弹性力学应力分析

弹性力学应力分析2023/8/141第1页，课件共68页，创作于2023年2月第三章应力分析第一节柯西应力张量第二节斜截面上应力分量第三节应力张量坐标变换第四节主应力和主方向第五节八面体上的应力第六节平衡微分方程2023/8/142第2页，课件共68页，创作于2023年2月第一节柯西应力张量一、柯西应力矢量应力矢量定义符号说明力矢量的分量dFj,微元面积dA，外法线单位矢量的分量ni柯西应力矢量PdAdFjnior2023/8/143第3页，课件共68页，创作于2023年2月正六面体上的应力矢量矢量表示e1、e2、e3为沿坐标的单位矢量thatis

11

22

33

12

13

21

23

32

31x1x2x3分量表示2023/8/144第4页，课件共68页，创作于2023年2月任意斜截面上的应力矢量面积dA，外法线单位矢量n斜平面上应力矢量t(n)四面体为脱离体：微元面积之间的关系：2023/8/145第5页，课件共68页，创作于2023年2月在x1方向平衡：消去dA，得同理；在x2、x3方向平衡：2023/8/146第6页，课件共68页，创作于2023年2月二、柯西应力张量应力张量Sinceti(n)andnidenotevectors,itfollowsfromthequotientruleofChapter2thatthecomponents

jiarecomponentsofasecond-orderCartesiantensor.ThistensoriscalledCauchystresstensor.2023/8/147第7页，课件共68页，创作于2023年2月Where

11,

22,

33arenormalstresses,and

12,

13,

21,

23,

31,

32areshearstresses.AccordingtothetheoremofconjugateshearstressesinStrengthofMaterials,wehave二阶应力张量的矩阵表示2023/8/148第8页，课件共68页，创作于2023年2月三、应力张量分解柯西应力张量还可以表示为Thefirsttermintheright-handiscalledsphericalstresstensorandthesecondtermcalleddeviatorstresstensor.

设p表示平均正应力meannormalstress展开

世俗

球形应力张量平均正应力p12023/8/149第9页，课件共68页，创作于2023年2月球形应力张量矩阵形式偏斜应力张量分量形式矩阵形式2023/8/1410第10页，课件共68页，创作于2023年2月第二节斜截面上应力分量一、应力矢量的坐标分量展开世俗矩阵2023/8/1411第11页，课件共68页，创作于2023年2月总应力t（totalstress）正应力（normalstress）展开世俗剪应力（shearstress）二、应力矢量的法切分量2023/8/1412第12页，课件共68页，创作于2023年2月例题3.1已知某点的应力张量（MPa）试求法线方向余弦为（1/2、1/2、1/2）斜面上的总应力、正应力和剪应力。解2023/8/1413第13页，课件共68页，创作于2023年2月总应力MPaMPa2023/8/1414第14页，课件共68页，创作于2023年2月正应力MPa剪应力MPa2023/8/1415第15页，课件共68页，创作于2023年2月例题3.2物体一点承受静水压力p，形成如下球形应力张量试求过该点的任意斜截面上的应力。解2023/8/1416第16页，课件共68页，创作于2023年2月总应力：t=p正应力剪应力（切应力）球形应力状态下，任意斜截面上的剪应力（切应力）为零、正应力等于静水压力。2023/8/1417第17页，课件共68页，创作于2023年2月三、球形张量的几何解释基本关系矩阵形式任意斜截面上的应力大小的平方或令球面方程2023/8/1418第18页，课件共68页，创作于2023年2月应力球面若以斜截面上应力矢量的分量为直角坐标轴，则应力球面的球心位于坐标原点，半径为p说明过O的每一斜平面上的应力矢量t(n)，矢端落在球面上球面方程应力球张量球形应力张量得名原因2023/8/1419第19页，课件共68页，创作于2023年2月第三节应力张量坐标变换新旧坐标系之间的关系

