平面解析几何-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（全国通用）（解析版）

专题05平面解析几何

:@2021年高考真题

2

1.（2021•全国高考真题（文））设8是椭圆。:^+丁=1的上顶点，点P在C上，则归目的最大值为（）

A.-B.J6C.75D.2

2

【答案】A

【分析】设点尸（事,均），由依题意可知，5（0,1）,至+y；=l，再根据两点间的距离公式得到|P8「，然

后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值.

2

【详解】设点尸（事,均）,因为5（0,1）,今+乂=1，所以

附『=5（1一洲+收一1）-=-4"_2%+6=-4（%+；+~T,

\4，4

而一所以当先=—｝时，归却的最大值为g.

故选：A.

【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数

的性质即可解出.易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的

长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量

的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值..

2.（2021•全国高考真题）抛物线y2=2px（p>0）的焦点到直线y=x+l的距离为0,则〃=（）

A.1B.2C.272D.4

【答案】B

【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得。的值.

【详解】抛物线的焦点坐标为（"），

2-0+1

其到自线x-y+1=0的距离:_2______

d==3'

VT+T

解得：p=2（p=-6舍去）.

故选：B.

22.

3.（2021.北京高考真题）双曲线C：W-.=1过点（、5,6）,且离心率为2,则该双曲线的标准方程为

（）

公一二垦一丁=

A.=1B.--/=1C.X2_2^£=1D.1

3333'

【答案】A

【分析】分析可得匕=耳，再将点（、后，班）代入双曲线的方程，求出。的值，即可得出双曲线的标准方

程.

22

【详解】•.•e=£=2,则c=2a,h=^Jc2-a2=Az-则双曲线的方程为餐一二=1，

aa3a“

将点（V2,V3）的坐标代入双曲线的方程可得标-白=5=1，解得。=1故b=6，

2

因此，双曲线的方程为炉—匕=].

3

故选：A.

4.（2021.北京高考真题）已知圆C：尤2+y2=4,直线/：y=Ax+m,当%变化时，/截得圆C弦长的最

小值为2,则（）

A.±2B.±y/2C.±y/3D.±y/5

【答案】c

【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出”？

【详解】由题可得圆心为（0,0）,半径为2,

\m\

则圆心到直线的距离d=-^=,

VF+1

则弦长为2、4——二一，

VF+i

则"'M=0时，弦长取得最小值为2,4-根2=2,解得加=±G.

故选：c.

5.（2021.全国高考真题）己知片，鸟是椭圆C：、+?=1的两个焦点，点M在。上，贝用.pV里|

的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】本题通过利用椭圆定义得到|"用+|儿明|=2。=6,借助基本不等式

\MF\-\MF^<跖?叫即可得到答案.

【详解】由题，〃=9,〃=4,则|岫|+|M闾=2。=6,

所以|町卜|屿区•用+限玛=9（当且仅当|峥|=|M闾=3时，等号成立）.

I2J

故选：C.

【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，

或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.

6.（2021.全国高考真题（文））点（3,0）到双曲线看-5=1的一条渐近线的距离为（）

9864

A.-B.-C.-D.一

5555

【答案】A

【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.

22

【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：—-^-=0,即3x±4y=0,

169

结合对称性，不妨考虑点（3,0）到直线3x+4y=0的距离：d=-j===-.

故选：A.

22

7.（2021•天津高考真题）已知双曲线，-2=13>0/>0）的右焦点与抛物线y2=2px（p>0）的焦

a厅

点重合，抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C、。两点，若|。£>|=应|4例.则

双曲线的离心率为（)

A.0B.73C.2D.3

【答案】A

【分析】设公共焦点为（C,O），进而可得准线为彳=-。，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得

a2=^-c2,再由双曲线离心率公式即可得解.

2

22

【详解】设双曲线马-与=1（。>0,6>0）与抛物线丁=2px（p>0）的公共焦点为（c,0）,

a~h~

则抛物线V=2px（p>0）的准线为x=-c,

c2,2

令尤=-C,则二>1,解得y=士幺，所以恒却='-

a

又因为双曲线的渐近线方程为y=±—%,所以|8|=——

aa

所以之=处生，即c=①，所以/=C—

aa2

所以双曲线的离心率e=£=JE.

a

故选：A.

