第15讲 导数中的距离问题

第14讲导数中的“距离”问题整理：湖北十堰郝清鹏一、问题综述导数中的“距离”问题是指形如下面的问题：若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是．二、典例分析类型1：一曲一直型【例1】已知函数．若存在，使得，则实数的值为．解法1：（构造距离）设，则的几何意义是的平方．其中点在曲线上，点在直线上．设且与曲线相切，切点为，又，则，，进而有，即．欲使存在，使得，则．此时，，即，得．【方法小结】方法一将存在性问题转化为求函数的最小值问题，数形结合构造两点间距离，然后利用切线求得距离的最小值，即函数的最小值．而此题函数的最小值恰好的题目所给的值，所以存在的只有一个，即切点的横坐标．进而求得的值．当求出坐标之后，求和的值时，还有如下做法：，又，两边夹得：，此时．易求得:，与联立，解得，．解法2：（权方和+不等式）由熟知的不等式可得：，即（当且仅当时等号成立．）进而有：=即，又，．这说明上面的不等式中等号在处取到．因此，即，故．【方法小结】方法二巧妙的结合利用了权方和不等式和我们熟知的不等式求得了函数的最小值，并在取等条件下求得和的值．此法对权方和不等式要求较高．权方和不等式：，当且仅当时等号成立．权方和不等式（二维形式）：，当且仅当时等号成立．特点：分子的次数比分母的次数高一次．解法3：（变换主元+判别式）依题意：有解，即有解．故判别式，化简得．由我们熟知的不等式可得：，即（当且仅当时等号成立．）于是，故，因此．所以式对应的方程有两相等根，故．【方法小结】方法三另辟蹊径巧妙的变换主元，把原式转化成关于的一元二次方程，通过判别式及切线放缩求得的值，进而求得的值．解法4：（变换主元+二次函数最值）(其中仍利用得)【方法小结】方法四与方法三有异曲同工之妙，利用主元思想构造二次函数及切线放缩求得最值．【变式练习1】设函数，其中．若存在，使得成立，则实数的值为（）A．B．C．D．【例2】若对任意的实数，函数在R上是增函数，则实数的取值范围是．【解析】依题意可知在上恒成立，∴在上恒成立，令，则，∵表示直线上的动点与曲线上的动点两点间的距离的平方．设曲线上与直线平行的切线的切点为，则易得切线方程为，即，依题意有，∴，∴切线方程为，∴两条平行线与间的距离为．∴，∴．【例3】若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【解析】依题意可知表示曲线到直线上点的距离最小值的平方，求曲线平行于直线的切线，，令，得，因此切点，切点到直线的距离，就是两曲线的最小距离，∴的最小值，∴．【变式练习2】已知不等式，对任意恒成立，则实数的取值范围为．【例4】若存在实数，使得关于的不等式成立，则实数的取值集合为．解法1：利用权方和不等式得：(其中，取等条件)两边夹得：，当且仅当且，即．解法2：原式=，表示,两点间的距离．如图利用切线可知，此时．【变式练习3】已知的最小值为，则的值为．类型2：两曲型【例5】设．当变化时，的最小值为．【解析】解法1：（几何意义+导数）设分别是函数，图象上的动点，则．点到抛物线的准线的距离，等于点到焦点的距离，即，故．所以，当，，三点共线时取等号，故只需求的最小值．记，则，当时，；当时，，所以，从而，当，时取等号．【方法小结】解法1结合几何意义将目标转化为二次函数上的点与函数上的点之间的距离，进而通过抛物为线的定义转化焦点与上的动点的距离的最小值，最后通过构造函数，利用导数求出函数的最值．解法2：（几何意义+权方不等式）设分别是函数，图象上的动点，则．点到抛物线的准线的距离，等于点到焦点的距离，即，故．所以所以．【方法小结】解法2在求解抛物线上焦点与上动点的距离的最小值，采取权方和不等式进行求最小值，方法巧妙，令人叹为观止．附：权方和不等式（当且仅当时取等号）．