浙江省绍兴市2023-2023三年中考数学真题分类汇编4份打包含解析

第第页浙江省绍兴市2023-2023三年中考数学真题分类汇编(4份打包，含解析）浙江省绍兴市2023-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类

一．相反数（共1小题）

1．（2022绍兴）实数﹣6的相反数是（）

A．B．C．﹣6D．6

二．有理数的减法（共1小题）

2．（2023绍兴）计算2﹣3的结果是（）

A．﹣1B．﹣3C．1D．3

三．科学记数法—表示较大的数（共3小题）

3．（2023绍兴）据报道，2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计274000000人次．数字274000000用科学记数法表示是（）

A．27.4×107B．2.74×108C．0.274×109D．2.74×109

4．（2022绍兴）2022年北京冬奥会3个赛区场馆使用绿色电力，减排320000吨二氧化碳．数字320000用科学记数法表示是（）

A．3.2×106B．3.2×105C．3.2×104D．32×104

5．（2023绍兴）第七次全国人口普查数据显示，绍兴市常住人口约为5270000人，这个数字5270000用科学记数法可表示为（）

A．0.527×107B．5.27×106C．52.7×105D．5.27×107

四．实数大小比较（共1小题）

6．（2023绍兴）实数2，0，﹣3，中，最小的数是（）

A．2B．0C．﹣3D．

五．整式的除法（共1小题）

7．（2022绍兴）下列计算正确的是（）

A．（a2+ab）÷a＝a+bB．a2a＝a2

C．（a+b）2＝a2+b2D．（a3）2＝a5

六．整式的混合运算（共1小题）

8．（2023绍兴）下列计算正确的是（）

A．a6÷a2＝a3B．（﹣a2）5＝﹣a7

C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1D．（a+1）2＝a2+1

七．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）

9．（2023绍兴）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是（）

A．B．

C．D．

八．函数的图象（共1小题）

10．（2023绍兴）已知点M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（）

A．B．

C．D．

九．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）

11．（2022绍兴）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（）

A．若x1x2＞0，则y1y3＞0B．若x1x3＜0，则y1y2＞0

C．若x2x3＞0，则y1y3＞0D．若x2x3＜0，则y1y2＞0

一十．二次函数的性质（共2小题）

12．（2022绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（）

A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5

13．（2023绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）

A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6

一十一．直角三角形的性质（共1小题）

14．（2022绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

一十二．菱形的性质（共1小题）

15．（2023绍兴）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）

A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形

B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形

C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

一十三．菱形的判定与性质（共1小题）

16．（2023绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）

A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形

B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形

C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形

D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形

一十四．正方形的性质（共1小题）

17．（2023绍兴）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF．点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（）

A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形

B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形

C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形

D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形

一十五．正方形的判定（共1小题）

18．（2022绍兴）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：

①存在无数个平行四边形MENF；

②存在无数个矩形MENF；

③存在无数个菱形MENF；

④存在无数个正方形MENF．

其中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

一十六．正多边形和圆（共1小题）

19．（2023绍兴）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

一十七．坐标与图形变化-平移（共1小题）

20．（2023绍兴）在平面直角坐标系中，将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（）

A．（m﹣2，n﹣1）B．（m﹣2，n+1）C．（m+2，n﹣1）D．（m+2，n+1）

一十八．相似三角形的性质（共1小题）

21．（2022绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）

A．B．C．10D．

一十九．相似三角形的判定与性质（共1小题）

22．（2023绍兴）如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F、N是线段BF上的点，BN＝2NF：M是线段DE上的点，DM＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（）

A．△AFE的面积B．△BDF的面积C．△BCN的面积D．△DCE的面积

二十．相似三角形的应用（共1小题）

23．（2023绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（）

A．2mB．3mC．mD．m

二十一．解直角三角形（共1小题）

24．（2023绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（）

A．B．C．D．2

二十二．简单组合体的三视图（共3小题）

25．（2023绍兴）由8个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）

A．B．

C．D．

26．（2022绍兴）由七个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）

A．B．C．D．

27．（2023绍兴）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）

A．B．C．D．

二十三．概率公式（共3小题）

28．（2023绍兴）在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（）

A．B．C．D．

29．（2022绍兴）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（）

A．B．C．D．

30．（2023绍兴）在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（）

A．B．C．D．

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参考答案与试题解析

一．相反数（共1小题）

1．（2022绍兴）实数﹣6的相反数是（）

A．B．C．﹣6D．6

【答案】D

【解答】解：﹣6的相反数是6，

故选：D．

二．有理数的减法（共1小题）

2．（2023绍兴）计算2﹣3的结果是（）

A．﹣1B．﹣3C．1D．3

【答案】A

【解答】解：2﹣3＝﹣1．

故选：A．

三．科学记数法—表示较大的数（共3小题）

3．（2023绍兴）据报道，2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计274000000人次．数字274000000用科学记数法表示是（）