221的左、右焦点分别为片，点尸口卷），则

8.（2021•全国高三其他模拟（文））已知双曲线^--二

45

^PF2的平分线的方程为（）

A.3x-2y—4=0B.3x-4y+4=0

C.4x-6y+3=0D.2x-6y+9=（）

【答案】A

【分析】先依题意判断尸入，片工，设/片尸鸟的平分线交x轴于M,设NMP8=6,计算

122

tan26=tan/6尸耳=（，求得tan6=§,即得角平分线所在直线尸M的斜率，再根据点斜式写直线方

程即可.

【详解】如图，依题意知耳（一3,0）,6（3,0）,而点尸在双曲线上，故鸟，

|「国=/因周=6.

设/耳尸鸟的平分线交X轴于M,设NMP6=e,则/耳P玛=26e0微

-tan2e=tanNf；PG=?=?口“2tan。12

有15,即匚荷拓=行

213

化简解得tan6=一，故/RPF）的平分线所在直线PM的斜率&=tanZPMF2=--=-

3tan夕2

53

所以/4P6的平分线的方程为了一耳=/（工一3）,即3x—2y—4=0.

故选：A.

9.（2021•全国高考真题）已知直线/:依+外—产=。与圆。：》2+、2=产，点A（a,»,则下列说法正确

的是（）

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

【答案】ABD

【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位

置关系即可得解.

［详解】圆心c（（）,o）到直线/的距离d=1,,

\Ja2+b2

若点A（a,"）在圆C上，则所以〃

\ja2+h2

则直线/与圆C相切，故A正确；

若点A（a,A）在圆C内,则所以d=:>”,

7a+/7

则直线/与圆C相离，故B正确:

2

若点A（a,A）在圆C外，则。2+〃>/，所以〃

sla2+b2

则直线/与圆C相交，故C错误;

若点A（a,Z?）在直线/上，贝4力+人？一,_Qgp^2+b2-r2>

所以d==\r\,直线/与圆C相切，故D正确.

V«2+b

故选：ABD.

10.（2021•全国高考真题）已知点P在圆（x—5『+（y—5『=16上，点4（4,0）、B（0,2）,则（）

A.点p到直线A8的距离小于10

B.点尸到直线的距离大于2

C.当NPBA最小时，|P5|=3\/5

D.当NP8A最大时，|P四=3夜

【答案】ACD

【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项的正误;

分析可知，当NP8A最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.

【详解】圆（x—5）2+（y—5）2=16的圆心为M（5,5）,半径为4,

直线A8的方程为:+]=1，即x+2y-4=0,

圆心M到直线AB的距离为F12X5—4|=J1=辿>4,

712+22石5

所以，点P到直线A3的距离的最小值为14<2,最大值为工幽+4<10,A选项正确，B选项错

55

误；

如下图所示:

当NP34最大或最小时，依与圆〃相切，连接"P、BM，可知RWJ_依，

\BM\=^（O-5）2+（2-5）2=y/341|町=4.由勾股定理可得忸P|=扬7日的'=3百，CD选项

正确.

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：若直线/与半径为r的圆C相离，圆心。到直线/的距离为d,则圆C上一点P到直线

I的距离的取值范围是[d-r,d+r].

11.（2021.天津高考真题）若斜率为6的直线与>轴交于点A,与圆月+（），-1）2=1相切于点8,则

|如--------

【答案】百

【分析】设直线AB的方程为y=^x+b,则点A（0,8），利用直线AB与圆X?+（），-炉=1相切求出匕的

值，求出|AC|,利用勾股定理可求得|A@.

【详解】设直线AB的方程为>=6x+b，则点A（0,Z?）,

由于直线AB与圆相切，且圆心为C（0,l）,半径为1，

则吐"=1，解得匕=一1或%=3,

所以|AC|=2,

2

因为忸。=1,故|AB|=J|AC『一忸=也.

故答案为：6

12.（2021•全国高考真题）已知函数/（幻=.一1|小<0,工2>（），函数/（X）的图象在点A（%J（%））和

点8(%2，/(%2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,N两点，则步"取值范围是.

【答案】(0,1)

【分析】结合导数的几何意义可得%+々=0,结合直线方程及两点间距离公式可得|40|=«5方・卜卜

"N|=Jl+e2*2.冈,化简即可得解.