解法3：（几何意义+斜率）设分别是函数，图象上的动点，则．点到抛物线的准线的距离，等于点到焦点的距离，即，故．所以，设在点的切线方程为，斜率为，．当时，取最小值，，解得，，所以．【方法小结】思路三在求解抛物线上焦点与上动点的距离的最小值时，考虑过二次函数的焦点与上的点的连线与过的切线垂直时，最小．思路三利用几何关系解决问题，体现了数形结合的思想．解法4：（柯西不等式），当且仅当取等号．【方法小结】思路四在求目标函数的最值时，通过柯西不等式不等式进行放缩成只含有的二次函数，利用二次函数的性质求最值，解决问题．思路四，方法巧妙，妙到毫巅，让人折服，属于巧法．【变式练习4】设，则的最小值为（）．．．．【例6】已知方程在区间内恒有两个根，则实数的最大值为．解法1：∵，∴，依题意，曲线，曲线，即，如图所示，要使在区间内曲线恒有两个交点，则必有曲线在取时的值小于或等于，故要使得最大，只需，解得：．【方法小结】通过一个数的平方为非负可知曲线曲线，曲线，利用数形结合可知曲线在取时的值等于时的值最大，计算即得结论．解法2：∵，∴，依题意，曲线，曲线，两曲线有交点即方程有两个实根，分离变量得，设，则，可知在递减，在上递增．∴最小值为，又，所以要有两个交点，则有．类型3：综合应用【例7】若实数,,,满足，则的最小值为()．【解析】解法1：（均值不等式）=设，则已知在上单调递增，且,当时，单调递减；当时，单调递增．综上，原式的最小值为，故选．解法2：（距离），原式设；，则即为和上两点间距离的最小值．而．故为凸函数，且在单调递增，在单调递减．易求得与相切，且与平行的切线的切点．则等于到的距离，∴，故选．【变式练习5】若实数满足，则的最小值为．【例8】已知点为函数图像上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值．【解析】过函数上点作的切线，将平移至与圆相切，设切点为．（当在线段上时，长度最小．（即将圆扩大到与相切时的切点为点），由得：整理得，解得，（详细证明放在后面）所以，所以，故线段长度的最小值．（PS：设，注意到，现证明为唯一零点．先求得在的切线为，由切线放缩：当，，当，，故为唯一零点．【变式练习6】已知点在圆上，点在曲线上，则线段的长度的最小值为．【例9】已知实数满足其中是自然对数的底数,则的最小值为（）A．4B．8C．12D．18【解析】实数满足，∴，，因此点在曲线上，点在曲线上，的几何意义就是曲线到直线上点的距离最小值的平方，求曲线平行于直线的切线，，令，得，因此切点，切点到直线的距离，就是两曲线的最小距离，的最小值，故答案为B．【变式练习7】若实数满足（为自然对数的底数），则的最小值为（）A．B．C．D．10【例10】已知直线与函数和分别交于两点，若最小值为2，则．【解析】解法1：当直线平移至与曲线相切时（切点为），取最小值2．过点作垂直直线，由于，易求得切点到直线的距离为，设，则，∴，联立得，∴，所以．解法2：设，则，，设，．（1）若，，函数无最小值；（2）若，当，递减；当，递增；，解得，此时故，所以．【变式练习8】已知直线分别与直线及曲线交于两点，则的最小值为．三、巩固练习1．若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（）．A．B．C．D．2．设点在曲线,点在曲线，则的最小值为（）A．B．C．D．3．为曲线上一点，为曲线上一点，则|PQ|的最小值为．4．若均为任意实数，且，则的最小值为．A．B．C．D．5．若对恒成立，则的最大值为．6．设，则的最小值为．7．已知函数(其中为自然对数的底数，为变量，且)，当取最小值时，．8．若存在，使得成立，则实数的取值范围是．9．已知函数（为常数，当时取极大值，当时取极小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知，则的最小值为（）A．