控制工程基础 系统的数学模型

控制工程基础系统的数学模型第1页，课件共106页，创作于2023年2月本章主要内容系统微分方程的建立；传递函数；方块图及动态系统的构成；典型机、电系统的传递函数。*2第2页，课件共106页，创作于2023年2月本章学习要求、重点、难点学习要求能够建立基本环节（质量-弹簧-阻尼系统、电网络）的微分方程。掌握传递函数的概念、特点，会根据微分方程求传递函数，掌握传递函数的零点、极点概念。掌握各个典型环节的传递函数的基本形式。掌握传递函数方块图的组成及意义；能够根据系统微分方程，绘制系统传递函数方块图，并实现简化，从而求出系统传递函数。掌握闭环系统中误差传递函数、前向传递函数、开环传递函数、反馈传递函数、闭环传递函数的定义及求法。掌握干扰作用下，系统的输出及传递函数的求法和特点。*3第3页，课件共106页，创作于2023年2月本章学习要求、重点、难点本章重点系统微分方程的建立。传递函数的概念、特点及求法；典型环节的传递函数。传递函数方块图的绘制及简化。本章难点系统微分方程的列写。传递函数方块图的绘制及简化。*4第4页，课件共106页，创作于2023年2月本章作业P69～P733-3（b）、（d）3-6（b）、（c）3-10（b）本章作业第3周星期三交。*5第5页，课件共106页，创作于2023年2月数学模型的概念线性系统与非线性系统本课程涉及的数学模型形式*6第6页，课件共106页，创作于2023年2月3-1概述数学模型的概念数学模型：是描述系统特性的数学表达式。它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。数学模型是对系统特性（包括动态特性和静态特性）进行分析、综合的有效工具。数学模型的类型：微分方程，传递函数，频响函数，状态空间表达式等。这些模型一般可以互相转化。经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数和频率响应函数（简称频响函数）为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程则是最基本的数学模型，是列写传递函数、频响函数和状态空间方程的基础。*7第7页，课件共106页，创作于2023年2月3-1概述数学模型的概念数学模型的建立方法：解析法：依据系统各变量间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立数学模型。实验法：人为地对系统施加某种典型的输入信号，记录其输出（响应），并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。在建模的过程中要正确处理模型简化和模型精度的辨证关系，以建立简单且能满足要求的数学模型。*8第8页，课件共106页，创作于2023年2月3-1概述线性系统与非线性系统线性系统：能用线性微分方程描述的系统。线性系统最重要的特性是满足叠加原理。如下列所示的微分方程就是线性微分方程，所以该方程描述的系统是线性系统。线性定常系统：能用常系数线性微分方程描述的系统。在上面的方程中，如果系数m、B、k皆为常数，则系统为线性定常系统（或称线性时不变系统）。线性时变系统：描述线性系统微分方程的系数随时间变化的系统。如火箭飞行过程的质量变化。*9第9页，课件共106页，创作于2023年2月3-1概述线性定常系统微分方程的一般形式*10式中，y(t)为输出量，x(t)为输入量，a0～an、b0～bm皆为常数，n决定了系统的阶次。当输入、输出为常数时即K称为系统的静态灵敏度或静态增益或放大系数或简称增益。第10页，课件共106页，创作于2023年2月3-1概述线性系统的叠加原理：*11线性系统y2(t)x2(t)线性系统y1(t)x1(t)若线性系统推而广之：线性系统a1x1(t)+a2x2(t)a1y1(t)+a2y2(t)则其中a1、a2为常数。其中ai（i=1，2，…，n）为常数。第11页，课件共106页，创作于2023年2月3-1概述线性系统与非线性系统非线性系统：用非线性方程描述的系统，不满足叠加原理。如下列方程描述的系统，又比如风机、水泵等流体阻力与速度的平方成正比。*12严格来说，任何系统都或多或少存在着非线性因素，只有在一定条件下才能将它们作为线性系统处理。如金属材料的弹性变形并不严格遵循胡克定律；运算放大器输入信号过大会导致饱和而进入非线性区。齿轮的间隙、材料的滞后都是非线性因素，导致系统非线性。非线性项非线性项第12页，课件共106页，创作于2023年2月3-1概述本课程涉及的数学模型形式本课程主要是用经典控制理论研究线性定常系统，所以涉及到的数学模型主要是:时域里的线性常系数微分方程复域里的传递函数频域里的频响函数。*13第13页，课件共106页，创作于2023年2月m建立系统微分方程的一般步骤机械运动系统微分方程的建立液压系统微分方程的建立（自学）电网络系统微分方程的建立*14第14页，课件共106页，创作于2023年2月3-2系统微分方程的建立

