初中数学竞赛专题训练之不等式含答案

初中数学竞赛专题训练之不等式含答案初中数学竞赛专项训练（4）（不等式）一、选择题：1、若不等式｜x+1｜+｜x-3｜≤a有解，则a的取值范围是A.0＜a≤4B.a≥4C.0＜a≤2D.a≥22、已知a、b、c、d都是正实数，且ac+bd<ad+bc给出下列四个不等式：①a/b<c/d②b/d>a/c③a/b>a/d④c/d<b/a其中正确的是（）A.①③B.①④C.②④D.②③3、已知a、b、c满足a＜b＜c，ab+bc+ac＝3，abc＝1，则A.｜a+b｜＞|c|B.|a+b|＜|c|C.|a+b|=|c|D.|a+b|与|c|的大小关系不能确定4、关于x的不等式组2x+5>x-5x+3<x+a/2只有5个整数解，则a的取值范围是（）A.-6<a<-2B.-6≤a<-2C.-6＜a≤-2D.-6≤a≤-11/25、设关于x的方程ax²+(a+2)x+9a=0有两个不等的实数根x₁、x₂，且x₁＜1＜x₂，那么a的取值范围是A.-22/5＜a＜-7/2B.a＞-2C.a＜-22/5或a＞-7/2D.-2＜a＜11/26、下列命题：①若a=0，b≠0，则方程ax=b无解②若a=0，b≠0，则不等式ax>b无解③若a≠0，则方程ax=b有唯一解④若a≠0，则不等式ax>b的解为x＞b/aA.①②③④都正确B.①③正确，②④不正确C.①③不正确，②④正确D.①②③④都不正确7、已知不等式①|x-2|≤1②(x-2)²≤1③(x-1)(x-3)≤0④x-1≤x+2其中解集是1≤x≤3的不等式为A.①B.①②C.①②③D.①②③④8、设a、b是正整数，且满足56≤a+b≤59，0.9＜a/b＜1，则a+b的最小值为A.171B.177C.180D.182二、填空题：1、若方程a/(x-2)＜0.91，则b²-a²等于__________。解：由不等式a/(x-2)＜0.91可得a＜0.91(x-2)，即a²＜0.8281(x-2)²。又因为b²-a²＝(b-a)(b+a)，所以b²-a²的最大值为(b-a)(b+a)的最大值。由a²＜0.8281(x-2)²可得b-a＞√(0.8281(x-2)²+1)，b+a＞2，因此b²-a²＜(√(0.8281(x-2)²+1)+2)(√(0.8281(x-2)²+1)-2)＝0.8281(x-2)＋1＜1.8281。所以b²-a²＜1.8281。2、乒乓球队开会，每名队员坐一个凳子，凳子有两种：方凳（四脚）或圆凳（三脚），一个小孩走进会场，他数得人脚和凳脚共有33条（不包括小孩本身），那么开会的队员共有__________名。解：设方凳有x个，圆凳有y个，则有4x+3y=33，即4x≡0(mod3)，解得x≡0(mod3)。因为x和y都是非负整数，所以x=0或3，又因为总人数大于凳子数，所以x+y≥9，因此x=3，y=3，共有6名队员。3、已知不等式①|x+2|＜3②(x+2)－9＜0③(x-1)(x-3)≤0④x-1≤x+2，的不等式有__________个。解：①|x+2|＜3，解得-5＜x＜1。②(x+2)－9＜0，解得x＜7。③(x-1)(x-3)≤0，解得1≤x≤3。④x-1≤x+2，解得x≤3。综上所述，满足条件的x的取值范围是1≤x＜7，共有6个不等式。2、解：将不等式化简得x-16<-4或x-16>-1，即x<12或x>15。而又因为x+5x-14可以写成(x-2)(x+7)，所以当2x+7>0时，方程无实数根。解得x>-7/2。综合x<12和x>-7/2，得到解集为-5<x<1。3、解：根据题意，72.5g的信件需要付1.6元的邮费。因为72.5g在40g以下，所以不需要再增加邮费。故答案为1.6元。4、解：将不等式化简得|2x-1|+|2x+3|=4，解得x=-1或x=1。因为x1<x2，所以x1=-1，x2=1。所以x1-x2=-2。二、解答题1、解：设每台水泵的效率为x，则12x=1，10x=7/5。解得x=1/60。所以在2小时内抽干池子，至少需要60/2=30台水泵。2、解：根据题意，方程的两个根分别为x1>1和x2<1。根据二元一次方程求根公式，得到x1+x2=4/(k+1)，x1x2=1/(k+1)。因为x1>1，所以x2=1/(k+1)>1，即k<-1。又因为x2<1，所以x1=4/(k+1)<1，即k>3/4。综合得到-1<k<3/4。3、解：当a+2>0时，原不等式化简为ax+a+2<2，即ax+a<0，解得x<-1。当a+2<0时，原不等式化简为ax+a+2>-2，即ax+a>-4，解得x>-2。综合得到-2<x<-1。