B．C．D．11．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（）A．B．C．D．12．曲线上的点到直线的最短距离是（）A．B．C．D．13．曲线上的点到直线的最短距离为．14．点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为．15．设点分别是曲线(是底数）和直线上的动点，则两点间距离的最小值为．16．直线分别与直线，曲线交于两点，则最小值为．17．已知函数，若存在成立，则实数的值为（）A．B．C．D．18．设表示自然对数的底数，函数，关于的不等式有解，则实数值为．19．实数满足，则的最小值是．已知实数满足其中是自然对数的底数，则的最小值为（）A．B．C．D．21．已知实数满足，实数满足，则的最小值为．22．设，其中是自然对数的底数，则的最小值为．四、巩固练习参考答案变式练习1：答案：A变式练习2：答案：变式练习3：答案：变式练习4：解析：由式子结构联想：为抛物线上点到对数函数图像上任意点的距离加上点到抛物线的准线的距离，设为抛物线的焦点，则由抛物线定义可知，,显然，当三点共线时最短．即求焦点到对数函数图像上任意点的距离的最小值．∵令，则，且．设，则，∴在上单调递增，∴当时，，当时，，∴，∴，即．点评：此题，由式子结构联想，两点间距离公式，构造成图像上两点距离，通过抛物线定义，转化为三点共线时的最短距离，通过求导法，以及切线法，与圆相切的方法，予以解决，需要较高的数学功底．变式练习5：答案：变式练习6：答案：变式练习7：实数满足，∴，，因此点在曲线上，点在曲线上，的几何意义就是曲线到直线上点的距离最小值的平方，求曲线平行于直线的切线，，令，得，因此切点，切点到直线的距离，就是两曲线的最小距离，的最小值，故答案为B．变式练习8：解：依题意可得，∴，，∴，∴两点的坐标分别为，∴．令，，则，∴时；时，，所以在时取得最小值为所以．1．解：设是上任意一点，则过该点的切线方程为，依题意有，∴，即，∴，∴，∴，∴选择D．2．∵与的图象关于直线对称，∴的最小值等于直线到曲线（或）距离的2倍．∵，由得，∴切点，∴，∴选择B．3．过程参考第2题，答案：．4．设，是曲线上任意一点，则表示，易得过的切线的方程为，当时，最小，此时，∵过点，∴，∴（此处需证明（也易证）函数的单调性），∴，∴，∴．5．解：表示直线上的动点与曲线上的动点两点间的距离的平方．依题意，设曲线上与直线平行的切线的切点为，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．6．设为直线上任意一点，为直线上任意一点，则，设曲线上与直线平行的切线的切点为，∵，由得，不妨设，则，∴切点，∴，∴．7．答案：．8．依题意有表示直线上的动点与曲线上的动点两点间的距离的平方，设曲线上与平行的切线的切点为，则切线方程为，依题意可得，所以，∴切线方程为，∴两条平行线与间的距离，∴，∴．9．解：∵，∴，∵函数在时取得极大值，当时取极小值，∴在和内各有一个根，∴，即，在坐标系中画出其表示的可行域，如图所示，表示点与可行域内的点连线的平方，点的直线的距离为，由与联立得交点为，与点的距离为5，∴的取值范围为，∴选择D．10．答案：11．设曲线上与平行的切线的切点为，则，∴切线方程为，由，得，∴切线方程为，依题意点到直线的距离的最小值即为两条平行线与间的距离，∴答案为B．12．答案：C13．答案：14．答案：15．答案：16．解：依题意可得，∴，，∴，∴两点的坐标分别为，∴．令，则，∴时；时，，所以在时取得最小值为，所以．解：∵．设为直线上任意一点，为曲线上任意一点，则成立，∴，设曲线上与直线平行的切线的切点为，则，由得，∴切点，∴，∴．18．过程参考第