2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）全等三角形基本模型（4大模型）（解析版）

全等三角形基本模型（4大模型）模型一：平移型模型二：翻折型模型三：旋转型模型四：一线三垂直型【类型一：平移型】【典例1】如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB【解答】证明：∵∴BE+EC=CF∴在△ABC和△DEF中，∴△ABC【变式1-1】如图，已知Rt△ABC与Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，点B、F、C、E在同一直线上，且AB＝DE，BF＝CE，求证：∠B＝∠E．【解答】证明：∵BF=CE∴BC在Rt△ABC和∵BC∴Rt∴∠B【变式1-2】如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA//FB，EC//FD，EA=FB．求证：AB=CD．【解答】证明：∵∴∠∵∴∠在△EAC和△{∴△∴∴∴【变式1-3】如图，点B，C，E，F在同一直线上，BE=CF，AC⊥BC，DF⊥EF，垂足分别为C，【解答】证明：∵BE=∴BE-CE=在Rt△ABC和Rt△DEF中BC∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴AC=DF．【类型二：翻折型】【典例2】已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC．【解答】解：∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝∠DBC，在△BAC和△BDC中∠A∴△BAC≌△BDC，∴AC＝DC．【变式2-1】如图，已知BD是∠ABC的角平分线，AB=CB求证：△ABD≌△【解答】证明：∵BD是∠ABC的角平分线（已知），∴∠ABD=∠在△ABC与△CBD∵AB∴△ABD≌△【变式2-2】已知：如图，线段BE、DC交于点O，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．【解答】解：在△AEB和△ADC中，AB=∴△AEB≌△ADC（SAS），∴∠B=∠C．【变式2-3】已知：如图，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2.求证AB＝DC.【解答】证明：如图，记AC，BD的交点为∵∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，又∵∠OBC＝∠ABC−∠1，∠OCB＝∠DCB−∠2，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，在△ABO和△DCO中，∠1=∠2OB∴△ABO≌△DCO（ASA），∴AB＝DC.【类型三：旋转型】【典例3】已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO．【解答】证明：∵AB⊥BE，DE⊥AD，∴∠B=∠D=90°．在△ABO和△EDO中∠B∴△ABO≌△EDO．【变式3】如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE，求证：△ABE≌△DCE．【解答】证明：在△ABE和△DCE中AE=DE∠∴△ABE≌△DCE（SAS）【典例4】如图，CA=CD，∠1=∠2，BC=【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠ECA＝∠2＋∠ECA，即∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，CA∴△ABC≌△DEC（SAS），∴∠B【变式4】如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数.【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，即∠EAF=∠BAC，∵AE＝AB，AC=AF，∴△EAF≌△BAC，∴EF＝BC；（2）解：∵△EAF≌△BAC，∴∠AEF=∠ABC＝65°，∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABC＝65°，∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF＝50°，∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=78°.【类型四：一线三垂直型】【典例5】如图，AB＝AC，直线l经过点A，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M、N，BM＝AN．（1）求证：MN＝BM+CN；（2）求证：∠BAC＝90°．【解答】（1）证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°，在Rt△AMB和Rt△CNA中，，AB∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL），∴BM＝AN，CN＝AM，∴MN＝AM+AN＝BM+CN；（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．【变式5-1】课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中∠ADC∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，∴AD＝4a，BE＝3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35，∴a＝5，答：砌墙砖块的厚度a为5cm．【变式5-2】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，①求证：△ADC≌△CEB②求证：DE=AD（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.【解答】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，又∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB②∵△ADC≌△CEB∴CD=BE，AD=CE，∵DE=CE+CD，∴DE=AD+BE；（2）解：DE=AD+BE不成立，此时应有DE=AD－BE，理由如下：∵BE⊥MN，AD⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，又∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB∴AD=CE，CD=BE，∵DE=CE－CD，∴DE=AD－BE.1．如图，在△ABC和△CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，AB∥DE，求证：△ABC≌△CDE．【解答】证明：∵AB∥∴∠B在△ABC和△CDE∠B∴△ABC2．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，DC∥AB．求证DC=AB．【解答】证明：∵DC∥AB，∴∠D=∠B，在△COD与△AOB中，∠D∴△COD≌△AOB（AAS），∴DC=AB．3．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：AC＝DF．【解答】证明：∵BF＝CE，∴BＦ＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF．4．如图，等边△ABC的内部有一点D，连接BD，以BD为边作等边△BDE，连接AD，CE，求证：【解答】证明：∵△ABC和△DBE为等边三角形∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，DB=EB∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC即∠ABD=∠CBE在△ABD和△CBE中AB∴△∴AD=CE5．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AB＝DC.【解答】证明：∵点E，F在BC上，BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE；在△ABF和△DCE中，∠A∴△ABF≌△DCE（AAS），∴AB＝CD（全等三角形的对应边相等）.6．如图，点B、C、E、F在一条直线上，【解答】证明：∵∴BF+EF=CE在△ABE和△DCF中AB=DCBE∴∠7．如图，已知AB、CD相交于点O，且AD=CB，AB=CD．求证：∠A=∠C．【解答】证明：连接BD，如图，在△ABD和△CDB中，∵AD=CB，AB=CD，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠A=∠C．8．已知：如图，A、C、F、D在同一条直线上，且AB//DE，AF＝DC，AB＝DE，求证：△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AF＝CD，∴AD+CF＝CF+DF，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，AC=DF∴△ABC≌△DEF（SAS）．9．如图：点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G.过点（1）求证：△（2）求证：∠【解答】（1）证明：∵BE=CF，

