哈尔滨某大学结构力学I一八

1.弹性杆件的变形与变形能计算2.变形体虚功原理3.单位荷载法4.图乘法5.其他外因引起的位移计算6.互等定理7.结论与讨论第三章静定结构的位移计算DisplacementofStaticallyDeterminateStructures1结构位移计算概述

一、结构的位移(DisplacementofStructures)AFP线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移线位移角位移相对线位移CDFP相对角位移制造误差

等铁路工程技术规范规定:

二、计算位移的目的引起结构位移的原因(1)刚度要求如：荷载、温度改变

T、支座移动c、在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度<1/700和1/900跨度高层建筑的最大位移<1/1000高度。最大层间位移<1/800层高。（3）理想联结(IdealConstraint)。三、本章位移计算的假定

(2)超静定、动力和稳定计算(3）施工要求叠加原理适用（principleofsuperposition)(1)线弹性(LinearElastic),(2)小变形(SmallDeformation),返首2变形体虚功原理

(PrincipleofVirtualWork)一、功(Work)、实功(RealWork)和虚功(VirtualWork)两种状态力状态位移状态FPFP/2FP/2（虚）力状态（虚力状态）（虚位移状态）无关（虚）位移状态q注意：（3）位移状态与力状态完全无关；（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件。（1）属同一体系；一些基本概念：实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功功：力×力方向位移之总和广义力：功的表达式中，与广义位移对应的项功：广义力×广义位移之总和虚功：广义力与广义位移无关时所作的功W=FP×Δ/2W=FP1×Δ11/2orW=FP2×Δ22/2W=FP1×Δ12orW=FP2×Δ21变力功（1）质点系的虚位移原理具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：二、变形杆件的虚功原理Σfiδri=0→→.对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即（2）刚件体系铜的虚避功原眯理去掉垂约束瞎而代阻以相命应的箱反力阅，该恋反力伏便可干看成窃外力怕。则抢有：罚刚体五系处保于平庄衡的扇必要努和充流分条感件是臣：对于有任何可能的虚借位移极，作粒用于贷刚体雨系的悬所有声外力(主动位力)所做躲虚功横之和复为零系。FPΔPΔB-FPΔP+FBΔB=0原理杜的表昂述：任何拍一个漆处于漆平衡鲜状态弦的变绝形体炮，当发生鬼任意灵一个播虚位婚移时悠，变跳形体熟所受理外力在虚柔位移狗时所仇作的短总虚垃功δWe，恒等钞于变形体最所接茂受的诉总虚羽变形凯功δWi。也即迟恒有如下哄虚功甚方程帮成立δWe=δWi（3）变脸形体属的虚藏功原凝理变形置体虚宰功原真理的伐证明外力怀总虚援功=各部格分外壮力总晒虚功股的总遮和变形堵体虚煤功原裕理的睡证明虚位情移是停光滑辨、连碑续的卷，相录邻分协割面咳虚位移期相同吸。计算这各部虾分外银力总兔虚功凉有两贿种方盐案方案蓄一：迫外力龙区分残，虚拦位移副不区趴分各部骆分外爬力总捷虚功头总和=外荷粱载总兄虚功δW=δWe分割忆面内唉力虚湾功相棚互抵剩消各部贿分上待的外之力区哥分为艘：外琴荷载害和分详割面内直力两找类，央相邻许分割奇面内妨力互法为作助用与反作晓用关馒系。浆虚位炎移区卫分虚士位移缩慧区分变形介体虚胳功原芬理的芝证明变形战体是捡平衡详的，遮其各盖部分烫也必宋然平民衡。因此若，各锅部分劈燕上的遭外力链是平海衡力会系。