矩阵位移法课件

第十三章矩阵位移法

矩阵位移法课件13.1概述1、定义：矩阵位移法是以结构位移为基本未知量，借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。2、理论基础：位移法

3、分析工具：矩阵

4、计算手段：计算机

5、解题方法：

1）、单元分析

2）、整体分析213.1概述1、定义：矩阵位移法是以结构位移为基本一、矩阵位移法的基本思路结构的离散化；单元分析；整体分析。3一、矩阵位移法的基本思路3二、结构的离散化与杆端位移、杆端力的正负号规定1、结构的离散化——化整为零将结构拆成杆件,杆件称作单元.单元的连接点称作结点.4二、结构的离散化与杆端位移、杆端力的正负号规定4552、杆端位移、杆端力的正负号规定62、杆端位移、杆端力的正负号规定6杆端位移、与杆端力、以与坐标轴、正方向一致时为正；杆端位移与杆端力以顺时针转动为正；单元杆端位移列阵和单元杆端力列阵7杆端位移、与杆端力、以与坐标轴13.2单元分析（一）——局部坐标系中的单元刚度矩阵定义：单元杆端力和杆端位移之间的转换关系成为单元刚度方程。其中称作单元刚度矩阵(简称作单刚)813.2单元分析（一）——局部坐标系中的单元刚度矩阵定义：一、一般杆单元的刚度矩阵9一、一般杆单元的刚度矩阵9杆端轴向力杆端横向力10杆端轴向力10杆端力矩11杆端力矩11矩阵形式记为12矩阵形式12局部坐标系中的单元刚度方程13局部坐标系中的单元刚度方程13二、单元刚度矩阵的性质1、单元刚度系数的意义中的每个元素称为单元刚度系数，代表由于单位杆端位移引起的杆端力。中某一列的六个元素分别表示当某个杆端位移分量等于1时引起的六个杆端力分量。2、对称性是对称矩阵14二、单元刚度矩阵的性质1、单元刚度系数的意义143、奇异性153、奇异性15三、特殊单元1、忽略轴向变形的梁单元的刚度方程16三、特殊单元1、忽略轴向变形的梁单元的刚度方程16单元刚度矩阵17单元刚度矩阵173、连续梁单元的刚度方程单元刚度矩阵183、连续梁单元的刚度方程1813.3、单元分析（二）——整体坐标系中的单元刚度矩阵一、单元坐标转换矩阵a、局部坐标系中单元杆端力1913.3、单元分析（二）——整体坐标系中的单元刚度矩阵一、单b、整体坐标系中的单元杆端力20b、整体坐标系中的单元杆端力20局部坐标系中的杆端力分量和整体坐标系中的杆端力分量之间的关系21局部坐标系中的杆端力分量和整体坐标系中矩阵形式简记：为单元坐标转换矩阵22矩阵形式22

23

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为正交矩阵二、整体坐标系中的单元刚度矩阵称为整体坐标系中的单元刚度矩阵24

