《线性代数§》课件

6.2化二次型为标准形只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如都为二次型；为二次型的标准形.6.2化二次型为标准形只含有平方项的二次型称为二次型的标对于二次型,我们讨论的基本问题是:寻求可逆的线性变换x＝Cy,将二次型化为标准形.或：对于实对称矩阵A，寻求可逆阵C，使得为对角阵.设对于二次型,我们讨论的基本问题是:寻求可逆的线性变换说明如何找矩阵C？说明如何找矩阵C？一、正交变换法已知结论：对任意实对称矩阵A，一定存在正交矩阵Q，使得其中为矩阵A的n个特征值.因为Q为正交阵，所以于是由此得到：一、正交变换法已知结论：对任意实对称矩阵A，一定存在正交矩阵《线性代数§》PPT课件用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤例1:

将二次型通过正交变换x=Py化成标准形.f=17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3解:1.写出对应的二次型矩阵.2.求A的特征值.=

(

–18)2(

–9)从而得A的特征值:

1=9,

2=

3=18.例1:将二次型通过正交变换x=Py化成标准形.f=173.求特征向量.将

1=9代入(A–

E)x=0得基础解系:

1=(1,2,2)T.将

2=

3=18代入(A–

E)x=0得基础解系:

2=(–2,1,0)T,

3=(–2,0,1)T.将特征向量正交化:得正交向量组取

1=

1,

2=

2,

1=(1/2,1,1)T,

2=(–2,1,0)T,

2=(–2/5,–4/5,1)T.3.求特征向量.将1=9代入(A–E)x=0得基础解系将正交向量组单位化,令得4.作正交变换令于是所求正交变换为:且有f=9y12+18y22+18y32.将正交向量组单位化,令得4.作正交变换令于是所求正交变换（1）几何意义：在自然基坐标系下的

二次曲面说明：17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3=1在另一直角坐标系下的方程为9y12+18y22+18y32=

1

.它表示一个椭球面，其主轴与新坐标系的坐标轴重合，主轴长度分别为为A的特征值，而变换的矩阵正是由基到基

的过渡矩阵。（1）几何意义：在自然基（2）一般，的符号决定二次曲面的类型三正：椭球面；两正一负：单页双曲面；一正两负：双页双曲面；二正一0：椭圆柱面一正一负一0：双曲柱面（3）二次型的标准形不是唯一的.(4)正交变换的优点：保持几何形状不变,保持度量.

(5)利用正交变换法时，一定有为A的特征值。一般地；不一定是A的特征值，C中的列向量也不一定是A的特征向量.（2）一般，的符号决定二次曲面的类型三正：椭球面；两正一负：f=2x1x2+2x1x3–2x1x4–2x2x3+2x2x4+2x3x4例2:

求一个正交变换x=Py,把二次型化为标准形.解:

二次型的矩阵为A的特征多项式为计算特征多项式:把二,三,四列都加到第一列上,有f=2x1x2+2x1x3–2x1x4–2x2x3+2x把二,三,四行分别减去第一行,有从而得A的特征值:

1=–3,

2=

3=

4=1.当

1=–3时,解方程组(A+3E)x=0,得基础解系:把二,三,四行分别减去第一行,有从而得A的特征值:单位化即得

当

2=

3=

4=1时,解方程组(A–E)x=0,可得正交的基础解系:单位化即得:于是正交变换为:单位化即得当2=3=4=1时,解方程且有f=–3y12+y22+y32+y42.且有f=–3y12+y22+y32+y42解：二次型的矩阵为:求得特征多项式为:|

A–

E|

=–

(4–

)(9–

).于是A的特征值为:

1=

9,

2=

4,

3=

0.对应特征向量为:例3:化为标准形,并指出f(x,y,z)=36表示何种二次曲面.求一正交变换,将二次型f(x,y,z)=5x2+5y2+3z2–2xy+6xz–6yz解：二次型的矩阵为:求得特征多项式为:|A–E|=正交变换为:化二次型为f=9u2+4v2.可知f(x,y,z)=36为椭圆柱面方程.将其单位化得正交变换为:化二次型为f=9u2+4v2.可知f在o-xyz坐标系中的图形在o-uvw坐标系中的图形在o-xyz坐标系中的图形在o-uvw坐标系中的图形例4已知二次型

经过正交变换化为标准形

求的值和正交矩阵.解：二次型和标准形的矩阵分别为：由题设条件又故与相似，从而A有特征值所以有又例4已知二次型解：二次型和标准形的矩阵分别为：由题设条件故由解方程组得特征向量：由解方程组得特征向量：由解方程组得特征向量：单位化得：正交矩阵为：故由

1.实二次型的化简问题,在理论和实际中经常遇到,通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系,将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵,而这是已经解决了的问题,请注意这种研究问题的思想方法.

2.实二次型的化简,并不局限于使用正交矩阵,根据二次型本身的特点,可以找到某种运算更快的可逆变换.下一节,我们将介绍另一种方法——拉格朗日配方法.1.实二次型的化简问题,在理论和实际中经常遇到,通二、拉格朗日配方法用正交变换化二次型为标准形,其特点是保持几何形状不变.