।I|l-^x,x<0，/、[-e\x<0

【详解】由题意，/(zx)x=e*—l=〈.，则广(x)=〈，

-l,x>0[e”,x〉0

X2X}

所以点A(%,1-e")和点B^x2,e-1),kAM=-e,kBN=*,

X1

所以一e*•e=-I,%+x2=0,

所以AM:y-l+eXi=-ex'(x-x^,M+1),

所以124Ml=J'+e2x'-I%1|»

同理忸N[=Jl+*2.同.

所以ll+e2'-_ll+e2''_

MM—e+e2]xj_€(()」)•

所以两处在「后kVTTTL

故答案为：(0,1)

【点睛】关键点点睛:

解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件再+工2=0,消去一个变量后，运算即可得解.

13.(2021•北京高考真题)已知抛物线。：;/=以，焦点为尸，点M为抛物线C上的点，且|根|=6,则

M的横坐标是；作MN_Lx轴于N,则S/MN=

【答案】546

【分析】根据焦半径公式可求M的横坐标，求出纵坐标后可求S-MN.

【详解】因为抛物线的方程为丁=48，故p=2且网1,0).

因为|Mq=6,与+^=6,解得/=5,故坨=±2石，

所以=；x(5-l)x2后=4石，

故答案为：5,4>/5.

14.(2021•全国高考真题)已知。为坐标原点，抛物线C：>2=2〃双2>0)的焦点为尸，P为。上一点,

PF与x轴垂直，。为x轴上一点，且PQ_LQP,若忻。=6,则。的准线方程为.

3

【答案】%=--

2

【分析】先用坐标表示P，Q,再根据向量垂直坐标表示列方程，解得P,即得结果.

【详解】抛物线C：y2=2px(P>0)的焦点厂

为C上一点，PF与x轴垂直，

所以P的横坐标为“，代入抛物线方程求得P的纵坐标为土P,

2

不妨设P(gp),

因为Q为％轴上一点，且PQ-LOP,所以Q在F的右侧，

又•••|网21=6,

〃UUH

...Q(6+5,0),...PQ=(6,-p)

因为PQLOP,所以而.而=5x6—/=o.

Q夕>0,/.p=3,

3

所以C的准线方程为了二一一

2

3

故答案为：x=—.

2

【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

22

15.(2021•全国高考真题(文))已知耳，鸟为椭圆C：工+匕=1的两个焦点，P,。为C上关于坐标原

164

点对称的两点，且|PQ|=|耳闾，则四边形PFiQF2的面积为.

【答案】8

【分析】根据已知可得,尸乙，设|列"=九|尸乙|=〃，利用勾股定理结合加+〃=8,求出如?，四

边形PGQ6面积等于，即可求解.

【详解】因为P,Q为。上关于坐标原点对称的两点，

且12。1=1£61,所以四边形为矩形，

设|06|=加,|PF21=〃，则/〃+〃=8,m2+〃2=48,

所以64=（加+/A-nr+2mn+n2=48+2mn,

mn=8,即四边形P耳Q8面积等于8.

故答案为：8.

22

16.（2021•全国高考真题（文））双曲线上-汇=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为

45

【答案】亚

【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.

【详解】由已知1,0=5％=3,所以双曲线的右焦点为（3,0）,

所以右焦点（3,0）到直线x+2y—8—0的距离为।五一=4=心•

故答案为：y[5

22

17.（2021.全国高考真题）已知双曲线二—3=l（a＞0力＞0）的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为

【答案】y=±y/3x

【分析】由双曲线离心率公式可得'=3,再由渐近线方程即可得解.

22

【详解】因为双曲线T—六=1（。＞0,。＞0）的离心率为2,

所以6=,=归£=2,所吟=3,

所以该双曲线的渐近线方程为丁=±2%=±6犬.

a

故答案为：y=±y/3x.

【点睛】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.

18.(2021•浙江高考真题)已知椭圆二+二=1(。>/,>()),焦点片(_c,0),K(c,0)(c>0),若过目的

ab

直线和圆(x—+y2=c2相切，与椭圆在第一象限交于点P,且P^_Lx轴，则该直线的斜率是

，椭圆的离心率是.

［答案］毡且

55

2

【分析】不妨假设c=2,根据图形可知，sin/P4心二§,再根据同角三角函数基本关系即可求出

Z=tanNP£E=《石；再根据椭圆的定义求出。，即可求得离心率.

如图所示：不妨假设c=2,设切点为B,

sinZPEF-sinABF.A-7^7=—,tanNPF、F、=-=I"石

121闺4|3月J，-5

所以左=垣，由左，闺闾=2c=4,所以归周=如叵，俨用=必5,于是

5|"也|55

2a=|「制+|「用=4石，即Q=2逐，所以6=£=3=且.

a2j55

故答案为：.