方案正二：拥各部震分外葛力不码区分柄，虚量位移机区分δW=δWi根据抖刚体学虚位顾移原啦理，剪外力床在刚解体虚旱位移上的孩总虚孔功等脸于零疮。因等此各部吃分外蹲力总监虚功=外力抗在变全形虚偏位移寇上的胜总虚筛功两方谎案计喘算同院一内采容，繁因此δWe=δWi各部捎分的挂虚位译移区屑分为封：刚串体虚重位移棍和变形虚裁位移碎两类高。但必须后注意，虚交位移残是光皂滑连续茎的，诸可刚舍体和勤变形骨虚位糠移在跃分割汇面处亭一般是蹲不光笛滑、蔑连续苍的。需要愚强调宾的几放个问逆题原理跌的证希明表兽明，泪原理为适用忍于任何集力学宁行为(线性赞和非因线性)的变舞形体，适闲用于任何摔结构。虚功凭原理拦里存要在两晶个状赶态：力状淘态必伸须满表足平凤衡条形件；进位移添状态绘必须吨满足盗协调弄条件衫。因妇此原罚理仅默是必要亲性命办题。由于皮外力意在变固形虚悔位移橡上所谅作的愤功相具对分壮割面萍内力崭的虚绍变形枯功为慨高阶急小量庆，因司此许饼多文策献上称δWi为内峰力总惰虚功。原理侮可有忆两种摩应用置：实际把待分烂析的倒平衡名力状笨态，匆虚设免的协桶调位港移状圣态，熄将平衡劝问题卸化为摊几何延问题狸来求响解。需要非强调貌的几彻个问牢题实际肆待分事析的柔协调松位移贝状态腿，虚塘设的查平衡搂力状笼态，攻将位移亚分析猴化为蚂平衡捆问题供来求氧解。第一同种应扫用一诵些文歌献称猛为“虚牌位移政原理酷”，而份将第段二种姐应用们称为“虚级力原糠理”。更确理切的虎说法躲为，两种孙应用则的依歉据是席上述筒两原皇理的凤必要拘性命呆题。上轨述两厕原理言都是唉充分份、必宽要性乡丰命题痒，它们芬和虚垦功原骡理是粱有区馒别的。质点系是一个离散化体系，变形体是一个连续体。我们认为，所谓将质点系虚位移原理()“应用于变形体”是不妥当的。Σfiδri=0→→.当变寸形体勇为杆蜂件体返系时贼，如象：ABCDq(s)ijp(s)m(s)取任一单元δWe的计货算:当无更结点么荷载鸣时,δWe=Σ∫蔬[pδ皮u+敏qδ岸v+源mδ演θ]ds当有祖结点连荷载评时δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i结点荷载结点位移δWi的计扫算:微段拉伸微段剪切微段弯曲δWi=Σ∫康[FNδε哪+FQδγ叉+Mxδφ+Mδ遇θ]ds取微喊段,其受茅力如蚕下对于倘直杆广体系敲，由绍于变稍形互培不耦赵连，故所以变形讽可看旗成有餐如下济几部合分微段受力微段扭转杆系袄结构碎虚功妥方程根据倡上述惭推证战，可榨得杆暮系结值构虚豪功方束程如惰下δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i=Σ∫夺[FNδε盯+FQδγ绪+Mxδφ+Mδ会θ]ds=δWi以上脖结论体与材饮料物次理性歉质及望具体酸结构喷无关含，因纺此，焦虚功餐原理惧虚功炎方程扁既适皇用于沿一切看线性纷结构箭，也巾适用观于一况切非扣线性殃结构。希望雹能很茎好理霸解，夸尽可蚊能达怕到掌孤握！三、若虚功恨原理言的两肉种应愿用1）虚哲功原宽理用践于虚设胆的协调心位移访状态与实际唱的平衡太力状熟态之间察。例.求A端的漠支座锡反力(R险ea眠ct厨io型n咱at完S笨up很po德rt递)。FPABaC(a)b解：谜去掉A端约吓束并晶代以更反力X，构造刊相应苦的虚婶位移誉状态能如图(b虑)、(c烂)待分析平衡的力状态X(b)FP由外跪力虚杜功总颈和为即零，先即：(c)直线虚设协调的位移状态通常无取单位位移法(Unit-DisplacementMethod)(1剥)对静丧定结汉构，刷这里暖实际斥用的瞎是刚械体虚棒位移槐原理妥，实嚷质上碗是实际向受力植状态租的平赤衡方带程，即几点平说明诸：(3浩)求解嫂时关克键一农步是屡找出缝虚位轰移状星态的史位移牵关系搭。(2言)虚位冒移与魂实际喇力状访态无扇关,故可必设特点:用几呀何法笔来解丙静力否平衡料问题。例.求A端支拖座发帽生竖跟向位址移c时引尤起C点的穗竖向书位移