问题:

有没有其它方法,也可以把二次型化为标准形?问题的回答是肯定的.下面首先介绍——拉格朗日配方法.二、拉格朗日配方法用正交变换化二次型为标准形,其特点是

1.若二次型含有xi的平方项,则先把含有xi的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止,经过非退化线性变换,就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤

2.若二次型中不含有平方项,但是aij0(i

j),则先作可逆线性变换:

化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方法配方.(k

i,

j).1.若二次型含有xi的平方项,则先把含有xi的乘积例5:

化二次型为标准形,并求所用的线性变换矩阵.

f=x12+2x22+5x32+2

x1x2+2

x1x3+6x2x3f=x12+2x22+5x32+2

x1x2+2

x1x3+6x2x3解:用含有x1的项配方含有平方项=x12+2

x1x2+2

x1x3+2x22+5x32+6x2x3=(x1+x2+x3)2–x22–x32–2x2x3+2x22+5x32+6x2x3=(x1+x2+x3)2+x22+4x32+4x2x3=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2例5:化二次型为标准形,并求所用的线性变换矩阵.f=令所用变换矩阵为f=x12+2x22+5x32+2

x1x2+2

x1x3+6x2x3

=y12+y22令所用变换矩阵为f=x12+2x22+5x32+2x解:

由于所给二次型中无平方项,f=2

x1x2+2

x1x3–6x2x3例6:

化二次型为标准形,并求所用的线性变换矩阵.所以令即代入二次型f=2

x1x2+2

x1x3–6x2x3,得f=2y12–2y22–4

y1y3+8y2y3再配方,得f=2(y1-y3)2–2(y2–2y3)2+6

y32.令解:由于所给二次型中无平方项,f=2x1x2+2x即f=2z12–2z22+6

z32.得所用变换矩阵为|

C

|

=–2

0.用配方法时要注意所用的变换是否为可逆变换.按上述标准程序配方时一定是可逆变换.即f=2z12–2z22+6z32.得所用变换矩阵为|三、初等变换法定理：对任一个n阶实对称矩阵A，都存在可逆阵C，使得即：任一n阶实对称矩阵A，都可以通过一系列同类型的初等行、列变换化为对角阵.三、初等变换法定理：对任一个n阶实对称矩阵A，都存在可逆阵C1、同类型的初等行列变换：当C可逆时，一定存在一列初等矩阵，使得于是：且注意到所以表示对A进行同类型的初等行，列变换.1、同类型的初等行列变换：当C可逆时，一定存在一列2、可将对称矩阵A化为对角阵－－用数学归纳法证明证明：对A的阶数n用数学归纳法当n＝1时，显然成立。假设结论对n－1阶对称矩阵成立，那么对于2、可将对称矩阵A化为对角阵－－用数学归纳法证明证明：对A的（1）若先做可将第二行的变为0再做可将第二列的变为0继续做下去，可将第一行和第一列的其余元素变为0，得到的矩阵：其中为n－1阶对称矩阵。（1）若先做可将第二行的变为0再做可将第二列的变为0继续做下（2）若则先将第一行和第i行交换，再将第一列和第i行交换，则为第一行第一列的元素，从而化为情形（1）.（3）若主对角元均为0，则先做为第一行第一列的元素，也可化为情形（1）.再做则由归纳假设可知结论成立.（2）若则先将第一行和第i行交换，再将第一列和第i行由可知方法如下:同类型的初等行，列变换或：同类型的初等行，列变换一般采用第二种方法.由可知方法如下:同类型的初等行，列变换或：同类型的初等行，列例7：将二次型化成标准形，并求变换矩阵C.解：二次型f的矩阵为方法一：例7：将二次型化成标准形，并求变换矩阵C.解：二次型f的故且为坐标变换，于是故且为坐标变换，于是方法二：方法二：于是做坐标变换其中则将二次型化为标准形于是做坐标变换其中则将二次型化为标准形又故又故38例8：已知二次型的秩为2，（1）求参数c及二次型所对应的矩阵的特征值；（2）判定f＝1表示什么曲面？解：二次型所对应的矩阵为由题设知所以|A|=0即例8：已知二次型的秩为2，（1）求参数c及二次型所对应的矩阵所以c＝3.A的特征方程为所以c＝3.A的特征方程为故A的特征值为二次型可通过正交变换化为所以f＝1表示椭圆柱面.故A的特征值为二次型可通过正交变换化为所以f＝1表示例9：已知实二次型求在单位球面上的最值.解：二次型的矩阵为故A的特征值为：例9：已知实二次型求在单位球面上的最值.解：二次型的矩阵为故于是可通过正交变换可将二次型化为标准形：注意到正交变换不改变向量的长度，所以于是二次型在单位球面上的最值就是二次型在单位球面上的最值.因为即所求最大值为4，最小值为1.于是可通过正交变换可将二次型化为标准形：注意到正交变换不改变将一个二次型化为标准形,可以用正交变换法,也可以用配方法,或者初等变换法,这取决于问题的要求.如果要求找出一个正交矩阵,或条件与度量有关，应使用正交变换法;如果只需要找出一个可逆的线性变换,那么各种方法都可以使用.正交变换