三次函数的对称中心问题

三次函数的对称中心问题广州市第四中学高二3班梁隽铭

指导教师刘运科对于三次函数)，=0?+加'+・+〃(0工0),作出图彖，经观察，发现其图象有四种可以发现，其图彖具有中心对称性•如何考虑求出y=ar3+加‘+ex+d(a工0)的图象的对称中心坐标呢？卞面是我的探究过程.先考虑较简单的两个特殊情况：一、求y=a?+cx(dHO)的图彖对称中心坐标.此特殊情况较简单.因y=ax'+cx(a丰0)是奇函数，故其对称中心坐标为0(0,0).二、求y=av3+er+d(adh0)的图彖对称中心坐标.此特殊情况也较简单.将y=cf+cx的图彖通过适当平移就可得到y=a?+ex+d(ad工0)的图彖.当d>0时，将y=ax'+cx的图彖向上平移d个单位长度，就可得到y=ax'+cr+d(adHO)的图彖；当dvO时，将y=ax5+ex的图彖向下平移d个单位长度，就可得到y=axi+cx+d(ad0)的图象因y=ax^+ex是奇函数，对称中心坐标为0(0,0),故y=ax'+ex+d(adHO)的图象对称中心为P(0,d).上面两个特殊情况，主要是利用了奇函数的性质、平移的性质•有了上面两种情况的铺垫，似乎求y=ax'+bT+cx+d(“HO)的图彖的对称中心坐标较容易了，其实不然.因)=ax'+bF+cx+d(“HO)是非奇非偶函数,无法从奇偶性方面找到突破I】.下面先来

考虑当ab^O时，最简单的一个具体实例：三、求y=疋+疋的图象对称中心坐标.首先，利用GC,探究），=亡+妒的图彖对称中心坐标.步骤：①.画出fl（x）=xi+x2的图象，并适当调整乂、y的取值范围，如图1：②.观察图彖，函数有两个极值点，对称中心应该是两个极值点的中点.按MENU键，选择菜单的FCN键，再选择Extremum,OK,可以得到一个极值点（0,0）;移动光标到另外一个极值点附近，重复刚才的操作，得到另外一个极值点（-扌，/（扌补，如图2、3：③.求出两个极值点的中点匕，刃(1)3<③.求出两个极值点的中点匕，刃(1)3<1}X--+X--13丿<3丿画出厶（兀）=2计图彖如图4,可求厶（0的两个极值点，发现是关于原点成中心对称的，如图5、6：④.故可知，厶（小是奇函数，对称中心为O（0,0）；故久（对=*+"的对称中心为++极值：(-3.3333E-1,7.40741e-2)确定那么，如果不使用图形计算器，该如何考虑呢？受到第二种特殊情况的启发，考虑到y=亡+妒的图彖可能是由某个奇函数y=ax'+cx(o工0)通过适当平移得到，故有如下的解法：【解】设将y=av3+cx(ah0)的图象通过适当平移可以得到y=x3+F的图彖,则可设y=x^+X2=t7(X-W7)3+C(X-/W)+7?,显然，d=l,故y=x3+x2=(x—zn)3+c(^x—m)+n=x3—3mx2+(3nr+c^x+^n—m3—cm),比较系数，可知:f-3/w=1<3nr+c=0n一屛一cm=01c=——,3n=-2(1?1<n2=X+-X++—1,丿33丿27解得"弓故y=x3+x2119将，〒的图象向左平移亍个单位长度，再向上平移方个单位长度,即可得到y=疋+界的图象.因)，=_?—扌x的图象对称中心坐标为0(0,0),故的图象对称中心坐标为*弓刘将此法推广到一般情况，就可以解决求y=ax'+bx2+cx+d(abh0)的对称中心坐标问题：四、求y=ax3+bx~+ex+d(ab工0)的对称中心坐标.【解】设y=ax^+bx1+cx+d=a^x-in^+k(^x-m)+n,ci(x-/n)3+k(x-m)+n=OK5-3anvc+(3am2+k)x+(n—m5一km),比较系数，有-3am=b<3am2+k=cn一〃7‘一km=d必bib‘b‘b‘be丿解侍〃7=,k=c,n=+—7+d，3a3a27/9cr3a^y=axi+bx2+cx+cl(ab^0)的对称中心坐标为(一上-,—匕=+~—+d.I3d21ct9cr3d丿五、综上，y=ax5+bx2+cx+d(a^0)的对称中心坐标为(_2,_丄+兰__竺+〃]•在上面的解题过程中，我们先考虑特殊情况，再考虑一般情况.[3a27a39az3a丿对于b=0的情况，利用了奇函数性质、平移性质来求解：对于bHO的情况，利用待定系数法求解•下面我们利用导函数的相关知识来解决此问题.六.利用导数知识，求六.利用导数知识，求y=/(x)=ax'+bx'+cx+d(aHO)的对称中心坐标.六.利用导数知识，求六.利用导数知识，求y=/(x)=ax'+bx'+cx+d(aHO)的对称中心坐标.【解】f\x)=3ax2+2bx+c,其判别式△=4，-6皿，导函数图彖对称轴方程为bb(1).当△>()时，导函数有两个零点vx2,y=/(x)有一个极犬值、一个极小值，两个极值点的中点即为对称中心，故对称中心横坐标为"宁一存纵坐标为厶+伫—竺+d.厶+伫—竺+d.27d9cr3a(2).当zXWO时，若°>0,则广(x)$0恒成立，y=门刃在R上单调递增，当x=~—时，f(x)取到最小值，函数增长率最小，对应y=f(x)图彖上的对称中心点;b‘b‘be,HF(I27ci9cr3a若ovO,则广(x)W0恒成立，y=/(x)在b‘b‘be,HF(I27ci9cr3a故对称中心横坐