分段函数的奇偶性.

判断函数的奇偶性考向49.变式[新课标全国Ⅰ]设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(

)A.f(x)g(x)是偶函数B.f(x)|g(x)|是奇函数C.|f(x)|g(x)是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数B解析

因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(x)g(x)为奇函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,|f(x)g(x)|为偶函数,故选B.

函数奇偶性的应用考向5

DC1

函数奇偶性的应用考向5

函数奇偶性的应用考向5

函数奇偶性的应用考向5方法技巧函数奇偶性的应用类型及解题策略求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出f(x)的解析式,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.求函数值利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值,进而求解.求参数值利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数满足的方程(组),进而得出参数的值.对于在x=0处有定义的奇函数f(x),可考虑列等式f(0)=0求解.解不等式利用函数奇偶性将问题转化到同一单调区间上求解.涉及偶函数时常用f(x)=f(|x|),将问题转化到[0,+∞)上求解.画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.

函数奇偶性的应用考向5

CA

函数奇偶性的应用考向5

函数周期性的判断及应用考向612.典例[2022豫北名校联考]已知y=f(x)为奇函数且对任意x∈R,都有f(x+2)=-f(x),若当x∈[0,2]时,f(x)=2x+a,则f(2022)=(

)A.4 B.3 C.2 D.1

解析

因为f(x)是奇函数且对任意x∈R,都有f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期为4的周期函数.由奇函数性质可知,f(0)=20+a=1+a=0,a=-1,所以f(2022)=f(505×4+2)=f(2)=22-1=3,故选B.B

函数周期性的判断及应用考向6方法技巧1.判断函数的周期性时,只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T.2.根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.

函数周期性的判断及应用考向6

D

函数性质的综合应用考向714.典例(1)[2020新高考卷Ⅰ]若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(

)

A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3](2)[2018全国卷Ⅱ][文]已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(

)A.-50 B.0 C.2 D.50

DC

函数性质的综合应用考向7解析

(1)解法一

由题意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,且f(-2)=f(2)=f(0)=0.当x>0时,令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,∴1≤x≤3;当x<0时,令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,∴-1≤x≤1,又x<0,∴-1≤x<0;当x=0时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为[-1,0]∪[1,3],选D.解法二当x=3时,f(3-1)=0,符合题意,排除B;当x=4时,f(4-1)=f(3)<0,此时不符合题意,排除A,C.选D.(2)解法一∵f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,∴f(-x)=-f(x),且f(0)=0.∵f(1-x)=f(1+x),∴f(-x)=f(2+x),∴f(2+x)=-f(x),

函数性质的综合应用考向7∴f(2+x)=-f(x),∴f(4+x)=-f(2+x)=f(x),∴f(x)是周期函数,且一个周期为4,∴f(4)=f(0)=0,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(1+2)=f(1-2)=-f(1)=-2,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.故选C.解法二因为函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),可知f(x)的图象关于直线x=1对称.又f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,所以f(0)=0.已知f(1)=2,计算可得:

函数性质的综合应用考向7f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(-2)=-f(2)=0,f(5)=f(-3)=-f(3)=2,f(6)=f(-4)=-f(4)=0,f(7)=f(-5)=-f(5)=-2,f(8)=f(-6)=-f(6)=0,……所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(49)+f(50)=(2+0-2+0)×12+2+0=2.故选C.

函数性质的综合应用考向7

DB

函数性质的综合应用考向7

函数性质的综合应用考向7

攻坚克难函数奇偶性的拓广性质及应用数学探索性质1

若函数f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+c,则必有g(-x)+g(x)=2c.证明

由于函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以g(-x)+g(x)=f(-x)+c+f(x)+c=2c.16.典例(1)[2022长春市质量监测]已知函数f(x)=x3-3x-2,若f(a)=4,则f(-a)=（）A.-2 B.-4 C.-6 D.-8(2)对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值分别计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果不可能是（）A.4和6 B.3和1C.2和4 D.1和2DD函数奇偶性的拓广性质及应用数学探索解析

(1)令g(x)=x3-3x,则f(x)=g(x)-2,因为g(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函数,所以f(a)+f(-a)=-4,由f(a)=4,可得f(-a)=-8.(2)设g(x)=asinx+bx,则f(x)=g(x)+c,且函数g(x)为奇函数.注意到c∈Z,所以f(1)+f(-1)=2c为偶数.结合选项可知只有D项不满足.点评

解题关键在于观察函数的结构,构造出一个奇函数.函数奇偶性的拓广性质及应用数学探索性质2

已知函数f(x)是定义在区间D上的奇