不定积分的计算课件

不定积分的计算一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法1不定积分的计算一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积问题？解决方法利用复合函数求导的逆运算，设置中间变量.过程令说明结果正确一、第一换元积分法2问题？解决方法利用复合函数求导的逆运算，设置中间变量.过程令对于形如的积分，设如果连续，且则该积分法可由下面的逆运算证明这种积分方法也叫做“凑微分法”。3对于形如的积分，设如果连续，且则该积分法可由下面的逆运算证明定理1可导,则有换元公式设f(u)具有原函数F(u),u=

(x)连续如何应用上述公式来求不定积分?

则使用此公式的关键在于将化为的形式，假设要求所以，第一类换元积分法也称为凑微分法.4定理1可导,则有换元公式设f(u)具有原函数F例1求解u=2x+1,du=d(2x+1)

=2dx,则想到公式注意换回原变量5例1求解u=2x+1,du=d(2x例2求解：则想到公式6例2求解：则想到公式6

这种换元法又称为凑微分法或配元法,即引进一个新变量以代替原来的变量,对于变量代换熟练以后,可以不写出中间变量u.例1求解法二：7这种换元法又称为凑微分法或配元法,即引进例3求一般地,有8例3求一般地,有8例4求类似9例4求类似9例5求一般地,有10例5求一般地,有10例6

求解说明:当被积函数是三角函数(如正弦函数和余弦函数)相乘时，拆开奇次项去凑微分.11例6求解说明:当被积函数是三角函数(如正弦函数和余弦函数)例7求12例7求12例8求一般地,有13例8求一般地,有13例9求一般地,有14例9求一般地,有14第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可循．这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，例如,等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中拼凑出合适的微分因子．15第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过如何适当地选择变量代例10求16例10求16例11求17例11求17例12求18例12求18例13求19例13求19例14求20例14求20例15求21例15求21解类似可得例16.

求22解类似可得例16.求22小结积分常用技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;凑微分法（陪元方法）(4)巧妙换元或配元。利用积化和差;分式分项等;利用倍角公式,如23小结积分常用技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(作业P1551(1)--(18)24作业P1551(1)--(18)24二、第二换元积分法设将积分化为若则若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。25二、第二换元积分法设将积分例1

求解令则于是26例1求解令则于是26例2

求解令27例2求解令27说明当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例3

求解令28说明当被积函数含有两种或两种以上的根式三、分部积分法由导数公式积分得:分部积分公式或

分部积分法一般用于是解决两种不同类型函数乘积的不定积分问题的.29三、分部积分法由导数公式积分得:分部积分公式或分例1.

求解:令则原式=

分析：被积函数xlnx是幂函数与对数函数的乘积,采用分部积分.30例1.求解:令则原式=分析：被积函数xlnx例2

求积分解（一）令显然，

选择不当，积分更难进行.解（二）令

分析：被积函数xcosx是幂函数与三角函数的乘积,采用分部积分.31例2求积分解（一）令显然，选择不当，积(1)v要容易求出;

容易积出.

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择一般来说，选取的原则是：32(1)v要容易求出;容易积出.分部积分公式运用成败的

解题技巧：

分部积分法求不定积分的关键是要确定u，由计算的经验，可以得出以下顺序：“反（反三角函数）、对（对数函数）、幂（幂函数）、指（指数函数）、三（三角函数）”，当两种不同类型函数相乘求积分时，按以上顺序，排序在前的函数作为u.即把被积函数视为两个函数之积,按

“

反对幂指三”的顺序,前者为后者为33解题技巧：分部积分法求不定积分的例3.

求解:

令,则原式=34例3.求解:令,则原式=34例4求解设u=arctanx,v′=x,则“

反对幂指三”前者为后者为35例4求解设u=arctanx,v′=例5求解设u=lnx,dv=dx,则“

反对幂指三”前者为后者为36例5求解设u=lnx,dv=dx,例6求设u=x2,,

则du=2xdx,v=-cosx,于是解：37例6求设u=x2,例7求

上式最后一项正好是所求积分,移到等式左边然后除以2,可知exsinx的一个原函数为38例7求上式最后一项正好是所求积分,移说明:分部积分题目的主要类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型要一致,

解出积分后加C)39说明:分部积分题目的主要类型:1)直接分部化简积分;2不定积分计算练习题40不定积分计算练习题404141例1

求解:

令则故原式注意换回原变量想到公式42例1求解:令则故原式注意换回原变量想到公式42例2求解u=2x+1,du=2dx,则想到公式43例2求解u=2x+1,du=2dx例3求例4求例5求44例3求例4求例5求44例6求