.(a)ABaCbc2）虚雁功原博理用挠于虚设代的平衡讯力状新态与实际两的协调稼位移迫状态之间肉。解：英首先蹈构造响出相雀应的无虚设吼力状旬态。填即，帽在拟捎求位迎移之误点（C点）旨沿拟器求位痰移方卫向（茅竖向暗）设秀置单位慈荷载。1ABC(b)由求得：虚功危方程舰为：这便晃是单位脆荷载火法(D榆um沿my袜-U霉ni特t种Lo册ad闻M票et毁ho奋d)它是Ma削xw作el福l,勾1随86揭4和Mo电hr各,身18绑74提出祖，故薪也称窗为Ma扇xw串el蛛l-脊Mo羞hr沉M豪et衔ho粱d几点窄说明瓣：(1离)所建燃立的虚功案方程,实质决上是几何第方程。(3溪)求解笔时关脱键一疼步是炎找出办虚力秘状态陪的静幸力平早衡关荣系。(2承)虚设丧的力赌状态牲与实贝际位拖移状抹态无染关，铅故可画设单离位广泪义力P=1总的数来讲麦，必乱须非致常清腔楚的孕是：单位位移法的虚功方程平衡方程特点:是用侍静力孟平衡丹法来招解几舅何问秃题。单位荷载法的虚功方程几何方程返回增首页3单位此荷载韵法一、膏位移居计算愧的一叔般公浅式(G验en撇er砍al棒F疮or触mu颂la激o钞f莲Di梳sp圾la感ce更me苦nt戚s)将虚兔功原墙理用删于实际伙协调咽位移和虚设存平衡侮力状龙态间已介读绍过——单位臂荷载面法。下面悦从虚游功方薪程入床手，与讨论塔杆系打结构剂位移捉计算驳的一液般公祝式。扎杆系腿结构山虚功艘方程嫩为δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i=Σ∫付[FNδε抢+FQδγ条+Mxδφ+Mδ许θ]ds=δWi设待腾求的匙实际执广义位移起为Δ设仅济在广席义力P作用风下，稼与之天平衡乌的轴结力、咬剪力取、扭值矩和桌弯矩有分别截为FN、FQ、Mx和M。实际位移状态FPABC虚设的力状态PABCFN、FQ、Mx和M，与Δ对应务的广义雨力为P。又设更与内赢力FN、FQ、Mx和M对应闲的微驴段实顾际变撑形分螺别为δε、δγ、δφ和δθ。若结信构有诞已知趟支座酬位移范为ci实际位移状态FPABC虚设的力状态PABCFN、

FQ、Mx和Mδε、δγ、δφ和δθFRc，与其根对应且的由缠广义重力P引起敢的支扛座反等力为FRi则杆角系结友构虚拉功方敏程为δWe=ΣFRici+P乖Δ=Σ∫纸[FNδε闸+FQδγ榜+Mxδφ+Mδ悟θ]ds=δWi虚功方程等式两边同除广义力P，并记单位广义力(P/P=1)作用下，与之平衡的轴力、剪力、扭矩和弯矩分别为FN、

FQ、Mx和M。单位广义力引起的，与已知位移对应的反力为FRi。则杆收系结液构虚论功方晌程改朝写为Δ=-ΣFRici+Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds位移芒计算郊的一乘般公荷式一般博公式盏的普酸遍性迫表现丑在：2.结构稠类型先：梁贷、刚朱架、盖桁架却、拱畜、组妻合结构；炉静定痛和超粮静定音结构构；1.位移柔原因斧：荷娇载、饱温度悟改变灭、支骄座移测动等改；3.材料抄性质吨：线僵性、暴非线皱性；4.变形僻类型错：弯叨曲变激形、赌拉(压)变形养、剪研切变形寇；5.位移付种类词：线婚位移渐、角行位移拼；相转对线崇位移和相贡对角饭位移落。BA(b)试确挽定指塞定广盖义位洪移对队应的访单位孝广义巨力。A(a)P=1P=1P=1ABCd(c)ABC(d)试确碗定指嚼定广围义位走移对播应的曲单位味广义泄力。AB(e)P=1P=1C(f)左右=？P=1P=1试确翠定指申定广报义位番移对忠应的渴单位粗广义违力。P=1(g)A(h)ABP=1P=1试确忽定指代定广筹义位卫移对痕应的舱单位扶广义涨力。二、娇荷拒载作垂用下娘位移怕计算遥的一霜般公脱式在仅盒荷载仅作用浸时的音位移焰计算秀一般夕公式对于非由线弹浸性直杆组成汽的结吐构，唯有：扭转项式中驱：E弹性模量；G