建立系统微分方程的一般步骤

确定系统的输入量和输出量；按照信号的传递顺序，从系统的输入端出发，根据有关物理定律，列写出各个环节的动态微分方程；消除上述各方程式中的中间变量，最后得到只包含输入量、输出量和系统参数的方程式；将与输入有关的项写在微分方程等号的右边，与输出有关的项写在微分方程等号的左边，并且各阶导数项按降阶排列。*15第15页，课件共106页，创作于2023年2月3-2系统微分方程的建立机械运动系统微分方程的建立机械系统中部件的运动，有直线运动、转动或二者兼有，建立机械系统的运动微分方程通常采用达朗贝尔原理或牛顿第二定律。达朗贝尔原理：作用于每一个质点上的合力(合力矩)，同质点惯性力(惯性力矩)形成平衡力系，用公式可表达为*16质点上作用的合力质点上作用的合力矩质点惯性力质点惯性力矩达朗贝尔第16页，课件共106页，创作于2023年2月常见机械元件所遵循的物理定律系统元件物理符号所遵循的物理定律机械系统直线运动质量元件质量mkg或（对质量）弹性元件弹簧刚度kN∙m－1（对x1点。弹簧无质量）粘性阻尼元件粘性阻尼系数BN∙s∙m－1（对x1点。无质量）*17mx(t)f(t)f(t)x2(t)x1(t)kf(t)x2(t)x1(t)B第17页，课件共106页，创作于2023年2月常见机械元件所遵循的物理定律系统元件物理符号所遵循的物理定律机械系统旋转运动旋转质量转动惯量JN∙m2或（对质量）扭转弹簧扭转弹簧刚度kJN∙m∙rad－1（对θ1点。无质量）回转粘性阻尼回转粘性阻尼系数BJN∙m∙s∙rad－1无质量*18Jθ(t)T(t)T(t)θ2(t)θ1(t)kJT(t)θ

(t)BJ第18页，课件共106页，创作于2023年2月3-2系统微分方程的建立例1：求如图所示系统的运动微分方程。图中输入为力f(t)，输出为质量的位移x(t)。解：对质量m利用达朗贝尔定理得*19惯性力输入力弹簧反力阻尼力mf(t)—力x(t)—位移kB单自由度有阻尼振动系统力学模型例1【注】将重力作用下的静态平衡点作为位移的零点，重力被静态弹簧反力平衡掉，所以在建立上述运动学方程时，重力不必出现。以后同。第19页，课件共106页，创作于2023年2月3-2系统微分方程的建立例2：求如图所示系统的运动微分方程。图中输入为力矩T(t)，输出为质量的角位移θ(t)。解：对质量利用达朗贝尔定理得*20惯性力矩输入力矩弹簧反力矩阻尼力矩JT(t)kJθ

(t)BJ例2第20页，课件共106页，创作于2023年2月3-2系统微分方程的建立电网络系统建立由电阻、电感、电容等元件构成的电网络系统的微分方程主要依据基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。*21基尔霍夫电流定律（基尔霍夫第一定律）任一集总参数电路中的任一节点，在任一瞬间流入流出该节点的所有电流的代数和恒为零，（即所有流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流之和）。基尔霍夫电压定律（基尔霍夫第二定律）任一集总参数电路中的任一回路，在任一瞬间沿此回路的各段电压（包括电动势）的代数和恒为零。第21页，课件共106页，创作于2023年2月电阻、电容和电感元件所遵循的物理定律系统元件物理符号所遵循的物理定律电网络系统电阻R量纲：Ω电容C量纲：F电感L量纲：Hu