∴BF=CE，

在△ABF和△DCE中

AB=DC∠B=∠C（2）证明：∵△ABF≌△DCE，

∴∠AFE=∠DEC，

∴EG=GF，

∵GH⊥BC，

∴∠EGH=∠FGH.10．如图，AD平分∠BAC（1）求证：△ABD⊆△（2）若∠B=25°，∠BAC【解答】（1）证明：∵AD平分∠又∵（2）解：∵∠BAD又∵∠B又∵△ABD又∵∠ADB11．如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F，AB=CF，（1）求证：∠EAB（2）若BC=10，求BE【解答】（1）证明：∵∠CEA是△∴∠CEA又∵∠CEA=∠B+∠（2）解：在△ABE和△AB=∴△ABE≌△∴BE=∵BC=10∴BE=512．如图AB⊥BE，DE⊥BE，垂足分别为点B，E，且AB=DE，BF=CE，点B，F，C，求证：（1）ΔABC≌（2）AG=【解答】（1）解：∵AB⊥BE∴∠B∵BF∴BF即BC=在ΔABC和ΔDEF中AB=∴（2）解：由（1）全等可知：AC=DF，∴CG13．如图，已知∠A＝∠D，AB＝DB，点E在AC边上，∠AED＝∠CBE，AB和DE相交于点F．（1）求证：△ABC≌△DBE．（2）若∠CBE＝50°，求∠BED的度数．【解答】（1）证明：∵∠A＝∠D，∠AFE＝∠BFD，∴∠ABD＝∠AED，又∵∠AED＝∠CBE，∴∠∴∠ABD+∠ABE＝∠CBE+∠ABE，即∠ABC＝∠DBE，在△ABC和△DBE中，∠A∴△ABC≌△DBE（ASA）；（2）解：∵△ABC≌△DBE，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠C，∵∠CBE＝50°，∴∠BEC＝∠C＝65°．∴14．已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：（1）AE∥FB，（1）DE=CF.【解答】（1）证明：在△ADE和△BCF中，AE∴△ADE≌△BCF（SAS），∴DE=CF．15．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．（1）求证：∠ABE=∠CAD（2）试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB＝BC，BE平分∠ABC，∴BE⊥AC，∴∠BEA＝90°＝∠ADB，∵∠CAD+∠BEA+∠AHE＝180°，∠HBD+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，∴∠HBD＝∠CAD，∵∠HBD＝∠ABE，∴∠ABE=∠CAD（2）解：AB＝BD+DH理由是：∵在△BDH和△ADC中∠2=∠3∴△BDH≌△ADC（ASA），∴DH＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DH，∵AB＝BC，∴AB＝BD+DH．16．如图1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M.（1）求证：BE=AD；（2）直接用含α的式子表示∠AMB的度数为（3）当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明.【解答】（1）