曹培英讲座《数学课程标准解读》课件

跨越断层走出误区数学课程标准解读：“十个核心词”的实践研究曹培英跨越断层走出误区数学课程标准解读：1引言义务教育数学课程标准（2011年版）最大的改变：

1.“双基”→“四基”四基：数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验意味着：我国数学教育优良传统得到肯定回归“结果”与“过程”并重的理念引言义务教育数学课程标准（2011年版）最大的改变：2引言义务教育数学课程标准（2011年版）最大的改变：

2.“六个核心词”→“十个核心词”小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词)小学数学(1978)：计算能力，初步的逻辑思维与空间观念，解决简单实际问题(四个核心词)义务教育数学(2001)：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力义务教育数学(2011)：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识引言义务教育数学课程标准（2011年版）最大的改变：3一、数感

数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。已有研究认为数感是“直觉”、“敏感”、“能力”……

其实，如同球员的球感，歌手的乐感类似……

简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉和理解。教学数数、数的基数意义与序数意义、数序与数的大小比较……都有助于形成数感。看不到新概念背后的实在之物，就容易……一、数感数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算4（割裂历史）一、数感认知偏差：全新概念，从头摸索

……实践误区：先估再数，看谁估的准……

问题所在：数感、量感不分以特殊的量为载体有效案例：首先，数感是数出来的！（割裂历史）一、数感认知偏差：首先，数感是数出来的！5一、数感简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉与理解。有没有不依赖量的数感？请看读数的例子：30600，30060，30006三万零六百三万零六十三万零六3000006000

三十亿零六千6789由()个千，()个百，()个十和()个一组成.6789=()×1000＋()×100＋()×10＋()96789读作()千()百()十()

；87699887766其次，读数可以也应该读出数感！分数也能读出数感，如“2/3什么意思？”“2/3的意思就是三分之二”32一、数感简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉与理解。36一、数感回溯以往相关教学策略：1.在数概念教学中培养数感个十百千如:借助几何直观引入计数单位一、数感回溯以往相关教学策略：个十百千如:借助几何直观引入计7一、数感…水深60米20米水深20米海平面0米甲湖

乙湖(1)看图写数。(数概念直观化的练习)()()()(2)你知道全校做早操，操场上有多少人吗?大约1000人,

想一想,()个这样学校的学生集中在一起,约一万人.

（数概念生活化的练习）(3)读一读，填一填.（数概念形式化的练习）

如前面的填空练习

甲湖水面高度记作0米，甲湖水底高度记作()米；乙湖是堰塞湖，水底高度记作()米，水面高度记作()米。-20+20+80“多样化”旨在“各取所需”，适应不同学生！233233233一、数感…水深60米20米水深20米海平面0米甲湖82.在计算教学中发展数感如小数乘法计算法则推导：0.15×3＝？

0.15×34511一、数感小时行6公里，1小时行？

1小时行2/3小时行6km即3份中的2份是6先求1份是多少分数除法计算法则推导：数感可以算出来、估出来。小学数学历来重视数感培养，从“自发”走向了“自觉”3份是9→再求3份是多少

0.2.在计算教学中发展数感如小数乘法计算法则推导：9一、数感3.在解决实际问题中激活数感一个典型案例：72×15＝1080（米）●●1080稍大于1000；1080超过2000的一半，都是真正的数感，与量无关一、数感3.在解决实际问题中激活数感72×15＝1080（米10一、数感总而言之数感：最朴实的数学素养，就是关于数的感觉与理解。数感可以：数出来读出来算出来估出来用出来……一、数感总而言之11符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

符号：指具有某种代表意义的记号、标识；

它是意义的载体，精神的外化呈现。

数学的符号：“标识”的内容是特殊的；它的“作用”更具特殊性。二、符号意识符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数12培养符号意识的误区主要表现：生活中的符号混同数学符号；规律的表征混同符号意识；一概让学生自创符号。对于小学数学来说：

首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！二、符号意识红绿红绿红绿……121212……○△○△○△…………只是记号……培养符号意识的误区主要表现：二、符号意识红13怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？二、符号意识首先是数字符号，如：1怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？二、符号意识首先是数14怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？二、符号意识首先是数字符号，然后是运算符号，如：数学符号：被感知的直观形式与内在思想，高度和谐、统一。怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？二、符号意识首先是数15

“再也没有比平行而又等长的短线段更确切的相等符号了”——列科尔德诸如此类，举不胜举。可见：数学符号如同“象形文字”，简洁、生动、形象、传神。符号本身就具有促进理解，帮助记忆的教学功能。任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌！怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？二、符号意识关系符号，如：首先是数字符号，然后是运算符号，怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？二、符号意识关系符号16

