定积分的几何应用课件

Chapter6(4)定积分的几何应用Chapter6(4)定积分的几何应用1教学要求：掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、平面曲线的弧长）.教学要求：掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的2定积分的几何应用ppt课件3回顾曲边梯形求面积的问题abxyo一、问题的提出与微元法回顾曲边梯形求面积的问题abxyo一、问题的提出与微元法4面积表示为定积分的步骤如下:面积表示为定积分的步骤如下:5abxyo提示面积元素1.思考方法:(1)求总体量,先求部分量(以不变代变).(2)对部分量求和取极限.abxyo提示面积元素1.思考方法:(1)求总体量,先求部62.所求量U须满足的条件(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量.(2)U对于区间[a,b]具有可加性,就是说,如果把区间[a,b]分成许多部分区间,则U相应地分成许多部分量,而U等于所有部分量之和.这样,就可考虑用定积分来表达这个量U.2.所求量U须满足的条件(1)U是与一个变量x的变化区间[73.微元法的一般步骤：根据问题的具体情况,选取一个变量(如x)为积分变量,并确定它的变化区间[a,b].(2)设想把区间[a,b]分成n个小区间,取其中任一小区间并记为[x,x+dx],求出相应于这小区间的部分量

U的近似值.如果

U能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与dx的乘积,就把f(x)dx称为量U的微元,且记为dU.这个方法通常叫做微元法．应用方向：平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长;功;水压力;引力和平均值等.3.微元法的一般步骤：根据问题的具体情况,选取一个变量(如8曲边梯形的面积围成图形的面积1.直角坐标情形二、平面图形的面积曲边梯形的面积围成图形的面积1.直角坐标情形二、平面图形的9围成图形的面积为:围成图形的面积为:10Solution.两曲线的交点选择x为积分变量,面积元素Solution.两曲线的交点选择x为积分变量,面积元素11Solution.两曲线的交点选x为积分变量,Solution.两曲线的交点选x为积分变量,12Solution.曲线与x轴的交点的横坐标有:问题:积分变量只能选x吗?Solution.曲线与x轴的交点的横坐标有:问题:积13Solution.两曲线的交点选为积分变量Solution.两曲线的交点选为积分变量14如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积2.参数方程情形此时要注意曲边是有正方向的!从而确定出起点和终点.当你沿曲边朝着这方向前进时曲边梯形将在你的右边.如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积2.参数方程情形15Solution.椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．Solution.椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一16面积元素曲边扇形的面积3.极坐标情形面积元素曲边扇形的面积3.极坐标情形17Solution.由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积Solution.由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积18Solution.利用对称性知Solution.利用对称性知19Solution.由极坐标计算公式得:Solution.由极坐标计算公式得:201.平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体，我们知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积三、立体体积1.平行截面面积为已知的立体的体积如果一个21Solution.取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积Solution.取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积22Solution.取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积Solution.取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积23注意:若立体垂直于y轴的截面面积为B(y),则注意:若立体垂直于y轴的截面面积为B(y),则24

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台2.旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而25旋转体的体积为xyo旋转体的体积为xyo26Solution.直线方程为Solution.直线方程为27Solution.Solution.28定积分的几何应用ppt课件29定积分的几何应用ppt课件30定积分的几何应用ppt课件31定积分的几何应用ppt课件32Solution.(1)绕x轴旋转时,选x为积分变量,(2)绕y轴旋转时,Solution.(1)绕x轴旋转时,选x为积分33Solution.如图所示,选x为积分变量,Solution.如图所示,选x为积分变量,34Solution.Solution.35定积分的几何应用ppt课件36补充利用这个公式，可知上例中补充利用这个公式，可知上例中37Solution.体积元素为Solution.体积元素为38四、平面曲线弧长的概念四、平面曲线弧长的概念39弧长元素弧长1.直角坐标情形弧长元素弧长1.直角坐标情形40Solution.所求弧长为Solution.所求弧长为41Solution.Solution.42曲线弧为弧长2.参数方程情形曲线弧为弧长2.参数方程情形43Solution.星形线的参数方程为根据对称性第一象限