原点o相同旧坐标系xi、新坐标系x

i

x1x2x3x

3x

1x

2o由第二章的定义，张量的分量满足坐标变换关系应力张量是二阶张量，应满足相应关系2023/8/1420第20页，课件共68页，创作于2023年2月应力分量之间的关系用矩阵表示直接用矩阵相乘，方便。不需要展开成具体表达式，那样公式形式很复杂。或2023/8/1421第21页，课件共68页，创作于2023年2月例题3.3试求柱坐标应力分量和直角坐标应力分量之间的关系。解：坐标系之间转换矩阵

以柱坐标系为新坐标直角坐标系为旧坐标

x1

x2

x3

x

1cos

sin

0x

2-sin

cos

0x

3001o

x1x2x3x

1x

2x

3

2023/8/1422第22页，课件共68页，创作于2023年2月应力分量之间的关系2023/8/1423第23页，课件共68页，创作于2023年2月展开正应力结果世俗2023/8/1424第24页，课件共68页，创作于2023年2月展开切应力结果世俗2023/8/1425第25页，课件共68页，创作于2023年2月对于平面上的极坐标

剔除和z有关的量即可或2023/8/1426第26页，课件共68页，创作于2023年2月第四节主应力和主方向一、控制方程主应力和主方向的概念只有正应力而无剪应力的斜平面为主平面主平面上的正应力

=主应力斜平面的方向（法线）n=主方向可以证明，主应力是斜截面上正应力的极值2023/8/1427第27页，课件共68页，创作于2023年2月控制方程指标方程n1、n2、n3有非零解的条件就是系数行列式为零代数方程展开2023/8/1428第28页，课件共68页，创作于2023年2月展开得关于主应力(特征值)的三次方程即其中系数称为应力张量的不变量（与坐标无关）：

I1—应力张量第一不变量I2—应力张量第二不变量I3—应力张量第三不变量其实，主应力就是二阶应力张量的主值，或应力矩阵的特征值2023/8/1429第29页，课件共68页，创作于2023年2月FirstInvariantSecondInvariantThirdInvariant试证明它们与坐标系无关2023/8/1430第30页，课件共68页，创作于2023年2月

Thethreeprincipalstresses

1,

2,and

3areconstantforagivenstateofstress.Thestressstatemaybeexpressedintermsofprincipalstressesas

Where

1aremaximumprincipalstress,so-calledthefirstprincipalstress,

3areminimumprincipalstress,so-calledthethirdprincipalstress,and

2areso-calledsecondprincipalstress.2023/8/1431第31页，课件共68页，创作于2023年2月分别将每个主应力代入方程中的两个（只有两个独立）再补充一个几何关系便可得到相应的主方向每个主应力对应一个方向（主方向）2023/8/1432第32页，课件共68页，创作于2023年2月二、主应力的求解方法三角函数法解一元三次方程变量代换（消去二次项）引入变量x消去二次项其中代入方程2023/8/1433第33页，课件共68页，创作于2023年2月令关于x的三个根为按大小排序：x1、x2、x3没有二次项的三次方程，由卡尔丹公式解x三个主应力2023/8/1434第34页，课件共68页，创作于2023年2月一元三次方程改写方程迭代格式迭代初值约取线性解迭代得到方程的一个根，然后进行因式分解，解二次方程得另外两个根迭代法求解主应力2023/8/1435第35页，课件共68页，创作于2023年2月Example3.4AgivenstressstateisexpressedasTheunitsofeachstressinMPa.Findthemagnitudesoftheprincipalstressesandthedirectioncosinesdefiningthelineofactionofthelargestprincipalstresswithrespecttotheoriginalcoordinateaxes.2023/8/1436第36页，课件共68页，创作于2023年2月Solution.2023/8/1437第37页，课件共68页，创作于2023年2月关于主应力的三次方程

Thethreerootsoftheaboveequationare

Thedirectioncosinesofthelargestprincipalstresssatisfythefollowingrelations2023/8/1438第38页，课件共68页，创作于2023年2月