A．27.4×107B．2.74×108C．0.274×109D．2.74×109

【答案】B

【解答】解：274000000＝2.74×108．

故选：B．

4．（2022绍兴）2022年北京冬奥会3个赛区场馆使用绿色电力，减排320000吨二氧化碳．数字320000用科学记数法表示是（）

A．3.2×106B．3.2×105C．3.2×104D．32×104

【答案】B

【解答】解：320000＝3.2×105，

故选：B．

5．（2023绍兴）第七次全国人口普查数据显示，绍兴市常住人口约为5270000人，这个数字5270000用科学记数法可表示为（）

A．0.527×107B．5.27×106C．52.7×105D．5.27×107

【答案】B

【解答】解：5270000＝5.27×106．

故选：B．

四．实数大小比较（共1小题）

6．（2023绍兴）实数2，0，﹣3，中，最小的数是（）

A．2B．0C．﹣3D．

【答案】C

【解答】解：∵﹣3＜0＜＜2，

∴最小的数是﹣3，

故选：C．

五．整式的除法（共1小题）

7．（2022绍兴）下列计算正确的是（）

A．（a2+ab）÷a＝a+bB．a2a＝a2

C．（a+b）2＝a2+b2D．（a3）2＝a5

【答案】A

【解答】解：A选项，原式＝a2÷a+ab÷a＝a+b，故该选项符合题意；

B选项，原式＝a3，故该选项不符合题意；

C选项，原式＝a2+2ab+b2，故该选项不符合题意；

D选项，原式＝a6，故该选项不符合题意；

故选：A．

六．整式的混合运算（共1小题）

8．（2023绍兴）下列计算正确的是（）

A．a6÷a2＝a3B．（﹣a2）5＝﹣a7

C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1D．（a+1）2＝a2+1

【答案】C

【解答】解：A．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意；

B．（﹣a2）5＝﹣a10，故此选项不合题意；

C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，故此选项符合题意；

D．（a+1）2＝a2+2a+1，故此选项不合题意．

故选：C．

七．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）

9．（2023绍兴）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解答】解：由题意得：，

故选：B．

八．函数的图象（共1小题）

10．（2023绍兴）已知点M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解答】解：由N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项A、C不符合题意；

由M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，故选项B符合题意；

故选：B．

九．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）

11．（2022绍兴）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（）

A．若x1x2＞0，则y1y3＞0B．若x1x3＜0，则y1y2＞0

C．若x2x3＞0，则y1y3＞0D．若x2x3＜0，则y1y2＞0

【答案】D

【解答】解：∵直线y＝﹣2x+3，

∴y随x的增大而减小，当y＝0时，x＝1.5，

∵（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，

∴若x1x2＞0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意；

若x1x3＜0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意；

若x2x3＞0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意；

若x2x3＜0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2＞0，故选项D符合题意；

故选：D．

一十．二次函数的性质（共2小题）

12．（2022绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（）

A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5

【答案】D

【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，

∴﹣＝2，

解得m＝﹣4，

∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，

∴x2﹣4x﹣5＝0，

∴（x﹣5）（x+1）＝0，

解得x1＝5，x2＝﹣1，

故选：D．

13．（2023绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）

A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6

【答案】D

【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，

∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝4取得最小值6，

故选：D．

一十一．直角三角形的性质（共1小题）

14．（2022绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

【答案】C

【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，

∴∠C＝∠CBF＝30°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

故选：C．

一十二．菱形的性质（共1小题）

15．（2023绍兴）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）

A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形

B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形

C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

【答案】C

【解答】解：∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，

当AP⊥BC时，此时△ABP为直角三角形；

当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；

当P为CD中点时，△ABP为直角三角形；

当点P与点D重合时，此时△ABP为等腰三角形，

故选：C．

一十三．菱形的判定与性质（共1小题）

16．（2023绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）

A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形

B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形

C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形

D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形

【答案】B

【解答】解：如图所示，

用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；

用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，

用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，

用5个相同的菱形放置，最多能得到29个菱形，

用6个相同的菱形放置，最多能得到47个菱形．

故选：B．

一十四．正方形的性质（共1小题）

17．（2023绍兴）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF．点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（）