对于小学数学来说：

首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。“优势”在于简洁吗？二、符号意识

(a+b)c=ac+bc

c

a

b

“优势”不仅在于“简洁”、还在于“准确”、“无歧义”更在于由特殊到一般……对于小学数学来说：二、符号意识(a+b)c=ac+17

对于小学数学来说：

首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。“使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性”你想一个整数，把它乘2加7，再把结果乘3减21。告诉我计算结果，我立即能判断出你想的整数是多少？

设：所想的数为x，则2x＋7二、符号意识

则（

)×3－21

＝6x＋21－21

＝6x不引进符号与字母，就没有今天的数学！如：对于小学数学来说：二、符号意识则（18原来的描述物体的形状、大小、位置关系留在脑中的表象。现在的描述空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。三、空间观念实际事物（侧重“界定”，“是什么”）：（侧重“表现”，“怎么样”）：空间观念（联想）图形变换名称性质原来的描述三、空间观念实际事物（侧重“界定”，“19三、空间观念实际事物空间观念（联想）图形变换名称性质┓高谊街通江街高谊街红霞街三、空间观念实际事物空间观念图形变换名称性质20三、空间观念实际事物空间观念（联想）图形变换名称性质长方形、一片花瓣旋转…三、空间观念实际事物空间观念图形变换名称性质21三、空间观念实际事物空间观念（联想）图形变换名称性质6个面、12条…

三、空间观念实际事物空间观念图形变换名称性质22空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。三、空间观念空间知觉（表象的基础）

↓空间观念（表象的形成）

↓空间想象（表象的改造）三种水平既递进发展，又交错共存实物指认图形指认剖面指认空间观念发展规律例如：指认圆柱高空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据23三、空间观念

小学生空间观念发展的若干特点

(1)从感知强成分到感知弱成分强弱具有相对性,特殊性如：形状；边的长短是强成分；关系；角的大小是弱成分。三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点24三、空间观念

小学生空间观念发展的若干特点

(1)从感知强成份到感知弱成份强弱具有相对性,特殊性如：形状；边的长短是强成分；关系；角的大小是弱成分。三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点25三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点(2)从认识单一要素到认识多要素及其关系1＋3＋2＋12＋2垂直、平行概念中的“要素”相交成直角的两条直线互相垂直同一平面内不相交的两条直线互相平行以双杠为例：先讨论平行：再讨论垂直：4＋4×平行同一平面垂直同一平面两个平面(异面垂直)三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点(2)从认识单一要26三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点(2)从认识单一要素到认识多要素及其关系一个包装盒，如果从里面长3.8分米，宽2分米，容积34.2立方分米。小胖想用它来装一件长3.5分米，宽1.9分米,高4.8分米的礼物,是否装得下？

3.5×1.9×4.8＝31.92关注长与长、宽与宽、高与高的关系

34.2÷3.8÷2＝4.5

很少想象盒与礼物的实际大小＜34.2＜4.83.824.53.51.94.8答：装得下。三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点(2)从认识单一要27三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点(3)从熟悉标准图形到熟悉变式图形图形的认识：标准图形→变式图形“标准”与“变式”是相对的三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点(3)从熟悉标准图28三、空间观念

小学生空间观念发展的若干特点(4)从直观辨认图形到语言描述特征例如：识别梯形→说出梯形特征梯子形状的图形→只有一组对边平行的四边形

四边形→平行（幼儿园）→(小学高年级)三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点(4)从直观辨认图29三、空间观念

小学生空间观念发展的若干特点(5)从使用日常语言到使用几何语言如“高”：生活中的高→几何图形的高身高、树高→平行四边形的高

→三角形的高

→圆柱的高→圆锥的高(平行线间的距离)(点到直线的距离)(平行平面的距离)(点到平面的距离)三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点(5)从使用日常语30三、空间观念