55

r2y1=l(a>〃>0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为竽

19.(2021•天津高考真题)已知椭圆j+

a~

且忸目=石.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线/与椭圆有唯一的公共点M,与>轴的正半轴交于点N,过N与BE垂直的直线交x轴于

点P.若MPIIBF,求直线/的方程.

【答案】（1）y+y2=l；（2）x-y+6=0.

【分析】（1）求出。的值，结合。的值可得出6的值，进而可得出椭圆的方程；

（2）设点加（毛,%）,分析出直线/的方程为管+%y=l,求出点尸的坐标，根据MP//8F可得出

%.=须一求出与、%的值，即可得出直线/的方程.

【详解】⑴易知点尸（c,（））、B（0,b）,故师=后寿=a=«，

因为椭圆的离心率为e=£=述，故c=2,匕=后W=i，

a5

因此，椭圆的方程为三+V=1；

5-

2

（2）设点M（Xo，%）为椭圆曰+>2=1上一点，

先证明直线MN的方程为警+为y=1,

号+%>=1

联立，，，消去V并整理得％2-2%》+片=0,八=4片一4片=（）,

—%+y2=1.

15

2

1f1）

在直线MN的方程中，令％=0,可得y=一,由题意可知%>0，即点N0,—

为Iy0J

直线5尸的斜率为即「=一2141

―，所以，直线PN的方程为y=2x+—,

c2%

11)

在直线PN的方程中，令y=0,可得》=一丁，即点P--,0

2>,oI2yo)

%=2%___1_,

因为MPMBF,则=即上J__2/凡+1-一5,整理可得(%+5%)2=°，

为十

2yo

所以，入()=一5%,因为％■+y：=6y；=1,，%，故%=近^,%=一豆5

566

所以，直线/的方程为—Y&X+且y=l，即X—y+迷=0.

66

【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线:

(1)设切线方程为y="+"与椭圆方程联立，由△=()进行求解；

22

(2)椭圆*•+表'=1在其上一点(毛，为)的切线方程为等+胃=1，再应用此方程时，首先应证明直

22

线警+誓=1与椭圆「+A=1相切.

a2b2a2b2

22

20.(2021•全国高考真题)已知椭圆C的方程为L铲=1(a>6>0),右焦点为尸(血,())，且离心率为

T

(1)求椭圆c的方程；

(2)设M,N是椭圆C上的两点，直线"N与曲线/+产=加*>0)相切.证明：乂,N,F三点共线

的充要条件是|MN|=出.

【答案】(1)—+y2=l；(2)证明见解析.

3

【分析】(1)由离心率公式可得4=百，进而可得/，即可得解;

(2)必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证|MV|=6；

充分性：设直线1W:y=Ax+"（@<0）,ill直线与圆相切得〃=公+1，联立直线与椭圆方程结合弦长

公式可得Jl+父.虫竺:=百，进而可得左=土1，即可得解.

1+3F

【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c=J5且e=£=45,所以0=6,

a3

Y2

又〃=q2-c、2=l，所以椭圆方程为二+V=1；

3-

（2）由（1）得，曲线为/+y2=]*>0）,

当直线MN的斜率不存在时，直线MN:x=l,不合题意;

当直线MN的斜率存在时，设"（玉,yj,N（w,%），

必要性:

若M,N,尸三点共线，可设直线MN:y=Z（x—血）即人:-y-左=（）,

由直线MN与曲线f+V=i（x>0）相切可得=1,解得々=±1,

y=±（x-V2）

3723

联立《可得所以％+々=

x2,4/—60X+3=O,----,X,•x7=—

—+y2=121-4

I3

所以|MN\-V1+1-J（X]+工2）--4X1*2-G，

所以必要性成立；

充分性：设直线1W:y=Ax+Z?,（妨<0）即6-y+8=0,

由直线MN与曲线r+y2=l（x>0）相切可得=1,所以从=/2+1，

a+i

y=kx+b

2

联立《x2可得（1+3%2卜2+6妨x+362-3=0,

丁）'=

所以％

'-1+3二121+3%2

6kbY43b2-3

所以阿N|=Jl+/.J(7+X2)2—4%•马2

=\ll+k1+30—，+3左2

",信3

化简得3（炉一1）2=（）,所以4=土1,

k=[（lc=-i

所以二垃或J5'所以直线或,=一"+J5’

所以直线MN过点F（a,0）,M,N,尸三点共线，充分性成立；

所以M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=6.