A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形

B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形

C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形

D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形

【答案】A

【解答】解：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，∠BAD＝∠ABC＝90°，

∴∠BDC＝∠ABD＝60°，∠ADB＝∠CBD＝90°﹣60°＝30°，

∵OE＝OF、OB＝OD，

∴DF＝EB，

∵对称，

∴DF＝DF2，BF＝BF1，BE＝BE2，DE＝DE1，E1F2＝E2F1．

∵对称

∴∠F2DC＝∠CDF＝60°，

∴∠EDA＝∠E1DA＝30°，

∴∠E1DB＝60°，

同理∠F1BD＝60°，

∴DE1∥BF1，

∵E1F2＝E2F1，

∴四边形E1E2F1F2是平行四边形，

如图2所示，当E，F，O三点重合时，DO＝OB，

∴DE1＝DF2＝AE1＝AE2，即E1E2＝E1F2，

∴四边形E1E2F1F2是菱形．

如图3所示，当E，F分别为OD，OB的中点时，设DB＝4，则DF2＝DF＝1，DE1＝DE＝3，

在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝2，连接AE，AO，

∵∠ABO＝60°，BO＝2＝AB，

∴△ABO是等边三角形，

∵E为OB中点，

∴AE⊥OB，BE＝1，

∴．

根据对称性可得．

∴AD2＝12，＝9，＝3，

∴，

∴ΔDE1A是直角三角形，且∠E1＝90°，

四边形E1E2F1F2是矩形．

当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1都是等边三角形，则四边形E1E2F2F2是菱形，

∴在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，

故选：A．

一十五．正方形的判定（共1小题）

18．（2022绍兴）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：

①存在无数个平行四边形MENF；

②存在无数个矩形MENF；

③存在无数个菱形MENF；

④存在无数个正方形MENF．

其中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【解答】解：连接AC，MN，且令AC，MN，BD相交于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵BE＝DF，

∴OE＝OF，

只要OM＝ON，那么四边形MENF就是平行四边形，

∵点E，F是BD上的动点，

∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；

只要MN＝EF，OM＝ON，则四边形MENF是矩形，

∵点E，F是BD上的动点，

∴存在无数个矩形MENF，故②正确；

只要MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是菱形，

∵点E，F是BD上的动点，

∴存在无数个菱形MENF，故③正确；

只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是正方形，

而符合要求的正方形只有一个，故④错误；

故选：C．

一十六．正多边形和圆（共1小题）

19．（2023绍兴）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

【答案】B

【解答】解：连接OB、OC，如图，

∵正方形ABCD内接于⊙O，

∴所对的圆心角为90°，

∴∠BOC＝90°，

∴∠BPC＝∠BOC＝45°．

故选：B．

一十七．坐标与图形变化-平移（共1小题）

20．（2023绍兴）在平面直角坐标系中，将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（）

A．（m﹣2，n﹣1）B．（m﹣2，n+1）C．（m+2，n﹣1）D．（m+2，n+1）

【答案】D

【解答】解：将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（m+2，n+1），

故选：D．

一十八．相似三角形的性质（共1小题）

21．（2022绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）

A．B．C．10D．

【答案】A

【解答】解：如右图1所示，

由已知可得，△DFE∽△ECB，

则，

设DF＝x，CE＝y，

则，

解得，

∴DE＝CD+CE＝6+＝，故选项B不符合题意；

EB＝DF+AD＝+2＝，故选项D不符合题意；

如图2所示，

由已知可得，△DCF∽△FEB，

则，

设FC＝m，FD＝n，

则，

解得，

∴FD＝10，故选项C不符合题意；

BF＝FC+BC＝8+7＝15；

如图3所示：

此时两个直角三角形的斜边长为6和7；

故选：A．

一十九．相似三角形的判定与性质（共1小题）

22．（2023绍兴）如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F、N是线段BF上的点，BN＝2NF：M是线段DE上的点，DM＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（）