小学生空间观念发展的若干特点(6)从形成二维空间观念到三维空间观念三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点(6)从形成二维空31三、空间观念（1）观察：有序观察，选择对象，变换角度（2）操作：学会画图，动手操作，自我释疑（3）变式：变化形状，变化位置，变化大小（4）辨析：同中见异，异中求同，精确分化（5）结合：形象与语言结合，数与形结合怎样发展学生的空间观念？三、空间观念（1）观察：有序观察，选择对象，变换角度怎样发展32三、空间观念加强“画图”的重要意义：小学阶段，有时间铺垫，却少有作为；初中阶段，内容多，时间紧，凡作公理处理的几何命题，只能一带而过。能力强的学生，能自己在短时间内填补认知空隙；学习困难学生，认识不能一次完成，常常似懂非懂。因此，客观上加大了两极分化。怎样发展学生的空间观念？三、空间观念加强“画图”的重要意义：怎样发展学生的空间33例如，画图：过两点画直线过两点画线段过直线外一点画已知直线的平行线过直线外一点画已知直线的垂线过直线外一点画已知直线的垂线段……三、空间观念怎样发展学生的空间观念？●●●●●┐感知→两点确定一条直线→两点之间线段最短→平行公理→垂线的唯一性→垂直线段最短┐●●例如，画图：三、空间观念怎样发展学生的空间观念？●34三、空间观念加强“操作”（动作直观）的重要意义：即使高年级，当空间想象受阻时，动手操作实验依然是行之有效的教学对策。如：把一个表面涂色的大正方体木块，切割成27个同样大小的小正方体木块。三面、两面、一面涂色的小正方体木块各有多少个？表面无色的有多少个？怎样发展学生的空间观念？8；12；627－8－12－6＝1

三、空间观念加强“操作”（动作直观）的重要意义：怎样发35三、空间观念“操作”帮助空间想象的实例：一个表面涂色的长方体木块，长、宽、高都是整数厘米，把它切割成若干个棱长1厘米的小正方体木块。①如果存在恰有五个面涂色的小正方体，那么这样的小正方体最多有几个？②如果其中只有两个面涂色的小正方体恰有4个，那么大长方体的长、宽、高各是多少厘米？

怎样发展学生的空间观念？……3,2,24,4,16,3,1三、空间观念“操作”帮助空间想象的实例：怎样发展学生的36四、几何直观几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。案例1：团体操原来队伍每行10人,有5行。现在调整成每行增加3人，增加2行，现在需要增加多少人？

3×2？

(10＋3)×(5＋2)－10×5案例2：如图，“”与“”，哪个面积大?案例3：1四、几何直观几何直观主要是指利用图形描述和分析问37四、几何直观几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。希尔伯特：“在数学中,象在任何科学研究中那样,有两种倾向。一种是抽象的倾向……另一种是直观的倾向，即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的意义，也可以说领会它们生动的形象”。克莱因：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上,数学直观就是对概念、证明的直接把握。”有必要区分两种层次的几何直观：

感性认识阶段、较低层次的几何直观：“直观感知”理性认识阶段、更高层次的几何直观：“直观洞察”

四、几何直观几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个38四、几何直观案例4：两个数的和是16，这两个数的积最大是多少？周长相等的长方形，长、宽相等时面积最大。用16厘米长铁丝围成长方形在小学：“直观感知”是大量的，习以为常了；“直观洞察”是不多的，较少被关注。四、几何直观案例4：两个数的和是16，这两个数的积最大是多少39四、几何直观四、几何直观

怎样培养几何直观

1.加强空间观念的建立

2.加强数形结合的运用3.加强构造直观的训练如：示意图→线段图→韦恩图→面积图→……4.重视数学的直观理解

5.重视数学的直观洞察四、几何直观四、几何直观怎样培养几何直观40四、几何直观几何直观具有局限性：案例5：垂直与平行“直线的位置关系”“关系”：人际关系，如“师生关系”数量关系，如“8是4的2倍”平面上两直线(观察距离)相交平行重合(没有交点)(一个交点)(无数交点)(不讨论)···(观察角)画一画，两条直线有哪些位置关系“先行组织者”,具有更高包容性的概念四、几何直观几何直观具有局限性：案例5：垂直与41四、几何直观几何直观具有局限性：案例5：垂直与平行“直线的位置关系”课后，有学生争论：两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？四、几何直观几何直观具有局限性：案例5：垂直与42四、几何直观几何直观具有局限性：案例5：垂直与平行“直线的位置关系”课后，有学生争论：两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？→夹角为0平面上两直线相交平行重合(没有交点)(一个交点)(无数交点)→间距为0从量变到质变(相当于一条直线，不讨论；到学习解析几何再讨论)××还是“数形结合”更全面。四、几何直观几何直观具有局限性：案例5：垂直与43五、数据分析观念数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。案例1：小学生的研究性学习案例2：两幅条形图蕴涵的信息五、数据分析观念数据分析观念包括：案例1：小学生的研44五、数据分析观念5.2～5.15.0～4.94.8～4.74.7以下