(t)i

(t)Cu

(t)i

(t)Lu

(t)i

(t)R22*第22页，课件共106页，创作于2023年2月3-2系统微分方程的建立例1：求图所示电路的微分方程。解：利用基尔霍夫电压定律得到*23二阶低通滤波器LRCuo(t)ui(t)i(t)对(2)式求导得将i(t)及其一阶导数代入(1)式得III例1第23页，课件共106页，创作于2023年2月传递函数的基本概念传递函数的零点与极点传递函数的典型环节*24第24页，课件共106页，创作于2023年2月*25第25页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数传递函数的基本概念定义：在初始条件为零（输入、输出及其各阶导数在0时刻（即外界输入作用前）皆为0）的情况下，系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。本教材中一般采用G(s)表示系统的传递函数。即例如单自由度有阻尼振动系统的传递函数为*26第26页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数解析法求传递函数的方法利用微分方程：在初始条件为零的情况下，对微分方程等号两边同时做拉氏变换即可得到。对电网络系统，也可利用复阻抗的概念直接求得。线性定常系统传递函数的一般形式线性定常系统微分方程的一般形式为：式中，y(t)为输出量，x(t)为输入量，n决定了系统的阶次。*27第27页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数令Y(s)=L[y(t)]，X(s)=L[x(t)]

，在初始条件为0时，对上述微分方程等号两边同时做拉普拉氏变换得（要利用到拉氏变换的微分性质和线性性质）这就是线性定常系统传递函数的一般形式。*28第28页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数例1：求如图所示系统的传递函数。解：系统的运动微分方程为：*29mf(t)—力x(t)—位移kB弹簧-质量-阻尼系统例1令X(s)=L[x(t)]，F(s)=L[f(t)]，在初始条件为0时，对上述微分方程等号两边同时做拉普拉氏变换得第29页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数例2：求图3-3所示电路的传递函数。解：利用基尔霍夫电压定律得到令Uo(s)=L[uo(t)]，Ui(s)=L[ui(t)]，I(s)=L[i(t)]，在初始条件为0时，对上述微分方程组等号两边同时做拉普拉氏变换得*30图3-3二阶低通滤波器LRCuo(t)ui(t)i(t)例2III第30页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数联立消除中间变量I(s)得*31式中： ——无阻尼固有角频率(rad∙s‒1)； ——阻尼比。第31页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数利用复阻抗求例2的传递函数利用分压定律得*32图3-4二阶低通滤波器ZL=LsZR=RZC=1/(Cs)Uo(s)Ui(s)结果与用微分方程求得的相同，但过程却简单的多，不需要拉氏变换过程。电感的复阻抗电阻的复阻抗电容的复阻抗第32页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数传递函数的说明：传递函数是用以s为变量的代数方程描述系统的动态特性的一种数学模型，是系统动态特性在s域（复数域）的描述。传递函数是求解描述线性时不变系统的输出-输入之间的关系的微分方程的一种简化方法。因为它将微积分方程变成了代数方程。传递函数表达的是系统本身的固有传输特性（动态特性），它与系统初始状态、输入量的大小和性质无关（但与输入量的作用点和输出点有关。输入点与/或输出点不同，信号传递通道不同，传递函数自然不同）。如前面的例子中并没有给出具体的输入量。传递函数包含联系输入量和输出量所必需的量纲，但是它不提供有关系统物理结构的任何信息。许多物理上完全不同的系统可以具有形式上相同的传递函数。传递函数仅适用于连续线性时不变系统。*33第33页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数传递函数的零点与极点零点：在s平面（复变量s的实部、虚部构成的平面）上，使传递函数等于0的s点。极点：在s平面上，使传递函数等于∞的s点。*34当s＝zi（i＝1，2，…，m）时，G(s)＝0，故称zi为G(s)的零点；当s＝pj（j＝1，2，…，n）时，G(s)＝∞，故称pj为G(s)的极点。由上式可见，极点就是系统微分方程的特征方程的根。因式分解K为常数第34页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数

零点、极点举例。*35零点：z1＝－1/3；z2＝－3。极点：p1＝p2＝0；p3＝－1－j2；p4＝－1＋j2（p4与p3共轭，复数极点一般总是以共轭方式成对出现）。因式分解例第35页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数传递函数的典型环节典型环节是研究复杂系统的基础，因为任何复杂线性定常系统的传递函数总可以看成是下列简单的典型环节的传递函数的串联/并联/反馈联接。*36①比例环节：K（K为常数）②积分环节：③微分环节：s④惯性环节：⑤一阶微分环节：Ts＋1这些典型环节的命名有一些反映了输出/输入之间的关系，另一些反映了环节的特性。第36页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数传递函数的典型环节*37⑥震荡环节：⑦二阶微分环节：⑧延时环节：【注】各典型环节并不一定对应一个真实的物理结构，之所以划分典型环节，是为了通过分析典型环节的特性，简化对复杂系统的动态特性分析。如上述各阶微分环节物理上是不可能独立存在的。用运放构成的微分电路只是理论上的近似。或或第37页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数