剪切模量；A

横截面积；I

截面惯性矩；k

截面形状系数。如：对矩形截面k=6/5;圆形截面k=10/9。IP

截面极惯性矩；轴向剪切弯曲扭转例1：求刚架A点的竖向位移。解：宅构造探虚设台状态（实际赵状态钳）分别桑列出略实际用状态深和虚膝拟状巾态中怜各杆絮的内笛力方尚程（澡或画蹲出内肺力图胞），忙如：（虚拟遭状态看）qxxqlqlx荷载驱内力纠图xxlx11单位眉内力氏图内力食的正蜂负号惊规定牺如下虎：轴力以拉力为正；剪力使微段顺时针转动者为正；弯矩只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正。将内亚力方俯程代港入公锻式讨论泛：轴向剪切弯曲，有佩：引入通符号问题：的取值范围是什么？设杆丸件截面为bh的矩朋形截隔面杆处，有眯：因此,对受仔弯细孩长杆具件,通常少略去FN,FQ的影蝇响。取：，，有：即：三、连几点震讨论偏（只帆有荷妥载作盐用）鼓：一般闭来说筹，剪湾切变诊形影浴响很滩小，舍通常娱忽略伟不计抹。1.对梁宣和刚身架：2.对桁象架：3.对组柱合结伟构：例2：求曲梁B点的竖向位移和水平位移。(EI、EA、GA已知)ROBAFP解：忆构造劳虚设坡的力笋状态搭如图辛示FP=1RθFP

=1RθFPRθ同理分有：将内咽力方筝程代穷入位迈移计旱算公岸式,可得三铰欢拱的滤分析同此尾类似饥，但价一般要考宴虑轴愈力对袖位移迅的贡浓献，也雷即例3：求对称桁架D点的竖向位移。图中右半部各括号内数值为杆件的截面积A，设E=210GPa。FN解：缓构邻造虚望拟状扰态并陪求出算实际柏和虚励拟状俘态中纺各杆束的内工力代入窑公式疏得：返章菜单FN已有袄基础参：1.静定石结构机的内覆力计被算；2.利用幅位移坏计算谣公式共求静今定结斩构的寨位移腊；3.杆件钉结构栏在荷堆载作早用下拉的位辜移计循算公和式,即:4.图乘舌法及撞其应妖用(G早ra港ph显ic穴M悲ul抓ti砖pl射ic荡at谜io恢n戒Me箩th朋od等a挪nd费i喷ts算A备pp钉li妨ca旺ti争on相s)这部斧分主招要内坐容：2.几种碌常见竟图形奶的面电积和灿形心凶位置张的确慨定方则法；3.注意昆事项孕；4.应用经举例重。1.图乘法；C一、诞图乘丈法必须烦注意适用愁条件图乘羽法是Ve岛re孙sh顷ag央in于19厚25年提迷出的弱，他族当时肤为莫叛斯科善铁路躺运输辜学院纺的学不生。二、舟几种爹常见滥图形浅的面余积和嚷形心很位置蔑的确奴定方筝法顶点指曲同线切刻线与猛杆轴消重合津或平态行Ch三、倦注意舌事项晃：1.图乘骆法的腿应用丝式条件钟：（1）等肠截面节直杆祥，EI为常淹数；（2）两浴个M图中鸡应有招一个坏是直年线；（3）应取自直线图中。2.若与在杆件的同侧，取正值；反之，取负值。3.如图仪形较撞复杂平，可筹分解程为简枯单图步形.(1效)曲-折组装合例如(2胆)梯-梯同事侧组强合(3棚)梯-梯异逐侧组弦合ABCDabcd图图b写c取负挠值(4亭)阶梯洒形截对面杆I1I2I3四、它应用致举例例1.设EI为常数，求和。解：榆作荷骂载内扇力图苦和单君位荷牵载内微力图BAq图CABFP=1图对吗？应分敢段！CAB图1（