自行设计调查问卷：

1.你平均每天看多长时间的电视？

2.你的视力怎样？研究性学习的缘起：父子争论，看电视是否影响视力？半小时以下半小时～1小时1小时以上教师需指出：“样本”问题五、数据分析观念5.2～5.15.0～4.94.8～4.7445五、数据分析观念171.7170.2168.21.关于读图看图的一般步骤：先看标题（统计主题）再看横轴（统计项目）……数据中蕴涵着信息图的直观性可能产生“误导”一格表示的数量越小条形的长短相差越大2.关于图的选择条形图与折线图可以混用五、数据分析观念171.7170.2168.21.关于读图46六、运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。合理选择算法正确运算如：3.521¸又如：56×956×63＝560－56＝504＝504×7＝3528

56

×63168336六、运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算47六、运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。合理选择算法正确运算估算过程中的合理判断

22×20=44022×1820×20=40020×18=360积比360大能坐下（积的范围）积比440小360＜＜440积接近400比积少2个18

多2个20六、运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算48六、运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。合理选择算法正确运算估算过程中的合理判断反例：125×8÷125×8＝1传统的“简便运算”适度保留，发挥它的训练功能。例如：89×1.01＝89.89六、运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算49六、运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。合理选择算法正确运算估算过程中的合理判断传统的“简便运算”适度保留，发挥它的训练功能。解：56＋31＋19＋24＝130130－31130－56(50－48)＋(50－47)六、运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算50七、推理能力推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。七、推理能力推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过51七、推理能力推理举例黑、灰、白三只兔子赛跑。黑兔说：“我不是最快的，但比白兔快。”请问，谁跑得最快?谁跑得最慢?∵黑兔不是最快，白兔不是最快∴灰兔最快（排除法）计算7＋5＝？

∵7＋3＝10∴7＋5＝7＋3＋2＝10＋2＝12直角三角形的一个锐角是30°，另一个锐角是多少？∵三角形内角和＝180°∴另一个锐角是180°－90°－30°＝60°七、推理能力推理举例52七、推理能力因为3×6＝18

所以30×600＝18000凭借经验和直觉—合情推理因为3×6＝18

所以30×6＝18个十所以30×600＝180个百凭借数的概念—演绎推理因为长方形面积＝长×宽所以长方体体积＝长×宽×高类比—合情推理＝180

＝18000根据体积单位概念与计数—演绎计算案例2：案例1：七、推理能力因为3×6＝18凭借经验和直觉—合情推53八、模型思想模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。

单价×数量＝总价本金×利率＝利息y:x＝k(一定)；xy＝k(一定)八、模型思想模型思想的建立是学生体会和理解数学与54八、模型思想小胖每分走40米，小巧每分走60米，他们从相距1500

米两地同时出发相向而行，几分钟相遇？师徒共做1540个零件。徒弟做了16天,平均每天做40

个；师傅做了15天,平均每天做几个？买15个足球、16个篮球，足球每只60元，篮球每只40

元，一共应付多少元?如图,求两种蔬菜的面积(单位:米)。a×b＋c×d＝s1500÷(40＋60)(1540－40×16)÷1560×15＋40×16＝1540青菜韭菜6040161540x＋60x＝150040×16＋15x＝1540设x分相遇，设每天x个，八、模型思想小胖每分走40米，小巧每分走60米，他们从相距155八、模型思想小胖每分走40米，小巧每分走60米，他们从相距1500

米两地同时出发相向而行，几分钟相遇？师徒共做1540个零件。徒弟做了16天,平均每天做40

个；师傅做了15天,平均每天做几个？买15个篮球、16个足球，篮球每只40元，足球每只60

元，一共应付多少元?如图,求两种蔬菜的面积(单位:米)。a×b＋c×d＝s1500÷(40＋60)(1540－40×16)÷1560×15＋40×16＝1540青菜韭菜6040161540x＋60x＝150040×16＋15x＝1540设x分相遇，设每天x个，八、模型思想小胖每分走40米，小巧每分走60米，他们从相距156八、模型思想小胖每分走40米，小巧每分走60米，他们从相距1500

米的两地同时出发，相向而行，几分钟后相遇？

ab＋cd＝s40x＋60x＝15001500－40x＝60x1500－60x＝40x(60＋40)x＝15001500÷x＝60＋401500÷x－40＝601500÷x－60＝401500＝40x＋60x60x＝1500－40x40x＝1500－60x这样的一题多解有意义吗？你认为怎样列方程便于思考。水池同时打开进水管、出水管……几小时后水池满？动态平衡的数学模型