第1章勾股定理 自主学习同步达标测试题（含解析） 2023-2024学年北师大版八年级数学上册

第第页第1章勾股定理自主学习同步达标测试题（含解析）2023-2024学年北师大版八年级数学上册2023-2024学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》

自主学习同步达标测试题（附答案）

一、单选题（满分40分）

1．已知一个直角三角形两边长分别为3和5，这第三边长的平方是（）

A．16B．16或34C．16或31D．34

2．在中，斜边，则的值为（）

A．B．C．D．无法计算

3．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖，另一只朝左挖，每分钟挖，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）

A．B．C．D．

4．如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（）

A．4B．8C．12D．18

5．下列各组数中是勾股数的是（）

A．2，3，4B．6，8，10C．8，11，12D．10，14，15

6．《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是（）

A．5尺B．6尺C．8尺D．10尺

7．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离（杯壁厚度不计）为（）

A．B．C．D．

8．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（）

A．0.4B．0.6C．0.7D．0.8

二、填空题（满分40分）

9．在中，，，，则的长为．

10．如图，已知正方形C的面积是5，则正方形A和正方形B的面积之和为．

11．如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为．

12．如图所示，已知蚂蚁在一个长方体表面爬行，已知，，，若要使蚂蚁从A点经到G点爬过的路程最短，则最短路程是cm．

13．如图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角，于是在草坪内走出了一条不该有的“捷径路”．已知米，米，他们踩坏了米的草坪，只为少走米的路．

14．如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片的一角，使点B与点A重合，展开得折痕，则的长是．

15．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面x尺，则根据题意列方程为：．

16．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为米．

三、解答题（满分40分）

17．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它恰好落在斜边上，且与重合．

(1)求的长；

(2)求的长．

18．如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．

(1)判断与的位置关系，并说明理由；

(2)若，求线段的长．

19．如图，某斜拉桥的主梁垂直于桥面于点，主梁上有两根拉索分别为、，且米，米，设米．若米，求的值．

20．已知，中，于点C，，点F为线段上一点，，交线段于点E．

(1)求证：

(2)若，，求线段的长度．

21．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：

小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；

②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．

小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）．

(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）；

(2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？

参考答案

1．解：当第三边是直角边时，则可设第三边为斜边值x，

由勾股定理得：，

当第三边是斜边时，则可设第三边直角边值x，

由勾股定理得：．

故答案为：B．

2．解：∵在中，斜边为，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选．

3．解：一只朝前方挖，每分钟挖，另一只朝左挖，每分钟挖，

分钟后，如下图，，，

∴在中，，

故选：A．

4．解：如图，

∵，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，即

∴b的面积的面积的面积，

∴c的面积的面积的面积．

故选：B．

5．解：A.，不能能构成直角三角形，故不是勾股数；

B.，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；

C.，不能构成直角三角形，故不是勾股数；

D.，不能构成直角三角形，故不是勾股数．

故选：B

6．解：设绳索长为x尺

∴根据题意得：

解得．

∴绳索长为尺，

故选：D．

7．解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，作，交延长线于点，

则，

由两点之间线段最短可知，当点、F、B在同一条直线上时，取得最小值，最小值为的长度，

由题意可知，，，

则，

即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为，

故选：D．

8．解：∵米，米，

∴（米），

∵梯子的顶部下滑0.4米，

∴米，

∴米，

∴米．

∴梯子的底部向外滑出（米）．

故选：D．

9．解：∵，，，

∴，

∴，

故答案为：．

10．解：设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，

∴，

∵已知正方形C的面积是5，即

∴正方形A和正方形B的面积之和为，

故答案为：．

11．解：，

，

点D为的中点，

，

又，

，

，

中，，，

，

．

故答案为：．

12．解：将长方体展开，如图所示，连接

∵，

∴

∵，

∴．

∴最短路程是．

故答案为：15．

13．解：在中，米，米，

∴，

∴踩坏了10米的草坪，

∵．

∴只为少走4米的路．

故答案为：10，4

14．解：由折叠的性质得，

在中，，

∴，

∴．

故答案为：．

15．解：如图，设折断处离地面x尺，

根据题意可得：，

．

故答案为：

16．解：如图，

，

根据题意得：，

在中，米，米，

米，

在中，米，米，

米，

米，

小巷的宽度为2.7米，

故答案为：2.7．

17．（1）解：∵在Rt△ABC中，两直角边AC=6cm，BC=8cm，

，

由折叠的性质可知：，

；

（2）解：设，则，，

在中，由勾股定理得：，

即，

解得：，

∴．

18．解：（1），理由如下：

∵，

∴，

∵垂直平分，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴，

∴

∴；

（2）连接，如图所示∶

∵，，，

∴，，

设，则，

在中，根据勾股定理，得，

在中，根据勾股定理，得，

∴

解得，

∴．

19．解：，

，

在中，由勾股定理得：

在中，由勾股定理得：，

，

∵米，（米），

∴，

解得：．