湖南省岳阳市长安镇学区联校高一数学文测试题含解析

湖南省岳阳市长安镇学区联校高一数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直角梯形ABCD如图1，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f（x）．如果函数y=f（x）的图象如图2所示，则△ABC的面积为（）A．10 B．32 C．18 D．16参考答案：D【考点】函数的图象与图象变化．【分析】由y=f（x）的图象可知，当x由0→4时，f（x）由0变成最大，说明BC=4，由x从4→9时f（x）不变，说明此时P点在DC上，即CD=5，由x从9→14时f（x）变为0，说明此时P点在AD上，即AD=5．所以可求AB的长，最后求出答案．【解答】解：由题意知，BC=4，CD=5，AD=5过D作DG⊥AB∴AG=3，由此可求出AB=3+5=8．S△ABC=AB?BC=×8×4=16．故选D．2.从一批产品中取出三件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件B为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（

）A.事件A与C互斥 B.事件B与C互斥C.任何两个事件均互斥 D.任何两个事件均不互斥参考答案：B【分析】根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项。【详解】为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，为三件产品全是次品，为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：与是互斥事件；与是包含关系，不是互斥事件；与是互斥事件，故选B．【点睛】本题主要考查互斥事件定义的应用。3.已知正方形的边长为，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略4.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），则f（6）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：B【考点】奇函数．【分析】利用奇函数的性质f（0）=0及条件f（x+2）=﹣f（x）即可求出f（6）．【解答】解：因为f（x+2）=﹣f（x），所以f（6）=﹣f（4）=f（2）=﹣f（0），又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，所以f（6）=0，故选B．5.已知cos（θ+）=，θ∈（0，），则cosθ=（）A．B．C．D．参考答案：B考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．

专题：三角函数的求值．分析：由同角三角函数的基本关系可得sin（θ+），而cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos（θ+）+sin（θ+），代入计算可得．解答：解：∵cos（θ+）=，θ∈（0，），∴sin（θ+）==，∴cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos（θ+）+sin（θ+）=+=，故选：B．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．6.函数单调增区间是（

）

、

、

、

、参考答案：B略7.已知函数若f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(

)(A)(B)(C)(D)参考答案：D略8.（5分）一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为（） A． 2 B． C． 2 D． 4参考答案：D考点： 平面图形的直观图．专题： 计算题；作图题．分析： 根据斜二测画法的规则将图形还原，平面图是一个直角梯形，面积易求．解答： 解：如图，有斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍，如直观图，OA'的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍，故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4．故应选D．点评： 本题考查斜二测画法作图规则，属于规则逆用的题型．9.已知集合，，则（）．A．{1,3} B．{2,4,5} C．{1,2,3,4,5} D．参考答案：A解：∵集合，，∴，故选：．10.方程的实根分别为，则等于（

）

A.

B.

C.

D.1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.2﹣3，，log25三个数中最大数的是．参考答案：log25【考点】72：不等式比较大小．【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得0＜2﹣3＜1，1＜＜2，log25＞log24=2，即可得到最大数．【解答】解：由于0＜2﹣3＜1，1＜＜2，log25＞log24=2，则三个数中最大的数为log25．故答案为：log25．12.在数列{an}中，，则____.参考答案：18【分析】直接利用等比数列的通项公式得答案．【详解】解：在等比数列中，由，公比，得．故答案为：18．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础题．13.已知函数f（x）=x3+x，若，则实数a的取值范围是．参考答案：（0，1）∪（2，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，易知函数f（x）是奇函数且为R上的增函数，且f（1）=2，所以不等式可化为f（loga2）＜f（1），即loga2＜1．对a的范围分2种情况讨论：①0＜a＜1时，②a＞1时，分别求出a的范围，综合可得答案．【解答】解：根据题意，对于f（x）=x3+x，其定义域为R，有f（﹣x）=﹣（x3+x）=﹣f（x），即f（x）为奇函数，又由f′（x）=3x2+1＞0，则函数f（x）为增函数，若，则有f（loga2）＜f（1），即loga2＜1；当0＜a＜1时，loga2＜0，则loga2＜1恒成立，当a＞1时，loga2＜1?a＞2，综合可得：a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）；故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．14.一个棱长为2cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为．参考答案：4π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】求出正方体的对角线的长度，就是外接球的直径，利用球的体积公式求解即可．【解答】解：因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2，所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度：2．所以球的半径为：．所求球的体积为=4π．故答案为4π．【点评】本题考查球的内接体，球的体积的求法，求出球的半径是解题的关键，考查计算能力．15.二次函数y=x2-4x+3在区间[1，4]上的值域