A．△AFE的面积B．△BDF的面积C．△BCN的面积D．△DCE的面积

【答案】D

【解答】解：如图所示，连接ND，

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．

∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．

∴＝，

∵DM＝2ME，BN＝2NF，

∴，．

∴

∴，

又∵∠NFD＝∠MEC，

∴△NFD∽△MEC．

∴∠ECM＝∠FDN．

∵∠FDB＝∠ECD，

∴∠MCD＝∠NDB．

∴MC∥ND．

∴S△MNC＝S△MDC．

∵DM＝2ME，

∴．

故选：D．

二十．相似三角形的应用（共1小题）

23．（2023绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（）

A．2mB．3mC．mD．m

【答案】A

【解答】解：∵AB∥OP，

∴△CAB∽△CPO，

∴，

∴，

∴AB＝2（m），

故选：A．

二十一．解直角三角形（共1小题）

24．（2023绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（）

A．B．C．D．2

【答案】D

【解答】解：设DE交AC于T,过点E作EH⊥CD于H．

∵∠BAC＝90°,BD＝DC,

∴AD＝DB＝DC,

∴∠B＝∠DAB,

∵∠B＝∠ADE,

∴∠DAB＝∠ADE,

∴AB∥DE,

∴∠DTC＝∠BAC＝90°,

∵DT∥AB,BD＝DC,

∴AT＝TC,

∴EA＝EC＝ED,

∴∠EDC＝∠ECD,

∵EH⊥CD,

∴CH＝DH,

∵DE∥AB,

∴∠EDC＝∠B,

∴∠ECD＝∠B,

∴cos∠ECH＝cosB＝,

∴＝,

∴＝＝2,

故选：D．

二十二．简单组合体的三视图（共3小题）

25．（2023绍兴）由8个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解答】解：如图所示：它的主视图是：

．

故选：D．

26．（2022绍兴）由七个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解答】解：由图可得，

题目中图形的主视图是，

故选：B．

27．（2023绍兴）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边一个小正方形，

故选：D．

二十三．概率公式（共3小题）

28．（2023绍兴）在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解答】解：从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是：＝，

故选：C．

29．（2022绍兴）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解答】解：∵总共有4个球，其中红球有3个，摸到每个球的可能性都相等，

∴摸到红球的概率P＝，

故选：A．

30．（2023绍兴）在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解答】解：∵袋子中共有6个小球，其中白球有1个，

∴摸出一个球是白球的概率是，

故选：A．

第1页（共1页）浙江省绍兴市2023-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类

一．解一元一次不等式（共2小题）

1．（2023绍兴）（1）计算：；

（2）解不等式：3x﹣2＞x+4．

2．（2023绍兴）（1）计算：4sin60°﹣+（2﹣）0．

（2）解不等式：5x+3≥2（x+3）．

二．二次函数的最值（共1小题）

3．（2022绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．

（1）求b，c的值．

（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．

（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．

三．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）

4．（2023绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．

（1）当b＝4，c＝3时，

①求该函数图象的顶点坐标；

②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；

（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．

四．三角形综合题（共1小题）

5．（2022绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．

（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．

（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．

五．切线的性质（共1小题）

6．（2022绍兴）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD．

（1）若∠ACB＝20°，求的长（结果保留π）．

（2）求证：AD平分∠BDO．

六．特殊角的三角函数值（共1小题）

7．（2022绍兴）（1）计算：6tan30°+（π+1）0﹣．

（2）解方程组：．

七．解直角三角形的应用（共2小题）

8．（2022绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．

（1）求∠BAD的度数．

（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．

（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）

9．（2023绍兴）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．

（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）．

（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．

八．用样本估计总体（共1小题）

10．（2023绍兴）某校兴趣小组通过调查，形成了如表调查报告（不完整）．

调查目的1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议

调查方式随机抽样调查调查对象部分初中生

调查内容调查你最喜爱的一个球类运动项目（必选）A．篮球B．乒乓球C．足球D．排球E．羽毛球

调查结果

建议…

结合调查信息，回答下列问题：

（1）本次调查共抽查了多少名学生？

（2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数．

（3）假如你是小组成员，请向该校提一条合理建议．

九．扇形统计图（共1小题）

11．（2022绍兴）双减政策实施后，学校为了解八年级学生每日完成书面作业所需时长x（单位：小时）的情况，在全校范围内随机抽取了八年级若干名学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题．

