矩形板附加弹性铰简支撑的优化分析

矩形板附加弹性铰简支撑的优化分析

近年来，基于弹性的薄结构分析和优化设计研究引起了人们的广泛兴趣。本文采用瑞利-里兹(Rayleigh-Ritz)法优化设计矩形板边界上弹性铰(简)支撑位置,使板的基频达到原系统的第二阶固有频率,同时计算获得支撑的最小刚度值。现有研究成果已经证明1弹簧刚度和横向位移考虑一个均匀厚度的矩形薄板,仅有一条边简支或固支,其他边自由。矩形板位于x-y平面内并做横向自由振动。现用一个弹性铰支撑(弹簧),在约束边相对的自由边上固定结构,以改善结构的变形,同时提高板的最低阶固有频率,矩形板尺寸如图1所示。板的自由振动微分方程为:式中:ω表示结构振动频率;h是板的厚度;D=Eh根据瑞利-里兹法,板的横向位移W(x,y)可近似表示为:式中:φ根据薄板弯曲理论式(4)仅考虑支撑的线弹性刚度,没有考虑其弯曲刚度。已有研究结果发现2附加支撑位置的选择当支撑位于最优点时,可以用一个刚度很小的弹性支撑使板的某阶振动频率达到其极大值式中:下标i表示板的固有频率阶次;W例如,欲提升矩形板的基频(i=1),附加支撑必须位于使第一阶振型相对x轴和y轴转角同时为零的点处。此时,该刚度即为使基频达到最大值的最小刚度。若不满足支撑位置优化设计准则(式(7a)、式(7b)),则需要较大的支撑刚度才能达到同样的频率设计目标。式(7)也可以说明支撑的弯曲刚度对最小临界刚度值影响不大,因为此时支撑点的转角为零。3变量的选取根据瑞利-里兹法,振动系统能量泛函(U式中,为了计算简便,我们引入了无量纲坐标ξ=x/a,η=y/b,板的边长比α=a/b,频率参数4支撑刚度问题的解析为了证明本文所提方法的可行性,我们分析矩形板的边界支撑位置优化设计和最小支撑刚度问题,如图1所示。将板的约束边固定为y轴,x轴与板的中心线重合,则板的所有振型将沿x轴对称或反对称。在矩形板约束边相对的自由边上,分别用一个或两个弹性支撑固定结构,使板的基频升到板无附加支撑时的第二阶固有频率4.1固有频率的满足由于矩形板的第一阶振型对称于x轴,不难得出支撑点一定位于自由边的中点P(a,0)。此时,一阶振型沿y轴方向的零斜率条件自动得到满足,只剩下沿x方向的斜率需要强制满足(式(7b))。此外,由于此点亦位于矩形板的第二阶振型的节线上,由此可知,板的第二阶固有频率不受附加支撑的影响。因此,第二阶频率是第一频率能够达到的最大值。如果支撑的刚度超过了计算所得的最小刚度值,继续增加刚度并不能升高板的第一频率表2列出了矩形板不同约束情况和不同边长比,无附加支撑时的前两阶固有频率4.2最小支撑刚度假设有两个相同刚度的弹性支撑同时位于约束相对的自由边上,使矩形板的基频达到原来的第二阶频率。由于第一阶振型对称,可知这两个弹性支撑位于x轴两侧,并对称于x轴。此时,支撑位置优化条件(式(7a)、式(7b))需要同时得到满足。图3分别显示了不同支撑位置时的最小支撑刚度的变化情况。在自由边的中点,最小支撑刚度值刚好是一个弹性支撑时最小刚度的一半。当支撑逐渐离开中点时,最小支撑刚度不断下降,并达到最小值。随后当支撑靠近板的角点时,支撑刚度迅速增大。由此,可以确定最优支撑位置和相应的最小支撑刚度。表3列出了矩形板不同约束情况和不同边长比时,最小支撑刚度和最优支撑位置的计算结果。此时,最小支撑刚度较只有一个弹性支撑时减小20%左右。有限元验算结果表明:此时系统的第一阶固有频率已基本达到了无支撑时的第二阶频率,且误差也较小(<3%)。同样,对于简支的长方形板(a=1.5),特征方程仍无正实数解,即二个刚性支撑也无法使板的第一阶频率提高到原来的第二阶频率。必须使支撑离开自由边才可能达到设计目的5优化模型的建立若结构本身的设计形式无法改变,通过改变结构支撑(连接)位置,也能极大地改善其静、动力学特性。当矩形板的固有频率需要提高时,如果附加的铰(简)支撑位于最优位置,一个弹性支撑有时能够起到一个刚性支撑的作用。本文采用瑞利-里兹法,结合拉格朗日乘子技术,对一边固支或简支其他边自由的矩形板,附加边界支撑的最优位置进行了分析和探讨,获得了使板的基频升高到系统原来第二阶频率所需要的最小刚度和最优位置。两个数值算例表明本文提出的方法是有效和可靠的,能够获得较满意的结果。研究结果发现:矩形板的边界支撑条件和边长比对最小支撑刚度影响很大。如果支撑位置设计区域受到某种限制(如只在某一边界上),有时设计目标可能无法达到。为了使支撑点的斜率为零,在板的位移表达式(式(2))中,容许函数要取很多项数,因此求解支撑最小刚度的特征值问题(由式(7)和式(8)构成)的