系统构成举例*38由1个比例环节、2个一阶微分环节、2个积分环节和1个二阶振荡环节串联组成。比例环节2个一阶微分环节2个积分环节二阶振荡环节例第38页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数典型环节传递函数举例例1：比例环节（0阶系统——理想系统）*39齿轮传动副反相比例运算放大器例1ni(t)z2no(t)z1第39页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数例2：惯性环节（一阶系统）*40弹簧-阻尼器系统无质量xi(t)kBxo(t)例2.1第40页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数例2：惯性环节（一阶系统）解法1：利用基尔霍夫电流定律*41一阶低通滤波器RCuo(t)ui(t)i(t)例2.2第41页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数例2：惯性环节（一阶系统）解法2：利用复阻抗和分压定律*42一阶低通滤波器RCuo(t)ui(t)i(t)例2.2Z2=1/(Cs)Z1=R第42页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数在惯性环节中，总是含有一个储能元件（如弹簧、电感、电容等），其输出不能立即复现输入，输出总是滞后于输入，所以称为惯性环节。一阶系统012345678910012345678910Unit-RampResponset(s)c(t)惯性环节G(s)=1/(Ts+1)的单位斜坡响应TT=2T=0T=1T=3一阶系统时间滞后

*43第43页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数例3：积分环节（一阶系统）*44有源积分网络也可利用复阻抗直接求得。例2.1第44页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数例3：积分环节（一阶系统）*45解：齿轮齿条的转速关系为齿轮的转速n(t)为输入量(rmin-1)，齿条的位移量x(t)为输出量。试求此机构的传递函数。齿轮齿条传动机构式中，D为齿轮的节圆直径。若输出为速度时，这个环节变为比例环节。例3.2n(t)x(t)x(t)n(t)第45页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数积分环节的特点：输出量为输入量对时间的累积，输出的幅值呈线性增长。如果输入为恒定值，则输出要过一段时间才能等于输入，故有滞后作用。经过一段时间的累积后，当输入变为零时，输出量不再增加，但保持该值不变，具有记忆功能。*46第46页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数例4：震荡环节（二阶系统）*47mf(t)—力x(t)—位移kB弹簧-质量-阻尼系统标准形式1标准形式2比例环节例4.1第47页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数例4：震荡环节（二阶系统）*48例4.1第48页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数例4：震荡环节（二阶系统）*49二阶低通滤波器LRCuo(t)ui(t)i(t)标准形式1标准形式2

振荡环节一般含有两个储能元件和一个耗能元件，由于两个储能元件之间有能量交换，使系统的输出发生振荡(0<ζ<1时)。

例4.2第49页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数震荡环节G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的单位阶跃响应曲线*50000.20.40.60.811.21.41.61.82t(s)震荡环节的单位阶跃响应曲线

=0.1

=0.4

=2

=0.7图2-62二阶系统第50页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数例5：延时环节（延时系统）延时环节也称延迟环节。凡在时域中，输出量滞后输入时间τ的环节称为延时环节。具有延时环节的系统称为延时系统。无衰减的纯延时环节的输出量与输入量之间有如下的关系：*51式中，τ为延迟时间。例5.1延时环节的输出与输入的关系τt0x(t)y(t)x(t)y(t)第51页，课件共106页，创作于2023年2月因而有3-3传递函数例5下图所示为轧钢时的带钢厚度检测示意图。带钢在A点轧出时，厚度为h1(t)。这一厚度在到达B点时才被测厚仪所检测到，测厚仪检测到的带钢厚度为h2(t)。若检测点到轧制点的距离为L，带钢的速度为v，则延迟时间τ

=

L/v。故测厚仪输出信号h2(t)与轧制点处厚度h1(t)（输入信号）之间有如下关系：*52轧钢时带钢厚度检测示意图ABh1(t)h2(t)vL在轧钢厚度控制系统中要考虑这一延时环节所带来的影响。例5.2第52页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数例6：微分环节在时域中，输出量y(t)正比于输入量x(t)的微分，即*53式中，T为微分环节的时间常数。