八年级学生每日完成书面作业所需时长情况的统计表

组别所需时长（小时）学生人数（人）

A0＜x≤0.515

B0.5＜x≤1m

C1＜x≤1.5n

D1.5＜x≤25

（1）求统计表中m，n的值．

（2）已知该校八年级学生有800人，试估计该校八年级学生中每日完成书面作业所需时长满足0.5＜x≤1.5的共有多少人．

一十．条形统计图（共1小题）

12．（2023绍兴）绍兴莲花落，又称“莲花乐”，“莲花闹”，是绍兴一带的曲艺．为了解学生对该曲种的熟悉度，某校设置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，随机抽查了部分学生进行问卷调查，要求每名学生只选其中的一项，并将抽查结果绘制成不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图2中“了解”的扇形圆心角的度数；

（2）全校共有1200名学生，请你估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有多少人．

浙江省绍兴市2023-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类

参考答案与试题解析

一．解一元一次不等式（共2小题）

1．（2023绍兴）（1）计算：；

（2）解不等式：3x﹣2＞x+4．

【答案】（1）1；

（2）x＞3．

【解答】解：（1）

＝

＝1；

（2）3x﹣2＞x+4，

移项得：3x﹣x＞4+2，

即：2x＞6，

系数化为1，得：x＞3，

∴原不等式的解是：x＞3．

2．（2023绍兴）（1）计算：4sin60°﹣+（2﹣）0．

（2）解不等式：5x+3≥2（x+3）．

【答案】（1）1；

（2）x≥1．

【解答】解：（1）原式＝2﹣2+1

＝1；

（2）5x+3≥2（x+3），

去括号得：5x+3≥2x+6,

移项得：5x﹣2x≥6﹣3，

合并同类项得：3x≥3，

解得：x≥1．

二．二次函数的最值（共1小题）

3．（2022绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．

（1）求b，c的值．

（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．

（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．

【答案】（1）b＝﹣6，c＝﹣3；

（2）6；

（3）m＝﹣2或．

【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，

得b＝﹣6，c＝﹣3．

（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，

又∵﹣4≤x≤0，

∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．

（3）①当﹣3＜m≤0时，

当x＝0时，y有最小值为﹣3，

当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，

∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，

∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．

②当m≤﹣3时，

当x＝﹣3时y有最大值为6，

∵y的最大值与最小值之和为2，

∴y最小值为﹣4，

∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，

∴m＝或m＝（舍去）．

综上所述，m＝﹣2或．

三．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）

4．（2023绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．

（1）当b＝4，c＝3时，

①求该函数图象的顶点坐标；

②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；

（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．

【答案】（1）（2，7）；

（2）﹣2≤y≤7；

（3）y＝﹣x2+2x+2．

【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3时，

∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，

∴顶点坐标为（2，7）．

②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），

∴当x＝2时，y有最大值7，

∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，

∴当x＝﹣1时，y有最小值为：﹣2，

∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．

（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，

∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴b＞0，

∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，

∴c＝2，

又∵，

∴b＝±2，

∵b＞0，

∴b＝2．

∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+2．

四．三角形综合题（共1小题）

5．（2022绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．

（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．

（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．

【答案】（1）α的度数为25°；

（2）当点P在线段BE上时，2α﹣β＝50°；当点P在线段CE上时，2α+β＝50°．

【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝50°，

∵AE平分∠BAC，P与E重合，

∴D在AB边上，AC＝AD，

∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°，

∴α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；

答：α的度数为25°；

（2）①当点P在线段BE上时，如图：

∵将△APC沿AP翻折得△APD，

∴AC＝AD，

∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，

∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，

又∵∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，∠BAD＝β，∠B＝40°，

∴（90°﹣α）+β＝40°+α，

∴2α﹣β＝50°，