）BAq图例2.已知EI为常数，求刚架C、D两点距离的改变。解：鹅作荷锈载内轮力图肚和单锯位荷性载内徒力图2p117例3.已知EI为常数，求刚架A点的竖向位移，并绘出刚架的变形曲线。FP解：叠作荷询载内蛛力图臂和单猎位荷顾载内忠力图在图求面积，在图取竖标，有：图EI2EI图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4绘制际变形疯图时亿，应领根据阀弯矩乱图判氧断杆笔件的匹凹凸既方向听，注挎意反缓弯点央的利居用。解如：图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP例4.已知：E、I、A为常数，求。ABCFPaD解：虎作荷界载内牛力图注和单测位荷表载内泽力图请对荣计算槐结果进行茎适当叹讨论鼻！ABCFPaDABC1aD讨论:如果B支座参处为枪刚度k的弹即簧，纱该如萄何计夹算？ABCkFP=1ABCFPk显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为。因此，弹簧对位移的贡献为。由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为例5.已知EI为常数，求。ABCq解：烂作荷峡载内盆力图葡和单坐位荷刺载内孟力图ABC图A1图一种甘算法鼠：ABC结果扣正确汗否？?解法腥一、AqAABC图qABC解法废二、A1图A解法逼三ABC图A1图例6.已知CD、BD杆的和AC杆的为常数，求。FPABCDaaa+11aFP+FPFPa解：冶作荷油载和熟单位妄荷载阅的内照力图例7.已知EI为常数，求。解：皆作荷反载和郑单位漫荷载未的内惨力图温度MPM分解返回5境.静定扒结构悠温度鄙变化闲时的祸位移位计算(A鹊na亿ly汁si斯s楚of孙D耕is尊pl夫ac酿em钥en害ts税i弯n河a级St钞at少ic挠al呈ly翁D境et固er酱mi键na逗te锣S喘tr此uc斧tu出re泽s政In偏du戒ce唯d揪by食Te腿mp扔er却at奋ur级e淡Ch阀an冷ge派s)本节目的：给出的具体计算方法。一般公式荷载位移公式温度位移公式图示结构，设外侧温度升高，内侧温度升高，求K点的竖向位移。设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴温度与上、下边缘的温差为：另外夕，温饺度变画化时敌，杆涝件不运引起晴剪应医变，仁微段渡轴向沈伸长抖和截盈面转朗角为修：线膨胀系数FP=1FNFN

图面积对等截面直杆

图面积将温千度引疏起的不变形天代入脚公式披，可净得上式们中的制正、撇负号添：若温场度以弦升高宿为正虹，则伤轴力江以拉企为正钩；若和使杆件的同一边产生拉伸变形，其乘积为正。对梁有和刚棚架：对貌桁充架淋：几种幸情况柄：温度剃引起筒的轴菠向变形兽影响陡不能宜少。问题：当桁架有制造误差时,如何求位移？例：刚架施工时温度为20，试求冬季外侧温度为-10，内侧温度为0时A点的竖向位移。已知l=4m,,各杆均为矩形截面杆，高度h=0.4m实际状态解：就构造搭虚拟切状态虚拟状态单位崇荷载妄内力桂图为士：图图6.静定艰结构附支座商移动饲时的庙位移护计算(A葵na溜ly醉si汪s腔of对D背is劈燕pl硬ac骄em颂en独ts积i惨n应a佛St役at建ic殖al农ly延D焦et孟er缴mi赞na库te腰S钟tr麦uc盐tu压re掉s么In傅du兼ce炒d椅by议S赶up礼po仪rt候M派ov知em斜en耽t)K实际阅位移茎状态虚拟累力状堤态1K静定蛮结构蛛由于覆支座堆移动潮并不执产生骂内力押，材寻料（巩杆件鞭）也怖不产凡生变械形，环只发要生刚议体位巾移。须（该穴位移傻也可环由几边何关鼻系求害得）短。有例1：求CBAFP=1虚拟力状态解：糠构造险虚设涛力状坛态实际位移状态CBAll解：着构造跨虚设武力状液态()FAyFAx例2：已知l=12m,h=8m,,求例3：求实际位移状态CBAllFP=1解：坚构造仆虚设酬力状持态CBA虚拟力状态FP=1同时垃考虑因荷载属、温罪度和星制作离位移汁的影崭响等于0温度支座问题纹：试给李出多饿因素轰下的馆位移匙计算殖一般斑公式返章菜单7.线弹郊性结琴构的共互等增定理（Re兰ci姥pr附oc鸭al窗T工he瓣or常y铅in肝L纽奉in淡ea誉r毙St飞ru便ct掌ur子es虎)一、掩线性醒杆系屈结构输的变芒形能根据缎能量戏守恒魂，对臂线弹勇性、去小变因形结市构，衡外力题所做骄的功惜恒等席于储干存于蚊体内杯的应氧变能随。由第昨一节张所复秘习的侦材料龄力学宝知识棋可知或者Vε的性牢质：(1摄)总为脾正;(3电)内力违或位旦移的贡二次反式;(4箱)叠加纳原理痕不适方用;(2右)与路纠径无赶关,是状磁态的初函数宅。二、键线弹蹈性结颂构的最互等牵定理1.功的剑互等漫定理:方法轮一第I状态先加广义力P1，后加广义力P2。2由在线柄性变局形体坊系中具，I状态犬的外管力在II状态颠位移刮上所诵做虚蛇功，占恒等风于II状态支外力唐在I状态祖位移床上所壮做虚贱功。功的服互等俯定理第Ⅱ状态先加广义力P2，后加广义力P1。方法誓二由虚串功原羡理2