北师大高中数学选择性必修第一册第三章课时作业28直线的方向向量与平面的法向量（含解析）

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课时作业28直线的方向向量与平面的法向量(原卷版)

角

一、选择题

1.已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，a，b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(D)

A.x＝6，y＝15B.x＝3，y＝

C.x＝3，y＝15D.x＝6，y＝

2.在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是(C)

A.＝0

B.＝0

C.＝0

D.＝0立.故选C.

3.直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，下列关系中能表示l∥α的是(D)

A.a＝

B.a＝k

C.a＝p＋λ

D.以上均不能

4.若两个向量＝(1，2，3)，＝(3，2，1)，则平面ABC的一个法向量为(A)

A.(－1，2，－1)B.(1，2，1)

C.(1，2，－1)D.(－1，2，1)

5.已知直线l的方向向量v＝(2，1，3)，且过A(0，y，3)和B(－1，－2，z)两点，则y＋z的值为(A)

A.0B.－3

C.3D.4

6.平面α经过三点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)，则平面α的法向量可以是(D)

A.(1，0，1)B.(1，0，－1)

C.(0，1，1)D.(－1，1，0)

7.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是(A)

A.P(2，3，3)B.P(－2，0，1)

C.P(－4，4，0)D.P(3，－3，4)

8.(多选题)下列说法中错误的有(ACD)

A.直线的方向向量是唯一的

B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量

C.直线的方向向量有两个

D.平面的法向量是唯一的选项错误.故选ACD.

二、填空题

9.已知三点A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的一个法向量为(1答案不唯一)；单位法向量为(1答案不唯一).

10.已知正四棱锥如图所示，在向量①，②，③，④，不能作为底面ABCD的法向量的是①.

11.对空间向量a，b，有如下命题：

①a·b＝b·a；

②若a⊥平面α，b⊥平面α，且|a|＝|b|，则a＝b；

③若a≠b，则|a|≠|b|；

④若a，b都是直线l的方向向量，则a∥B.

其中说法正确的是①④.

三、解答题

12.如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.

(1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量；

(2)若∠PDA＝45°，求证为平面PCD的一个法向量.

13.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1).

(1)求证：是平面ABCD的法向量；

(2)求平行四边形ABCD的面积.

14.四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC，BD为正方形ABCD的对角线，给出下列命题：

①为平面PAD的法向量；

②为平面PAC的法向量；

③为直线AB的方向向量；

④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量.

其中正确命题的个数(C)

A.1B.2

C.3D.4

15.若直线l1的方向向量为u＝(x，1，－2)，直线l2的方向向量为v＝，已知l1∥l2，则x＋y＝(1答案不唯一).

16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD，E，F分别是PC，PB的中点.

(1)求以F为起点的直线DE的一个方向向量；

(2)求以F为起点的平面PBC的一个法向量.

北师大高中数学选择性必修第一册第三章

课时作业28直线的方向向量与平面的法向量(解析版)

一、选择题

1.已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，a，b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(D)

A.x＝6，y＝15B.x＝3，y＝

C.x＝3，y＝15D.x＝6，y＝

解析：由a∥b，得，得x＝6，y＝，故选D.

2.在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是(C)

A.＝0

B.＝0

C.＝0

D.＝0

解析：∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又∵AC⊥BD，∴PC⊥BD，故选项B正确，选项A和D显然成立.故选C.

3.直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，下列关系中能表示l∥α的是(D)

A.a＝

B.a＝k

C.a＝p＋λ

D.以上均不能

解析：对于A选项，a＝，则l∥OA，OAα，则l∥α或lα；对于B选项，a＝k，则l∥OB，OBα，则l∥α或lα；对于C选项，设平面α的法向量为n，则n·＝0，n·＝0，∴n·a＝n·(p＋λ)＝0，∴a⊥n，则l∥α或lα.因此，A，B，C选项都不一定能表示l∥α.故选D.

4.若两个向量＝(1，2，3)，＝(3，2，1)，则平面ABC的一个法向量为(A)

A.(－1，2，－1)B.(1，2，1)

C.(1，2，－1)D.(－1，2，1)

解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则即

令x＝－1，则y＝2，z＝－1，即平面ABC的一个法向量为n＝(－1，2，－1)，故选A.

5.已知直线l的方向向量v＝(2，1，3)，且过A(0，y，3)和B(－1，－2，z)两点，则y＋z的值为(A)

A.0B.－3

C.3D.4

解析：∵直线l方向向量为v＝(2，1，3)，且直线过A(0，y，3)，B(－1，－2，z)两点.则＝(－1，－2－y，z－3)＝λ(2，1，3)，则λ＝－，－2－y＝－，z－3＝－，解得y＝－，z＝，y＋z＝0，故选A.