微分环节的输出反映了输入的微分关系，当输入为单位阶跃函数时，输出在理论上将是一个幅值为无穷大而时间宽度为零的脉冲函数，这在实际中是不可能的。这也证明了实际物理传递函数中分子的阶次不可能高于分母的阶次。因此，微分环节不可能单独存在，它是与其他环节同时存在的。因此，上式定义的微分环节称为理想微分环节。例6第53页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数例6：下图是机械液压阻尼器的原理图。图中A为活塞面积，k为弹簧刚度，R为液体流过节流阀上阻尼小孔时的液阻，p1、p2分别为液压缸左右腔压强。输入量是活塞位移x(t)，输出量是液压缸的位移y(t)。求系统的传递函数。*54解：液压缸缸体的力平衡方程为通过节流阀上阻尼小孔的流量方程为：例6.1

机械液压阻尼器Ap1p2qRkx(t)y(t)第54页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数从以上二式中消去p1、p2，得到*55即该系统由微分环节和惯性环节串联组成。第55页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数图中R1、R2为电阻，C为电容，i(t)、iR(t)和iC(t)为电流，ui(t)为输入电压，uo(t)为输出电压。求其传递函数。*56CR1具有惯性的微分环节R2uo(t)ui(t)iC(t)iR(t)i(t)解根据基尔霍夫电流定律，有例6.2第56页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数整理得*57即该系统由比例环节、一阶微分环节和惯性环节串联组成。比例环节一阶微分环节惯性环节第57页，课件共106页，创作于2023年2月3-3传递函数在控制系统中，微分环节主要用来改善系统的动态性能，其特点如下所述：使系统的输出提前，即对系统的输入有预测作用。增加系统的阻尼，提高系统的稳定性。强化了系统的噪声（缺点）。*58第58页，课件共106页，创作于2023年2月F(s)X(s)－＋B(s)E(s)1.传递函数方块图2.动态系统的构成3.方块图的简化法则（代数法则）4.画系统方块图及由方块图求传递函数的步骤*59第59页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成传递函数方块图传递函数方块图：是系统中各环节的传递函数、各环节的关系和信号流向的图解表示方法。*60图3-5方块图图例F(s)X(s)－＋B(s)E(s)方框相加点分支点输入箭头线输出箭头线第60页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成方块图的组成元素方框□：表示系统或系统的一个环节，方框内标明系统或环节的传递函数。方框输出的拉氏变换等于方框中的传递函数乘以其输入的拉氏变换。箭头线→：表示信号的流向。指向方框和相加点的箭头表示输入，从方框和相加点出来的箭头表示输出。相加点⊗：表示信号在此点的加减关系。输入信号箭头旁的“＋”表示相加，“－”表示相减。输出信号等于各输入信号的代数和。分支点

：表示信号在此点流向不同的环节或相加点。从一个分支点分支出的信号性质、大小完全一样。*61第61页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成方块图表示系统的优点方块图优于纯抽象的数学表达式，因为它能够清楚地表明实际系统中的信号流向。只要依据信号的流向，将各环节的方块连接起来，就能容易地组成整个系统的方块图。通过方块图，可以评价每个环节对系统性能的影响。方块图比物理系统本身，更容易体现系统的函数功能。通过对方块图的简化，可以容易得到系统的传递函数。*62第62页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成动态系统的构成任何动态系统或过程，都是由内部的各个环节按一定的关系构成。这些构成关系包括：串联并联反馈联接*63第63页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成串联各环节的传递函数一个个顺序连接称为串联。图3-5中前向通道的两个环节就是串联关系。无负载效应串联环节总的传递函数等于各环节传递函数相乘，如图3-6和图3-7所示。*64串联图3-5方块图图例F(s)X(s)－＋XB(s)E(s)第64页，课件共106页，创作于2023年2月*65图3-6图3-5之等效方块图X(s)Y(s)－＋XB(s)X(s)Y(s)G2(s)Gn(s)G1(s)……图3-7环节串联方块图X(s)Y(s)G

