密码学数学基础第九讲-环课件

本讲内容一、环的定义二、环内特殊元素三、环的分类四、子环、理想和商环本讲内容一、环的定义1一、环的定义（1）（R，＋）是一个可换群；（2）（R，·）是一个半群；（3）左、右分配律成立：对任何a，b，c

R，有：a(b＋c)=ab＋ac，(a＋b)c=ac＋bc；则称代数系统（R，＋，·）是一个环。（R，＋）是一个交换群，称为环R的加法群。如果环R的乘法还满足交换律，则称R为交换环。定义1：设R是一个非空集合，在R中定义两种二元运算，一种叫加法，记做＋，另一种叫乘法，记做·；且满足：一、环的定义（1）（R，＋）是一个可换群；（2）（R，·）是2（Z，＋，·）是一个交换环。（Z，＋，·）称为整数环。有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘法构成交换环。把数集关于数的加法、乘法做成的环，称为数环。Z，Q，R，C都是数环。例1：全体整数所成集合Z对于通常数的加法与乘法构成一个环（Z，＋，·）。（Z，＋，·）是一个交换环。（Z，＋，·）称为整数环。3一般地，设A是一个数环，A[x]表示系数属于A的一切x的多项式所成集合，则A[x]关于多项式的加法与乘法构成一个环。例2：设Z[x]={a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn|ai

Z，n≥0为整数}，则Z[x]是系数为整数的一切x的多项式所组成的集合，Z[x]关于多项式的加法与乘法构成一个环。一般地，设A是一个数环，A[x]表示系数属于A的一切4二、环内特殊元素环R的元素a的加法逆元称为a的负元，记做－a。R的零元及每个元素的负元都是唯一的。如果环R中存在元素e，使对任意的a

R，有ae=ea=a，则称R是一个有单位元的环，并称e为R的单位元。常把环R的单位元e记为1。如果环R有单位元，则单位元是唯一的。1．环内一些特殊元素环R的加法单位元常用0表示，称为环R的零元。二、环内特殊元素环R的元素a的加法逆元称为a的负元，记做－a5如果a可逆，则a的逆元是唯一的；可逆元a的逆元记做a－1。对于一个有单位元的环R，其所有可逆元组成的集合关于环R的乘法构成群。这个群称为环R的单位群或可逆元群，记做U(R)。设环R是有单位元1的环，a

R，如果存在b

R，使ab=ba=1，则称a是R的一个可逆元，并称b为a的逆元。则(Zn，＋，·)是有单位元的交换环，称为整数模n的同余类（或剩余类）环。(Zn，＋，·)的单位群是Zn*。如果a可逆，则a的逆元是唯一的；可逆元a的逆元记做a－1。6倍数法则：对任意的m，n

Z，a，b

R，（1）ma＋na=(m＋n)a；（2）m(a＋b)=ma＋mb；（3）m(na)=(mn)a=n(ma)；（4）m(ab)=(ma)b=a(mb)。指数法则：对任意的m，n

Z，a，b

R，（1）(am)n=amn；（2）am·an=am＋n。利用负元的概念，定义环R的减法“－”为：对任意的a，b

R，令a－b=a＋(－b)。2．性质倍数法则：对任意的m，nZ，a，bR，（1）ma＋na=7若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它为零因子。R是无零因子环充要条件是：

a，b

R，ab=0

a=0或b=0。

3．无零因子环定义3：设环R不含左、右零因子，则称R为无零因子环。例7：求模6的同余类环Z6的所有零因子和单位。定义2：设R是一个环，a，b

R，若a·b=0，且a≠0和b≠0，则称a为R的一个左零因子，b为R的一个右零因子。定理1：环中无左（右）零因子的充要条件是乘法消去律成立，即：a≠0，ab=ac

b=c；a≠0，ba=ca

b=c。若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它为零因子。R是无8三．环的分类1．整环定义5：一个有单位元，无零因子的交换环称为整环。所有数环都是交换环，同时也是整环。2.除环定义6：若含有单位元和零的环R中每个非零元都可逆，则称R为除环。模6的同余类环Z6不是整环。三．环的分类1．整环定义5：一个有单位元，无零因子的93．域定义7：若R是一个可交换的除环，则称R为域。注：域一定是整环，但整环却不一定是域。整数环Z不是域。有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘法构成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。具有有限个元素的域，称为有限域。定理2：（Zn，＋，·）是域的充要条件是n是素数。具有有限个元素的整环是域。3．域定义7：若R是一个可交换的除环，则称R为域。注：域一定10四、子环、理想和商环

定义8：设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空子集；如果S关于R的运算构成环，则称S为R的一个子环，R为S的一个扩环。定理3：设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空子集；则S是R的子环的充要条件是：（1）对任意的a，b

S，有a－b

S；（2）对任意的a，b

S，有ab

S。对于任意一个环R，都有两个子环：{0}与R。这两个子环称为R的平凡子环。四、子环、理想和商环定义8：设（R，＋，·）11定义9：设R为环，I为R的非空子集，如果I满足：（1）对任意的r1，r2

I，r1－r2

I；（2）对任意的r

I，s

R，rs，sr

I；则称I为环R的一个理想。定义9：设R为环，I为R的非空子集，如果I满足：12例9：整数环Z中，任取m

Z，则I={mn|n

Z}是Z的理想。例10：在数环R上多项式环R[x]中，令I表示一切常数项为零的多项式全体，即I={a1x＋a2x2＋…＋anxn|ai

R，n

N}，则I是多项式环R[x]的一个理想。定理4：设R是一个环，I是环R的一个理想，则（R/I，＋，·）是一个环。定义10：称环R/I为环R关于理想I的商环，或称为R模I的同余类环。例9：整数环Z中，任取mZ，则I={mn|nZ}是Z13定理5：设R为环，I是R的理想，则：（3）如果R是交换环，则R/I也是交换环。定理5：设R为环，I是R的理想，则：（3）如果R是交换环，则14（2）同一个记号Zn表示不同的意义：(i)当Zn看作是整数n的商群时，Zn中只有加法一种运算；

(ii)当Zn看作是整数n的商环时，Zn中有加法和乘法两种运算。

例12：做出环Z关于(3)={3r|r

Z}的商环Z/(3)的加法和乘法运算表。注：（1）Z/(n)为域的充要条件是n为素数。（2）同一个记号Zn表示不同的意义：(i)当Zn看作是整数n1