②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图：

∵将△APC沿AP翻折得△APD，

∴AC＝AD，

∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，

∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，

又∵∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD，

∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD+∠BCD＝40°+β+α，

∴90°﹣α＝40°+α+β，

∴2α+β＝50°；

综上所述，当点P在线段BE上时，2α﹣β＝50°；当点P在线段CE上时，2α+β＝50°．

五．切线的性质（共1小题）

6．（2022绍兴）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD．

（1）若∠ACB＝20°，求的长（结果保留π）．

（2）求证：AD平分∠BDO．

【答案】（1）；

（2）证明见解答过程．

【解答】（1）解：连结OA，如图：

∵∠ACB＝20°，

∴∠AOD＝40°，

∴＝＝；

（2）证明：∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵AB切⊙O于点A，

∴OA⊥AB，

∵∠B＝90°，

∴OA∥BC，

∴∠OAD＝∠ADB，

∴∠ADB＝∠ODA，

∴AD平分∠BDO．

六．特殊角的三角函数值（共1小题）

7．（2022绍兴）（1）计算：6tan30°+（π+1）0﹣．

（2）解方程组：．

【答案】（1）1；

（2）．

【解答】解：（1）原式＝6×+1﹣2

＝

＝1；

（2），

①+②得：3x＝6，

解得x＝2，

把x＝2代入②，得：y＝0，

∴原方程组的解是．

七．解直角三角形的应用（共2小题）

8．（2022绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．

（1）求∠BAD的度数．

（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．

（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）

【答案】（1）47°；

（2）3.3米．

【解答】解：（1）∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，

∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝47°，

答：∠BAD的度数是47°．

（2）在Rt△ABC中，，

∴．

在Rt△ADC中，，

∵BD＝4，

∴，

∴，

∴AC≈3.3（米），

答：表AC的长是3.3米．

9．（2023绍兴）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．

（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）．

（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．

【答案】（1）106cm；

（2）能．

【解答】解：（1）过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，如图：

∵∠ABC＝143°，

∴∠CBQ＝53°，

在Rt△BCQ中，CQ＝BCsin53°≈70×0.8＝56cm，

∵CD∥l，

∴DE＝CP＝CQ+PQ＝56+50＝106cm．

（2）手臂端点D能碰到点M，

理由：由题意得，当B，C，D共线时，手臂端点D能碰到最远距离，

如图：

BD＝60+70＝130cm，AB＝50cm，

在Rt△ABD中，AB2+AD2＝BD2，

∴AD＝120cm＞110cm．

∴手臂端点D能碰到点M．

八．用样本估计总体（共1小题）

10．（2023绍兴）某校兴趣小组通过调查，形成了如表调查报告（不完整）．

调查目的1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议

调查方式随机抽样调查调查对象部分初中生

调查内容调查你最喜爱的一个球类运动项目（必选）A．篮球B．乒乓球C．足球D．排球E．羽毛球

调查结果

建议…

结合调查信息，回答下列问题：

（1）本次调查共抽查了多少名学生？

（2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数．

（3）假如你是小组成员，请向该校提一条合理建议．

【答案】（1）100名；

（2）360名；

（3）建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地（答案不唯一）．

【解答】解：（1）30÷30%＝100（名），

答：本次调查共抽查了100名学生．

（2）被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为：100×5%＝5（名），

∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：100﹣30﹣10﹣15﹣5＝40（名），

＝360（名），

答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360名．

（3）答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等．

九．扇形统计图（共1小题）

11．（2022绍兴）双减政策实施后，学校为了解八年级学生每日完成书面作业所需时长x（单位：小时）的情况，在全校范围内随机抽取了八年级若干名学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题．

八年级学生每日完成书面作业所需时长情况的统计表

组别所需时长（小时）学生人数（人）

A0＜x≤0.515

B0.5＜x≤1m

C1＜x≤1.5n

D1.5＜x≤25

（1）求统计表中m，n的值．

（2）已知该校八年级学生有800人，试估计该校八年级学生中每日完成书面作业所需时长满足0.5＜x≤1.5的共有多少人．

【答案】（1）m为60，n为20；

（2）估计共有640人．

【解答】解：（1）被调查总人数：15÷15%＝100（人），

∴m＝100×60%＝60（人），

n＝100﹣15﹣60﹣5＝20（人），

答：m为60，n为20；

（2）∵当0.5＜x≤1.5时，在被调查的100人中有60+20＝80（人），

∴在该校八年级学生800人中，每日完成书面作业所需时长满足0.5＜x≤1.5的共有800×＝640（人），

答：估计共有640人．

一十．条形统计图（共1小题）

12．（2023绍兴）绍兴莲花落，又称“莲花乐”，“莲花闹”，是绍兴一带的曲艺．为了解学生对该曲种的熟悉度，某校设置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，随机抽查了部分学生进行问卷调查，要求每名学生只选其中的一项，并将抽查结果绘制成不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图2中“了解”的扇形圆心角的度数；