(s)第65页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成负载效应解释*66一阶低通滤波器R1C1uo1(t)ui(t)一阶低通滤波器R2C2uo(t)ui1(t)隔离无负载效应时有负载效应时第66页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成并联各环节的输入相同，输出相加或相减的连接形式称为并联。无负载效应并联环节总的传递函数等于各环节传递函数之代数和，如图3-8所示。*67图3-8环节并联方块图X(s)Y(s)G

(s)X(s)Y(s)G1(s)G2(s)……Gn(s)±±±±第67页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成反馈联接所谓反馈，是将系统或某一环节的输出量，全部或部分地通过反馈环节返回到输入端，并在输入端与输入量相加或相减，加或减得到的结果(称为“误差”或“偏差”)再输入到系统中去。如图3-9所示。*68图3-9闭环系统—反馈联接H(s)G(s)±＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)反馈信号误差信号反馈环节第68页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成前向传递函数输出信号的拉氏变换与误差信号的拉氏变换之比称为前向传递函数。前向通道误差信号E(s)到输出信号Y(s)的信号传递通路称为前向通道。*69图3-10闭环系统—反馈联接H(s)G2(s)∓＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)G1(s)【注】以下各种传递函数的定义都以0初始条件为前提。第69页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成反馈传递函数反馈信号的拉氏变换与输出信号的拉氏变换之比称为反馈传递函数。即反馈通道输出信号Y(s)到反馈信号X1(s)的传递通路称为反馈通道。*70图3-10闭环系统—反馈联接H(s)G2(s)∓＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)G1(s)第70页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成误差传递函数误差信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比称为误差传递函数。即*71图3-9闭环系统—反馈联接H(s)G(s)∓＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)注意分母中的“加”、“减”关系。第71页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成开环传递函数反馈信号的拉氏变换与误差信号的拉氏变换之比称为开环传递函数。对下图来说*72【注】这里所说的开环传递函数是对闭环系统而言的，并非指开环控制系统的传递函数。开环传递函数等于前向传递函数与反馈传递函数的乘积。图3-10闭环系统—反馈联接H(s)G2(s)∓＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)G1(s)第72页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成闭环传递函数输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比称为闭环传递函数。即*73图3-9闭环系统—反馈联接H(s)G(s)∓＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)注意分母中的“加”、“减”关系。第73页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成闭环传递函数对下图所示闭环系统，其闭环传递函数为：*74图3-10闭环系统—反馈联接H(s)G2(s)∓＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)G1(s)注意分母中的“加”、“减”关系。第74页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成单位反馈系统若反馈传递函数H(s)=1，则此闭环系统称为单位反馈系统。其闭环传递函数为*75图3-11单位反馈系统G2(s)∓＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)G1(s)注意分母中的“加”、“减”关系。第75页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成干扰作用下系统的响应如果系统既有参考输入量，又有干扰输入量，则根据线性系统的叠加原理可知，系统的响应等于参考输入和干扰输入单独作用下的响应之和。以图3-12所示系统为例，推导如下：*76图3-12干扰作用下的闭环系统H(s)G2(s)－＋X1(s)E(s)Y(s)X(s)G1(s)N(s)＋＋干扰输入参考输入第76页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成参考输入量X(s)单独作用下系统的响应YX(s)令干扰输入N(s)=0，此时系统方块图如下图所示。*77图3-13有用输入信号单独作用下的闭环系统H(s)G2(s)－＋X1(s)E(s)YX(s)X(s)G1(s)闭环传递函数X(s)引起的响应第77页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成干扰N(s)单独作用下系统的响应YN(s)令参考输入X(s)=0，此时系统方块图如下图所示。*78图3-12干扰作用下的闭环系统H(s)G2(s)－＋X1(s)E(s)YN(s)0G1(s)N(s)＋＋图3-14干扰单独作用下的闭环系统H(s)G2(s)YN(s)G1(s)＋－N(s)第78页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成干扰N(s)单独作用下系统的响应YN(s)*79闭环传递函数N(s)引起的响应图3-14干扰单独作用下的闭环系统H(s)G2(s)YN(s)G1(s)＋－N(s)第79页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成参考输入与干扰同时作用下系统的响应根据线性系统的叠加原理可知，系统的响应等于参考输入和干扰输入单独作用下的响应之和。*80若|G1(s)G2(s)H(s)|≫1