因为只有一个整数解，所以该解为0。代入得到a=-2。故a的整数值为-2。4、解：设一层客房数量为x，则二层客房数量为x+5。根据题意，4x<48<5x，解得9≤x<12。因为每间客房最多住4人，所以一层客房最多住4x人。根据题意，4x<48，所以一层客房最多住48人。因为每间客房最多住5人，所以二层客房最多住5(x+5)人。根据题意，5(x+5)<48，所以二层客房最多住23人。因为有房间住不满，所以一层客房最少住3人，二层客房最少住2人。设一层客房住了3y人，则二层客房住了48-3y人。根据题意，4y≤x<4(y+1)，3(y+1)≤23-(48-3y)<3(y+2)，解得y=11，x=43。所以一层客房有43间。5、解：设劳动竞赛前每人一天做a个零件，劳动竞赛后每人一天做b个零件。根据题意，8(a+10)>200，4(b+27)>8(a+10)，解得a=15，b=41。所以他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的(15+10)/(15)=1.67倍。1、解：由题意可得：a<b<cabc=1|a+b|=-a-b<c因为a,b,c都是正数，所以-a-b<0，即|a+b|=-(a+b)，代入原式得：-a-b<-c即a+b>c，与原不等式矛盾。所以不存在满足条件的a,b,c。2、解：设圆凳有x个人，方凳有y个人，则：5x+4y=336x+4y=25解得x=6，y=3，所以全班共有6+3=9人参加会议。3、解：将①带入②得：(2x+1)^2-(x+2)^2<9化简得：3x^2+6x-4<0解得：-2<x<\frac{2}{3}将①带入③得：3x-2<5解得：x<\frac{7}{3}将①带入④得：2x^2-10x+9>0解得：x<\frac{5-\sqrt{7}}{2}或x>\frac{5+\sqrt{7}}{2}综合以上不等式，得-2<x<\frac{2}{3}，故应填4。4、解：将不等式组化简得：1<a<9故应填1<a<9。5、解：根据题意可列出不等式：20×3<72.5<20×4因为邮费为0.8元/件，所以对于4件商品，邮费应为3.2元，故应填3.2元。6、解：因为x<1或x>-1时，|x-2|+|x+1|=3，所以只需考虑-1≤x≤1的情况。此时，不等式可以化简为：2x+6<0解得：x<-3所以应填-3。6、解：给定方程为|2x-1|+|2x+3|=4，将两边同时除以2得到|x-0.5|+|x+1.5|=2。根据绝对值的性质，可以将其拆分成四种情况讨论：当x<0.5时，x-0.5<0，x+1.5<0，此时方程化简为-(x-0.5)-(x+1.5)=2，解得x=-2。当0.5≤x≤-1.5时，x-0.5≥0，x+1.5<0，此时方程化简为(x-0.5)-(x+1.5)=2，解得x=0。当-1.5<x<1时，x-0.5≥0，x+1.5≥0，此时方程化简为(x-0.5)+(x+1.5)=2，解得x=1。当x≥1时，x-0.5≥0，x+1.5≥0，此时方程化简为(x-0.5)+(x+1.5)=2，解得x=2。综上所述，方程的解为x=-2，0，1，2。1、解：设满池水的量为x，泉水每小时涌出的水量为y，水泵每小时抽水量为z。根据题意，可以列出以下三个方程：x+5y=60zx+7y=70zx+2y≤2nz将第一个方程乘以7，第二个方程乘以5，然后相减，可以消去x和y，得到2z=10，即z=5。将z=5代入第一个方程，可以解得x=35。将x和z代入第三个方程，可以得到5≤n≤23/2，因为n必须是整数，所以n的最小值为23。因此，至少需要23台水泵才能在2小时内抽干满池水。2、解：将方程y=x^2-(k+1)x+4-k写成标准形式y=(x-2)^2-k+1。由于该方程有一个大于1的根和一个小于1的根，所以其对应的抛物线与x轴的两个交点分别位于点(1,0)的两侧。因为k+1>0，所以抛物线开口向上。当x=1时，y的取值为-k+4，因此-k+4<1，解得k<－3或k>5。又因为k是整数，所以k的取值只能是－3或6。因此，方程的解为k=－3或k=6。3、解：根据题意，可以列出不等式-a-4<ax<-a。将不等式两边同时除以a，注意到a不能等于0，因为这样会导致原不等式无解。当a>0时，不等式变为-1-a/x<1<-a/4，解得3<a<4。当a<0时，不等式变为-a/4<a/x<1-a，解得-4<a<-3。因此，a的整数值为－3或3。4、解：设第一层有客房x间，则第二层有x+5间客房。根据题意，可以列出以下不等式组：4x<48<5x3(x+5)<48<4(x+5)将第一个不等式除以4，第二个不等