（2）全校共有1200名学生，请你估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有多少人．

【答案】（1）本次接受问卷调查的学生有200人，图2中“了解”的扇形圆心角的度数为126°；

（2）估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有600人．

【解答】解：（1）接受问卷调查的学生数：30÷15%＝200（人），

“了解”的扇形圆心角度数为360°×＝126°；

答：本次接受问卷调查的学生有200人，图2中“了解”的扇形圆心角的度数为126°；

（2）1200×＝600（人），

答：估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有600人．

第1页（共1页）浙江省绍兴市2023-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类

一．因式分解-提公因式法（共2小题）

1．（2023绍兴）因式分解：m2﹣3m＝．

2．（2022绍兴）分解因式：x2+x＝．

二．因式分解-运用公式法（共1小题）

3．（2023绍兴）分解因式：x2+2x+1＝．

三．一元一次方程的应用（共1小题）

4．（2022绍兴）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”其题意为：“良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是．

四．二元一次方程组的应用（共1小题）

5．（2023绍兴）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有两．

五．解分式方程（共1小题）

6．（2023绍兴）方程的解是．

六．解一元一次不等式（共1小题）

7．（2022绍兴）关于x的不等式3x﹣2＞x的解集是．

七．反比例函数系数k的几何意义（共2小题）

8．（2023绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是．

9．（2022绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是．

八．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）

10．（2023绍兴）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标（，2）．反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是．

九．二次函数的最值（共1小题）

11．（2023绍兴）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝．

一十．全等三角形的判定与性质（共1小题）

12．（2023绍兴）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，则CD长为．

一十一．等腰三角形的性质（共1小题）

13．（2023绍兴）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是．

一十二．菱形的性质（共1小题）

14．（2023绍兴）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是．

一十三．矩形的性质（共1小题）

15．（2023绍兴）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若AB＝30cm，则BC长为cm（结果保留根号）．

一十四．圆内接四边形的性质（共1小题）

16．（2023绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是．

一十五．作图—基本作图（共1小题）

17．（2022绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是．

一十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）

18．（2022绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是．

浙江省绍兴市2023-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类

参考答案与试题解析

一．因式分解-提公因式法（共2小题）

1．（2023绍兴）因式分解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．

【答案】m（m﹣3）．

【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．

故答案为：m（m﹣3）．

2．（2022绍兴）分解因式：x2+x＝x（x+1）．

【答案】x（x+1）．

【解答】解：x2+x＝x（x+1）．

故答案为：x（x+1）．

二．因式分解-运用公式法（共1小题）

3．（2023绍兴）分解因式：x2+2x+1＝（x+1）2．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2．

故答案为：（x+1）2．

三．一元一次方程的应用（共1小题）

4．（2022绍兴）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”其题意为：“良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是20．

【答案】20．

【解答】解：设良马x天追上劣马，

根据题意得：240x＝150（x+12），

解得x＝20，

答：良马20天追上劣马；

故答案为：20．

四．二元一次方程组的应用（共1小题）

5．（2023绍兴）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有46两．

【答案】46．

【解答】解：设有x人，银子y两，

由题意得：，解得，

故答案为46．

五．解分式方程（共1小题）

6．（2023绍兴）方程的解是x＝3．

【答案】x＝3．

【解答】解：去分母，得3x＝9，

∴x＝3．

经检验，x＝3是原方程的解．

故答案为：x＝3．

六．解一元一次不等式（共1小题）

7．（2022绍兴）关于x的不等式3x﹣2＞x的解集是x＞1．

【答案】x＞1．

【解答】解：∵3x﹣2＞x，

∴3x﹣x＞2，即2x＞2，

解得x＞1，

故答案为：x＞1．

七．反比例函数系数k的几何意义（共2小题）

8．（2023绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是2．

【答案】2．

【解答】解：长CA交y轴于E，延长CB交x轴于点F，

∴CE⊥y轴，CF⊥x轴，

∴四边形OECF为矩形，

∵x2＝2x1，

∴点A为CE中点，

由几何意义得，S△OAE＝S△OBF，

∴点B为CF中点，

∴S△OAB＝S矩形＝6，

∴S矩形＝16，

∴S△ABC＝×16＝2．

故答案为：2．

2

9．（2022绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是6．

【答案】6．

【解答】解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，

根据题意可知，AC＝OE＝BD，

设AC＝OE＝BD＝a，

∴四边形ACEO的面积为4a，

∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，

∴FG为△EDQ的中位线，

∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，

∴四边形HFGO的面积为2（a+），

∴k＝4a＝2（a+），

解得：a＝，

∴k＝6．

故答案为：6．

八．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）

10．（2023绍兴）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标（，2）．反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是5或22.5．

【答案】5或22.5．

【解答】解：作DM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，过C点作x轴的平行线，交MD的延长线于E，交NB的延长线于F，

