上海2023年高二数学 同步复习 直线、圆的位置关系

高二数学同步复习直线、圆的位置关系

【学习目标】

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想.

【要点梳理】

要点一、直线与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系：

(1)直线与圆相交，有两个公共点；

(2)直线与圆相切，只有一个公共点；

(3)直线与圆相离，没有公共点.

2.直线与圆的位置关系的判定：

(1)代数法：

判断直线/与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线/与圆C有公共点.

有两组实数解时，直线/与圆c相交；

有一组实数解时，直线/与圆c相切；

无实数解时，直线/与圆C相离.

(2)几何法：

由圆C的圆心到直线I的距离d与圆的半径r的关系判断：

当d<r时，直线/与圆C相交；

当4=「时，直线/与圆C相切；

当d>r时，直线/与圆C相离.

要点诠释：

(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解

题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.

(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理

解得，有时还用到垂径定理.

(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.

要点二、圆的切线方程的求法

1.点M在圆上，如图.

法一：利用切线的斜率k,与圆心和该点连线的斜率k0M/1

的乘积等于一1，即kOM/=-1.・])

法二：圆心。到直线/的距离等于半径r.

2.点(为,%)在圆外，则设切线方程：y-y0=k(x-x0),变成一般式：kx-y+y0-kx0=0,因为与圆相

切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k.

要点诠释：

因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率

不存在，务必要把这条切线补上.

常见圆的切线方程：

(1)过圆X?+V=/上一点产(面,为)的切线方程是/X+=r2；

(2)过圆(x-q)-='上一点的切线方程是R—aXx—O+Uo-bXy—))：户.

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要点三、求直线被圆截得的弦长的方法

Z/A2

1.应用圆中直角三角形：半径r,圆心到直线的距离d,弦长/具有的关系产=/+1,这也是求弦长最

常用的方法.

2.利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长.

3.利用弦长公式：设直线/：丁=履+。，与圆的两交点(西,凹),(马,%)，将直线方程代入圆的方程，消元后

2

利用根与系数关系得弦长：1=yll+k|%,-x2|=’(1+/)[(%+,)2-4.马一-

要点四、圆与圆的位置关系

1.圆与圆的位置关系：

(1)圆与圆相交，有两个公共点；

(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点;

(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.

2.圆与圆的位置关系的判定：

(1)代数法：

判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解时，两圆相交；

有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离.

(2)几何法：

设。的半径为仪的半径为弓，两圆的圆心距为

当h-引＜。＜斗+〃时，两圆相交;

当彳+G=d时，两圆外切；

当彳+弓＜d时，两圆外离；

当作一日=d时，两圆内切；

当h—引〉。时，两圆内含.

要点诠释：

判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算

量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系

不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.

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3.两圆公共弦长的求法有两种：

方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长.

方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长.

4.两圆公切线的条数

与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种.

(1)两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；

(2)两圆外切时、有2条外公切线和1条内公切线，共3条；

(3)两圆相交时，只有2条外公切线；

(4)两圆内切时，只有1条外公切线；

(5)两圆内含时，无公切线.

【典型例题】

类型一：直线与圆的位置关系

例1.已知直线y=2x+l和圆x2+yM,试判断直线和圆的位置关系.

例2.已知直线方程mx—y—m—1=0,圆的方程x2+y2—4x—2y+l=0.当m为何值时，圆与直线

(1)有两个公共点；

(2)只有一个公共点；

(3)没有公共点.

举一反三：

【变式1】求实数m的范围，使直线x—如+3=0与圆f+y2—6x+5=0分别满足:

(1)相交;(2)相切;(3)相离.

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类型二：切线问题

例3.过点P(7,l)作圆f+；/=25的切线,求切线的方程.

举一反三：

【变式1】(1)求圆x2+y2=10的切线方程，使得它经过点用(2,卡)；

(2)求圆x2+y2=4的切线方程，使得它经过点Q(3,0).

类型三：弦长问题

例4.直线/经过点P(5,5)并且与圆C：x?+y2=25相交截得的弦长为46，求/的方程.

举一反三：

【变式1】求经过点P(6,-4),且被定圆x2+y2=20截得弦长为6&的直线的方程.

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类型四：圆与圆的位置关系

例5.已知圆Ci：x2+y2—2mx+4y+m2—5=0,圆C2：x2+y2+2x—2my+m2—3=0,l'n］：m为何值时，（1）圆Ci

和圆C2相外切？（2）圆Ci与圆C2内含？

举一反三：

【变式1］当a为何值时，圆Ci：x2+y2-2ax+4y+（a2—5）=0和圆C?：x2+y2+2x—2ay+（a2-3）=0相交.

【变式2】已知圆Ci：x2+y2+2x—6y+l=0,圆C2：x2+y2—4x+2y—11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公

共弦长.

类型五：最值问题

例6.已知实数x、y满足方程x2+y2—4x+l=0,

求：（1）上的最大值；（2）y—x的最小值.

x

举一反三：

【变式1】已知点P（x,y）是圆（x—3）2+（y—3）2=4上任意一点，求点P到直线2x+y+6=0的最大距离和最小

距离.

【变式2］已知实数x,y满足f+y2+2x-2百y=0,求（l*+y2的最大值；（2）x+y的最小值.

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【巩固练习】

1.已知圆Ci：x2+y2=4,圆C2：x2+y2+6x-4y=0,则两圆的位置关系是（）

A.相切B.相离C.相交D.内含

2.两圆x2+y2-2x+10y-24=0与x2+y2+2x+2y—8=0的交点坐标为（）

A.（4,0）或（2,0）B.（-4,0）或（2,0）

C.（-4,0）或（0,2）D.（4,0）或（0,-2）

3.直线3x+4y+2=0与圆Y+y2+4y=o交于A1两点，则线段的垂直平分线的方程是（）

A.4x-3y-2=0B.4x-3y-6=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y-8=0

4.直线出x+y—20=0截圆V+y2=4得到的劣弧所对的圆心角为（）

717171Tl

A.-B.-C.-D.一

6432

5.过定点（1,2）作两直线与圆x?+y2+kx+2y+k2-15=0相切，则k的取值范围是（）

A.k>2B.-3<k<2C.kV—3或k>2D.以上都不对

6.过点（一4,0）作直线/与圆x?+y2+2x—4y—20=0交于A、B两点，若|AB|=8,则（）

A./的斜率为5±;石B./的方程为5x—12y+20=0

C./的方程为5x+12y+20=0或x+4=0D./的方程为5x—12y+20=0或x+4=0

7.直线y=x—1上的点到圆x2+y2+4x-2y+4=0的最近距离为（）

A.272B.V2-1C.272-1D.1

8.若圆/+：/=/（厂>0）上恰有相异两点到直线飘―3y+25=0的距离等于1,则r的取值范围是（）

A.[4,6]B.（4,6]C.（4,6）D.[4,6）

9.两圆x2+y2+2x-4y+3=0与x2+y2-4x+2y+3=0上的点之间的最短距离是