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.

22

21.（2021•北京高考真题）已知椭圆£：=+==1（.＞人＞0）过点人（0,-2）,以四个顶点围成的四边形面

ab

积为

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点P（0,-3）的直线/斜率为k,交椭圆E于不同的两点8,C,直线AB,4c交尸-3于点M、N,直

线AC交产-3于点N,若|PM+|PNW15,求A的取值范围.

【答案】⑴上+匕=1；（2）[-3,-l）u（l,3].

54

【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求。为，从而可求椭圆的标准方程.

（2）设8（/乂）,。（々,必），求出直线AB,AC的方程后可得M,N的横坐标，从而可得+

联立直线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简1PMi+|PN|,从而可求jfc的范围，注意判别式的要

求.

【详解】（1）因为椭圆过4（0,—2）,故8=2,

因为四个顶点围成的四边形的面积为4逐，故;又2ax2b=4卮即。=6，

22

故椭圆的标准方程为：土+上=1.

54

(2)

设3（%，y），c（w，%），

因为直线BC的斜率存在，故无述2w0，

…y+2cM

故直线A8:y=U—x-2,令y=-3,则x“=-----、，同理工可=一

%3+2

:可得(4+5Z2)%2-30入+25=0,

直线BC:y=匕-3,由，

4f+5y2=20I>

故△=900公一IOOU+S/）＞。，解得左＜—1或左＞1.

,30k25

乂西+工2=石质'中2=,故司々＞0,所以先“4＞0

4+5公

%।%

又|PM+|PN|=%+4

X+2%+2

50k30A

X24+5公4+5公

+~2/\

kx-1kx-1kxx+x)+l25k230k2,

}2{22o_1_1

4+5/4+5/

故5陶415即陶43,

综上，—3〈攵＜一1或1＜%W3.

22.（2021.全国高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点网-J万,0）、F2（4n,0）,\MFt\-\MF2\^2,

点M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线x上，过T的两条直线分别交。于人、5两点和产，。两点,且|24卜|7^=|773卜|7。|,

求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

v2

【答案】(1)x2-2-=l(x>l)；(2)0.

161)

【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点耳、居为左、右焦点双曲线的右支，求出。、。的值，

即可得出轨迹。的方程；

（2）设点设直线45的方程为y-f=—设点A（司，y）、3（9,%），联立直线AB与

曲线C的方程，列出韦达定理，求出［7间的表达式，设直线P。的斜率为左2,同理可得出17H•|明的

表达式，由|刃4卜\TB\=17H-|T0|化简可得k}+k2的值.

【详解】因为|峥|一|峥|=2＜|耳闾=2后,

所以，轨迹。是以点耳、鸟为左、右焦点的双曲线的右支,

22

设轨迹。的方程为*■一£=1（。＞0,。〉0）,则2。=2,可得4=1,5='17-/=4,

2

所以，轨迹C的方程为炉—二=1(x21)；

16')

（2）设点若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线。无公共点,

不妨直线A8的方程为=即丁=%科+.-；勺，

,1,

y=kx+t--k

联立《ti消去y并整理可得（4_16卜2+勺（2-+—+16=0,

16x2-y2=16I2,

设点4（百,%）、6（私％）,则玉＞3且了2＞；.

m+16

k2-2kt

由韦达定理可得%+马=~:，

灯一16X,x

2k；76

所以，附附=（1+后八-扑2-）=（1+幻-号+

乙y乙JK[-10

设直线PQ的斜率为k2,同理可得\TP\-\TQ\="+?（；切，

r+12）（1+忏）（r2+12）（1+义，整理可得好=心，

因为|冽.|75|=|闭.|712|,即

ky—16%；—16

即（4一心）（4+幺）=0,显然勺-%2/0，故人+%2=0.

因此，直线A6与直线PQ的斜率之和为0.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

23.（2021•全国高考真题（文））已知抛物线C：V=2*（〃>0）的焦点/到准线的距离为2.

（1）求C的方程；

（2）已知。为坐标原点，点尸在C上，点。满足却=90声，求直线。。斜率的最大值.

【答案】（1）/=以；（2）最大值为；.

【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；

（2）设。（%,%）,由平面向量的知识可得产（10%）-9,10%）,进而可得当=25；；+%再由斜率公式及

基本不等式即可得解.