6.平面α经过三点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)，则平面α的法向量可以是(D)

A.(1，0，1)B.(1，0，－1)

C.(0，1，1)D.(－1，1，0)

解析：设平面α的法向量为n，对于A选项，n·＝2，故A选项错误；对于B选项，n·＝－2，故B选项错误；对于C选项，n·＝2，故C选项错误；对于D选项，由于n·＝0，n·＝0，故D选项符合题意.故选D.

7.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是(A)

A.P(2，3，3)B.P(－2，0，1)

C.P(－4，4，0)D.P(3，－3，4)

解析：设平面α内一点P(x，y，z)，则＝(x－1，y＋1，z－2)，∵n＝(6，－3，6)是平面α的法向量，∴n⊥，n·＝6(x－1)－3(y＋1)＋6(z－2)＝6x－3y＋6z－21，

∴由n·＝0得6x－3y＋6z－21＝0，∴2x－y＋2z＝7，把各选项的坐标数据代入上式验证可知A适合.故选A.

8.(多选题)下列说法中错误的有(ACD)

A.直线的方向向量是唯一的

B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量

C.直线的方向向量有两个

D.平面的法向量是唯一的

解析：直线上的向量e以及与向量e共线的非零向量都可以作为直线的法向量，故A，C错误；表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α时，则向量n是平面α的法向量，则D选项错误.故选ACD.

二、填空题

9.已知三点A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的一个法向量为(1，1，1)(答案不唯一)；单位法向量为或.

解析：三点A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，

∴＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)，

令平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，可得即

∴x＝y＝z，平面ABC的一个法向量为(1，1，1).

∵平面ABC的法向量n＝(x，y，z)为单位法向量，∴x2＋y2＋z2＝1，解得x＝y＝z＝±，故平面ABC的单位法向量是或.

10.已知正四棱锥如图所示，在向量①，②，③，④，不能作为底面ABCD的法向量的是①.

解析：由题意可知＝0，＝2＝2＝4，所以填①.

11.对空间向量a，b，有如下命题：

①a·b＝b·a；

②若a⊥平面α，b⊥平面α，且|a|＝|b|，则a＝b；

③若a≠b，则|a|≠|b|；

④若a，b都是直线l的方向向量，则a∥B.

其中说法正确的是①④.

解析：由两向量夹角的定义知①为真；只有a，b同向时才能得出a＝b，故②为假；若两向量不相等，但其模可能相等，故③为假；由方向向量定义知④为真.

三、解答题

12.如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.

(1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量；

(2)若∠PDA＝45°，求证为平面PCD的一个法向量.

解：(1)取PD的中点E，连接NE，AE，

∵N是PC的中点，∴NEDC，

又∵DCAB，AM＝AB，

∴AMCD，∴NEAM，

∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE，∴为直线MN的一个以A为起点的方向向量.

(2)证明：在Rt△PAD中，∠PDA＝45°，

∴AP＝AD，∴AE⊥PD，又∵MN∥AE，∴MN⊥PD，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，

∴CD⊥平面PAD，

∵AE平面PAD，∴CD⊥AE，又MN∥AE，∴CD⊥MN，

又∵CD∩PD＝D，∴MN⊥平面PCD，

∴为平面PCD的一个法向量.

13.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1).

(1)求证：是平面ABCD的法向量；

(2)求平行四边形ABCD的面积.

解：(1)证明：∵＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝0，＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝0.

∴AP⊥AB，AP⊥AD，又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，

∴是平面ABCD的法向量.

(2)∵，

＝2，

＝(2，－1，－4)·(4，2，0)＝6，

∴cos＜，故sin＜，

S□ABCD＝sin＜＞＝8.

14.四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC，BD为正方形ABCD的对角线，给出下列命题：

①为平面PAD的法向量；

②为平面PAC的法向量；

③为直线AB的方向向量；

④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量.

其中正确命题的个数(C)

A.1B.2

C.3D.4

解析：①因为底面ABCD是正方形，所以BC∥AD，由AD平面PAD知不是平面PAD的法向量；②由底面ABCD是正方形知BD⊥AC，因为PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD，又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BD⊥平面PAC，为平面PAC的法向量，②正确；③因为底面ABCD是正方形，所以CD∥AB，则为直线AB的方向向量，③正确；④易知BC⊥AB，因为PA⊥底面ABCD，BC平面ABCD，所以PA⊥BC，又PA∩AB＝A，PA平面PAB，AB平面PAB，所以BC⊥平面PAB，故④正确.故选C.

15.若直线l1的方向向量为u＝(x，1，－2)，直线l2的方向向量为v＝，已知l1∥l2，则x＋y＝.

解析：由l1∥l2，则u∥v，设u＝λv，则解得

因此，x＋y＝.

16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD，E，F分别是PC，PB的中点.

(1)求以F为起点的直线DE的一个方向向量；

(2)求以F为起点的平面PBC的一个法向量.

题图答图

解：(1)取AD的中点M，连接MF，连接EF.如图.