Usinganytwooftheabovethreeequationsplustheidentitythatn12+n22+n32=1,thevaluesforn1,n2,andn3arethenfound.Forthisparticularexample,n1=n2=n3sothatSo,

andcos

=n1,

=

=

=54.74

问题：第二、第三主应力的方向？2023/8/1439第39页，课件共68页，创作于2023年2月例题3.5已知应力张量试计算主应力值，并求主方向。解主应力大小单位：MPa一元三次方程《解法一》：三角解法2023/8/1440第40页，课件共68页，创作于2023年2月不变量2023/8/1441第41页，课件共68页，创作于2023年2月中间参数2023/8/1442第42页，课件共68页，创作于2023年2月主应力MPaMPaMPa2023/8/1443第43页，课件共68页，创作于2023年2月本题取初值《解法二》：迭代法2023/8/1444第44页，课件共68页，创作于2023年2月结果44.07取一位小数则为:

=44.1MPa对三次方程进行因式分解2023/8/1445第45页，课件共68页，创作于2023年2月得解二次方程MPa所以三个主应力依次为：

1=107.3MPa，

2=44.1MPa，

3=-91.4MPa2023/8/1446第46页，课件共68页，创作于2023年2月主方向

第一主应力的方向即解得2023/8/1447第47页，课件共68页，创作于2023年2月课堂练习题求如下应力状态的主应力和主方向，并计算最大剪应力值。同理解得：第二主应力的方向：0.948，0.282，0.146第三主应力的方向：0.048，0.337，-0.9402023/8/1448第48页，课件共68页，创作于2023年2月三、剪应力的极值主坐标下斜截面上的剪应力应力矢量的坐标分量应力矢量的大小t

正应力大小

N2023/8/1449第49页，课件共68页，创作于2023年2月斜截面上剪应力它是截面法线方向余弦n1、n2、n3的函数斜截面上剪应力的极值极值条件剪应力表达式中方向余弦n1、n2、n3并不独立，它们满足条件或2023/8/1450第50页，课件共68页，创作于2023年2月剪应力的极值属于数学上的条件极值问题，可用拉格朗日乘子法求解。—拉格朗日乘子由驻值条件和约束条件得到方程组2023/8/1451第51页，课件共68页，创作于2023年2月求剪应力极值的方程组解方程组得到ni，带回剪应力公式，即可得到剪应力的极值2023/8/1452第52页，课件共68页，创作于2023年2月剪应力的极值（1）（2）（3）最大剪应力极值剪应力所在平面与主平面夹45

课外练习：试证明斜截面上正应力的极值就是主应力。2023/8/1453第53页，课件共68页，创作于2023年2月四、莫尔应力圆圆的方程主坐标下联立解得2023/8/1454第54页，课件共68页，创作于2023年2月斜截面法线方向余弦应满足条件即应力点在C1圆以外由应力点在C2圆以内由应力点在C3圆以外以斜截面上的正应力

N为横坐标，剪应力N为纵坐标，应力点在阴影部分内2023/8/1455第55页，课件共68页，创作于2023年2月应力圆ThenormalandshearstressesintheinclindedplanemayberepresentedgraphicallybyausefuldeviceknownasMohr’scircleforstress.2023/8/1456第56页，课件共68页，创作于2023年2月应力圆的应用任意斜截面上的正应力、切应力在圆内某点取得剪应力的极值

极值剪应力所在平面与相应主平面夹45角Themaximumshearstressis

132023/8/1457第57页，课件共68页，创作于2023年2月一、正八面体构成正八面体的定义每个卦限一个面=八面每个面的法线与坐标轴等角任意一个面上的法线方向余弦x2x1x3第五节八面体上的应力2023/8/1458第58页，课件共68页，创作于2023年2月二、正八面体上任意一个面上的应力坐标系设坐标平面为主平面应力张量如上所示应力矢量的分量坐标分量x2x1x32023/8/1459第59页，课件共68页，创作于2023年2月八面体上总应力八面体上正应力=平均应力=静水压力该应力与材料的破坏无关！2023/8/1460第60页，课件共68页，创作于2023年2月八面体上剪应力与塑性力学关系密切！与屈服准则有关！可解释第四强度理论！2023/8/1461第61页，课件共68页，创作于2023年2月第六节平衡微分方程

Wedenotethecomponentsofthebodyforcevector(forceperunitvolume)byfi一、主矢为零（力平衡）EquilibriumEquationx1x2x3xixifiniti(n