【详解】（1）抛物线（7:产=2*（〃>0）的焦点/;{§,0],准线方程为x=-K,

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为§-（一言）=0=2,

所以该抛物线的方程为V=4x；

⑵设。（毛,%）,则电=9/=（9-9x。,-9%）,

所以P（10/-9,10%）,

由P在抛物线上可得（10%）2=4（10/-9），即/=25*+9,

ky。_So

所以直线。。的斜率00/所y；+925y；+9,

10

当先=°时,k0Q=0；

kio

当时,

%

当先＞0时,因为25%+2425%2=30,

%vy。

193

此时0＜自0«彳，当且仅当25%=—，即%==时，等号成立；

当先＜。时,自2＜。;

综上，直线。。的斜率的最大值为!.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用平面向量的知识求得点。坐标的关系，在求斜率的最值时要

注意对先取值范围的讨论.

24.（2021•全国高考真题（文））抛物线C的顶点为坐标原点0.焦点在x轴上，直线/：x=l交C于P,

。两点，且OPLOQ.已知点M（2,0）,且0M与/相切.

（1）求C,的方程；

（2）设4,4,4是C上的三个点，直线44，4A3均与0M相切.判断直线44与0”的位置关系,

并说明理由.

【答案】（1）抛物线C：y2=x,0M方程为（x—2）2+y2=i；（2）相切，理由见解析

【分析】（1）根据已知抛物线与x=l相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出P,Q

坐标，由OPLOQ,即可求出P；由圆M与直线x=l相切，求出半径，即可得出结论；

（2）先考虑A4斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若44,4A3,4A3斜率存在，由A，4,4三

点在抛物线上，将直线A4，A4，A2&斜率分别用纵坐标表示，再由44与圆/相切，得出

%+%，%・为与m的关系，最后求出M点到直线44的距离，即可得出结论.

【详解】(1)依题意设抛物线C：y2=2px(p>0),P(l,yo),Q(L—yo)，

•.•0尸_10。,;.而丽=1一4=1-2〃=0,;.2〃=1,

所以抛物线。的方程为y2=x,

M(0,2),。/与x=l相切，所以半径为1，

所以的方程为(x-2)2+/=l；

(2)设4(山凹)，4(工2，%)，4(%3，%)

若44斜率不存在，则A4方程为X=1或X=3,

若4%方程为％=1,根据对称性不妨设A(1,1),

则过A与圆河相切的另一条直线方程为y=1,

此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3,不合题意;

若A4方程为x=3，根据对称性不妨设4(3,G),4(3,—G),

则过4与圆〃相切的直线44为y一6=4

(X—3)，

乂“AA.

七=0,A(o,o),此时直线44,关于x轴对称,

所以直线AzA与圆M相切;

若直线斜率均存在,

,111

贝!J人=-7/A&=~T-，仁44

y+必%+%

1/、

所以立线A4方程为y一,=------(%一%),

%+%

整理得x—（X+%）,+,%=0,

同理直线44的方程为X一（,+必方+必必=o，

直线44的方程为工一（%+为"+%%=。，

|2+y%l[

•.♦AA与圆M相切，•,•一/,「一、，一=1

41+（%+?2）

整理得（71-1）^+2yM+3-y；=0,

A4与圆M相切，同理（才一1）$+2%%+3-1=0

所以内，为为方程（代-1）3+2,，+3-犬=0的两根,

%+为=-空7，%・%=,

y-i必一1

M到直线44的距离为：

12+%%1；%-1

）1+（%+必）2Jl+（_3]）2

—,I犬+11£+1:1

J（y”l）2+4y：4+1

所以直线A2A3与圆M相切；

综上若直线AA，AA与圆M相切，则直线44与圆M相切.

【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为

只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用A4，A4的对称性，抽象出为+%，％・%与/关系，把

%，%的关系转化为用M表示.

25.（2021.浙江高考真题）如图，已知尸是抛物线、2=25*（〃>0）的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交

点，且眼产|=2,

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点尸的直线交抛物线与48两点，斜率为2的直线/与直线M4,MB,AB,x轴依次交于点P,

Q,R,N,且|RN|2=|PNHQN|,求直线/在x轴上截距的范围.

【答案】⑴/=4x；⑵—46"[—7+4百

【分析】（1）求出”的值后可求抛物线的方程.

（2）设