且|G1(s)H(s)|≫1，则：上式表明，采用反馈控制的系统，适当选择元部件的结构参数，可以增强系统抑制干扰的能力。而且G1(s)和G2(s)的变化对闭环传递函数也几乎没有影响。这些正是闭环系统的优点。第80页，课件共106页，创作于2023年2月求串联、并联、反馈联接系统的传递函数的MATLAB命令串联：sys=series(sys1,sys2)sys1=tf(num1,den1);sys2=tf(num2,den2)并联：sys=parallel(sys1,sys2)反馈联接：负反馈联接： sys=feedback(sys1,sys2,-1)

或

sys=feedback(sys1,sys2)正反馈联接： sys=feedback(sys1,sys2,+1)sys1：前向传递函数；sys2：反馈传递函数81*第81页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成方块图的简化法则（代数法则）方块图的简化采用等效变换的代数法则。在简化过程中，移动分支点和相加点时注意遵守两条基本原则，即①前向通道的各环节传递函数的乘积保持不变；②反馈回路的各环节传递函数的乘积保持不变。串联等效：并联等效：反馈联接等效：*82前向传递函数反馈传递函数注意分母中的“加”、“减”关系。第82页，课件共106页，创作于2023年2月*83变换原方块图等效方块图分支点后移分支点前移相加点后移G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)G(s)R1(s)R2(s)C(s)＋±G(s)R1(s)R2(s)C(s)G(s)±＋方块图等效变换的代数法则第83页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成变换原方块图等效方块图相加点前移消去反馈回路*84G(s)C(s)R2(s)R1(s)＋±G(s)R1(s)C(s)R2(s)＋±R(s)H(s)G(s)C(s)＋±R(s)C(s)方块图等效变换的代数法则——续第84页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成分支点之间、相加点之间相互移动规则分支点之间的相互移动、相加点之间的相互移动，均不改变原有的数学关系，因此，可以相互移动，如图(a)、(b)。*85X2(s)±(a)±X3(s)±±X4(s)X2(s)±X1(s)±X3(s)±±X4(s)X1(s)X2(s)±X1(s)±X3(s)±X4(s)第85页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成分支点之间、相加点之间相互移动规则*86X2(s)±(c)±X3(s)X3(s)X2(s)±X1(s)X3(s)±X3(s)X1(s)X1(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)(b)分支点和相加点之间不能相互移动，因为它们并不等效，如图(c)所示。第86页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成例：用方块图简化法则，求下图系统的传递函数。解：方块图简化过程依次如下图

所示。*87＋－＋－＋－R(s)C(s)＋－＋－R(s)C(s)＋－相加点前移移动前后该反馈回路各环节的传递函数的乘积保持不变移动前后前向通道各环节传递函数的乘积保持不变例题第87页，课件共106页，创作于2023年2月*88＋－＋－R(s)C(s)＋－＋－＋－R(s)C(s)＋－分支点后移移动前后该反馈回路各环节的传递函数的乘积保持不变移动前后前向通道各环节传递函数的乘积保持不变第88页，课件共106页，创作于2023年2月*89＋－＋－R(s)C(s)＋－消去两个反馈回路＋－R(s)C(s)R(s)C(s)消去反馈回路方框中的函数即为系统的传递函数第89页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成画系统方块图及由方块图求传递函数的步骤确定系统的输入与输出；列写微分方程；初始条件为零，对各微分方程取拉氏变换；将各拉氏变换式分别以方块图表示；按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方块图连接起来（同一变量的信号通路连接在一起）。系统输入量置于左端，输出量置于右端，便可得到系统的传递函数方块图；按方块图的简化原则进行简化便可得到系统的传递函数。*90第90页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成例题：画出下图所示系统的方块图，并求出系统的传递函数。该系统在开始时处于静止状态，系统的输入为外力f(t)，输出为位移x(t)。解：设m1的位移为x1(t)，如图所示。分别对质量m1和m2利用牛顿第二定律得*91x1(t)k1Bm2m1k2x(t)f(t)整理得例题第91页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成在初始条件为0的情况下，对上两式等号两边同时做拉普拉斯变换得*92第92页，课件共106页，创作于2023年2月3-4方块图及动态系统的构成上两式的方块图分别如图（a）、（b）所示。*93将方块图（a）、（b）合并得系统的方块图，如图（c）所示X

(s)X1(s)(a)BsF(s)X1(s)X(s)＋＋(b)（c）F(s)X(