为正交矩阵24

的性质：

1）元素表示在整体坐标系中第j个杆端位移分量等于1时引起的第i个杆端力分量；

2）、是对称矩阵；

3）、一般单元的是奇异矩阵25的性质：

1）元素表示例：试求图示所示刚架中各单元在整体坐标系中的刚度矩阵，设各杆的杆长和截面尺寸相同。L=5m,b×h=0.5m×1.0m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3×107kPa,EA/L=300×104kN/m,EA/L=25×104kN.m26例：试求图示所示刚架中各单元在整体坐标系中的刚度矩阵，设各杆272713.4、连续梁的整体刚度矩阵2813.4、连续梁的整体刚度矩阵282929记为——连续梁结构的整体刚度方程转换矩阵：3030一、单元集成法的基本概念总码：在整体结构中的统一编码。局部码：单元分析中的编码。31一、单元集成法的基本概念总码：在整体结构中的统一编码。313232单元①单元②33单元①33满足变形协调条件34满足变形协调条件34单元①记为其中：35单元①35单元②记为其中：36单元②36各单元的杆端力和各结点力应分别满足平衡条件：结点1：结点2：结点3：37各单元的杆端力和各结点力应分别满足平衡条件：37整体刚度矩阵：38整体刚度矩阵：38单元集成法求刚度矩阵的步骤：1、由单元刚度矩阵求单元贡献矩阵；2、叠加各单元贡献矩阵，得到整体刚度矩阵。二、单元定位向量1、定义:由单元的结点位移总码组成的向量称为“单元定位向量”，或“单元换码向量”。记为。2、由单元刚度矩阵求单元贡献矩阵，其做法可以概括为“换码重排座”。步骤为：（1）、换码；（2）、重排座。39单元集成法求刚度矩阵的步骤：39编码对应关系：注：上图为结点总码，下图为单元局部码。单元定位向量（单元换码向量）：由单元的结点位移总码组成的向量。40编码对应关系：40换码重排座（由单元刚度矩阵得出单元贡献矩阵）第一步：换码；第二步：重排座。41换码重排座（由单元刚度矩阵得出单元贡献矩阵）41定位规则：单元①：单元定位向量单元②：单元定位向量42定位规则：42二、单元集成法的实施步骤：1、将置零，这时；2、将的元素在中按定位并进行累加，这时；3、将的元素在中按定位并进行累加，这时；按此作法对所有单元循环一遍，最后得到。43二、单元集成法的实施43例：计算图示所示连续梁的总体刚度矩阵K44例：计算图示所示连续梁的总体刚度矩阵K44整体刚度矩阵的性质1、意义：中的元素称为整体刚度系数，它表示当第j个结点位移分量（其他结点位移分量为零）时所产生的第i个结点力。2、对称矩阵；3、可逆矩阵；4、稀疏矩阵和带状矩阵45整体刚度矩阵的性质4513.5、刚架的整体刚度矩阵1、每个结点位移分量为三个：角位移和两个方向的线位移；2、采用整体坐标，进行坐标转换；3、除刚结点外，还要考虑铰接点。4613.5、刚架的整体刚度矩阵1、每个结点位移分量为三个：角位一、单元定位向量与单元集成一、总码——结点位移分量的统一编码.结点位移分量总码47一、单元定位向量与单元集成一、总码——结点位移分量的统一编码结点位移向量相应的结点力分量为二、单元定位向量三、单元集成过程48结点位移向量48二、铰接点的处理49二、铰接点的处理49各杆的单元定位向量：50各杆的单元定位向量：5013.6、等效结点荷载一、等效结点荷载概念1、定义：将原来的荷载换成与之等效的结点荷载。记为。2、原则：要求原来的荷载和等效结点荷载在基本体系中产生相同的结点约束力。5113.6、等效结点荷载一、等效结点荷载概念51二、单元的等效结点荷载在单元两端加6个附加约束，使两端固定，在给定荷载下求出固端约束力向量局部坐标系中等效结点荷载整体坐标系中的等效结点荷载52二、单元的等效结点荷载52三、整体结构的等效结点荷载依次将每个单元的等效结点荷载中的元素按定位向量在中进行定位并累加，最后得到结点力应为直接作用的结点荷载和非结点荷载的等效结点荷载之和53三、整体结构的等效结点荷载53例1：54例1：54例2：55例2：5513.7、计算步骤和算例1、步骤：（1）整理原始数据，对单元和刚架进行局部码和总码编码；（2）形成局部坐标系中的单元刚度矩阵（3）形成整体坐标系中的单元刚度矩阵（4）用单元集成法形成整体刚度矩阵（5）求局部坐标系的单元等效结点荷载和整体坐标系的单元等效结点荷载5613.7、计算步骤和算例1、步骤：56（6）用单元集成法形成整体结构的等效结点荷载（7）解方程，求出结点位移（8）求各杆的杆端内力二、算例57（6）用单元集成法形成整体结构的等效结点荷载57例1：58例1：58作业：1、计算连续梁的转角和杆端弯矩，并画出弯矩图。59作