参考答案：[-1,3]16.已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f()的大小关系为_

___．参考答案：17.若集合，，则=______________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.定义在R上的偶函数f(x)，当时，．（1）求函数f(x)在上的解析式；（2）求函数f(x)在上的最大值和最小值．参考答案：………….3分……..7分上单调递增，在上单调递减……..9分………………12分………………15分19.已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量，且．（1）求A；（2）若，求的取值范围．参考答案：（1）；（2）.【分析】(1)由，得，逐步化简可得，可得答案.(2)由正弦定理、三角形内角和把表示为一个角的函数，再求其取值范围.【详解】(1)由，得，则，则，即，故.又，所以.所以.（2）因为，，所以由正弦定理得.所以.所以.其中，则，所以，.所以的取值范围是.【点睛】本题考查三角形中综合问题，考查向量垂直的条件、正弦定理、三角恒等变换、三角函数的性质等.三角函数、平面向量、解三角形的知识联系紧密，解题时也经常综合在一起应用.20.已知函数有如下性质：该函数在上是减函数，在上是增函数．（1）若a=4，求f（x）在区间[1，3]上的最大值与最小值；（2）若x∈[1，3]时，不等式f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】函数与方程的综合运用．【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意可得f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，可得f（x）的最小值为f（2），最大值为f（3）；（2）讨论①若即0＜a≤1，②若即1＜a＜9，③若即a≥9，求出单调性，可得最小值，解不等式即可得到所求a的范围．【解答】解：（1）a=4时，f（x）=，则f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，fmin（x）=f（2）=4，fmax（x）=max{f（1），f（3）}=；（2）①若即0＜a≤1，则f（x）在[1，3]上单调递增，fmin（x）=f（1）=1+a．所以，1+a≥2，即a≥1，所以a=1．

②若即1＜a＜9，则f（x）在[1，a]上单调递减，在[a，3]上单调递增，fmin（x）=f（）=2．所以，2≥2，得a≥1，又1＜a＜9，∴1＜a＜9

③若即a≥9，则f（x）在[1，3]上单调递减，fmin（x）=f（3）=3+≥2，得a≥﹣3，又a≥9，∴a≥9．

综上，a的取值范围是a≥1．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和单调性的运用，属于中档题．21.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（1，0）和点B（﹣1，0），||=1，且∠AOC=x，其中O为坐标原点．（1）若x=，设点D为线段OA上的动点，求|+|的最小值；（2）若x∈（0，），向量，，求的最小值及对应的x值．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）设D（t，0）（0≤t≤1），利用二次函数的性质求得它的最小值．（2）由题意得=1﹣sin（2x+），再利用正弦函数的定义域和值域求出它的最小值．【解答】解：（1）设D（t，0）（0≤t≤1），由题易知C（﹣，），所以+=（﹣+t，）所以|+|2=﹣t+t2+=t2﹣t+1=（t﹣）2+（0≤t≤1），所以当t=时，|+|最小，为．（2）由题意，得C（cosx，sinx），m==（cosx+1，sinx），则m?n=1﹣cos2x+sin2x﹣2sinxcosx=1﹣cos2x﹣sin2x=1﹣sin（2x+），因为x∈[0，]，所以≤2x+≤，所以当2x+=，即x=时，sin（2x+）取得最大值1，所以m?n的最小值为1﹣，此时x=．22.一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议． 参考答案：【考点】在实际问题中建立三角函数模型． 【分析】分类讨论，按照方案一，二的要求进行讨论． 方案一：连OC，设，设矩形ABCD的面积为y，则y=ABBC，通过代入化简，由三角函数的最值确定的条件，可以得出答案； 方案二：作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，设矩形EFGH的面积为S，求出S的式子，由三角函数的性质求出最值． 最后，比较二者最大值的大小，选出最大值即可得出答案． 【解答】解：按方案一：如图，连OC，设， 在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx 在Rt△OAD中，，得， 则，设矩形ABCD的面积为y，则 y=ABBC==sin（2x+）﹣， 由得． 所