正方形ABCD中，∠BAD＝90°，

∴∠DAM+∠BAN＝90°，

∵∠ADM+∠DAM＝90°，

∴∠ADM＝∠BAN，

在△ADM和△BAN中，

，

∴△ADM≌△BAN（AAS），

∴AM＝BN，DM＝AN，

∵顶点D的坐标（，2）．

∴OM＝，DM＝2，

同理：△ADM≌△DCE，

∴AM＝DE，CE＝DM，

∴AM＝BN＝DE，DM＝AN＝CE＝2，

设AM＝BN＝DE＝m，

∴ON＝+m+2＝4.5+m，

∴B（4.5+m，m），C（4.5，2+m），

当反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）的图象经过点B、D时，则k＝×2＝5；

当反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）的图象经过点B、C时，则k＝（4.5+m）m＝4.5（2+m），

解得m＝3（负数已经舍去），

∴k＝4.5×（2+3）＝22.5，

故答案为5或22.5．

九．二次函数的最值（共1小题）

11．（2023绍兴）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝或﹣．

【答案】或﹣．

【解答】解：由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），当x＝0时，y＝4，

∴C（0，4），

∵A（3，0），四边形ABCO是矩形，

∴B（3，4），

①当抛物线经过O、B时，将点O（0，0），B（3，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得

，

解得b＝；

②当抛物线经过A、C时，将点A（3，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得

，

解得b＝﹣，

综上所述，b＝或b＝﹣，

故答案为：或﹣，

一十．全等三角形的判定与性质（共1小题）

12．（2023绍兴）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，则CD长为2±2或4或2．

【答案】2±2或4或2．

【解答】解：如图，当C，D同侧时，过点A作AE⊥CD于E．

在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝4，∠ABE＝30°，

∴AE＝AB＝2，

∵AD＝AC＝2，

∴DE＝＝2，EC＝＝2，

∴DE＝EC＝AE，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴CD＝4，

当C，D异侧时，过C′作C′H⊥CD于H，

∵△BCC′是等边三角形，BC＝BE﹣EC＝2﹣2，

∴CH＝BH＝﹣1，C′H＝CH＝3﹣，

在Rt△DC′H中，DC′＝＝＝2，

∵△DBD′是等边三角形，

∴DD′＝2+2，

∴CD的长为2±2或4或2．

故答案为：2±2或4或2．

一十一．等腰三角形的性质（共1小题）

13．（2023绍兴）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是15°或75°．

【答案】15°或75°．

【解答】解：如右图所示，

当点P在点B的左侧时，

∵AB＝AC，∠ABC＝70°，

∴∠ACB＝∠ABC＝70°，

∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，

∵CA＝CP1，

∴∠CAP1＝∠CP1A＝＝＝55°，

∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；

当点P在点C的右侧时，

∵AB＝AC，∠ABC＝70°，

∴∠ACB＝∠ABC＝70°，

∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，

∵CA＝CP2，

∴∠CAP2＝∠CP2A＝＝＝35°，

∴∠BAP2＝∠CAP2+∠CAB＝35°+40°＝75°；

由上可得，∠BAP的度数是15°或75°，

故答案为：15°或75°．

一十二．菱形的性质（共1小题）

14．（2023绍兴）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是10°或80°．

【答案】10°或80°．

【解答】解：以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E和E′，如图所示，

在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，

∵∠DAB＝40°，

∴∠DAC＝20°，

∵AC＝AE，

∴∠AEC＝（180°﹣20°）÷2＝80°，

∵AE′＝AC，

∴∠AE′C＝∠ACE′＝10°，

综上所述，∠AEC的度数是10°或80°，

故答案为：10°或80°．

一十三．矩形的性质（共1小题）

15．（2023绍兴）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若AB＝30cm，则BC长为cm（结果保留根号）．

【答案】．

【解答】解：过O点作OE⊥CD，OF⊥AD，垂足分别为E，F，

由题意知∠FOD＝2∠DOE，

∵∠FOD+∠DOE＝90°，

∴∠DOE＝30°，∠FOD＝60°，

在矩形ABCD中，∠C＝90°，CD＝AB＝30cm，

∴OE∥BC，

∴∠DBC＝∠DOE＝30°，

∴BC＝CD＝cm，

故答案为．

一十四．圆内接四边形的性质（共1小题）

16．（2023绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是80°．

【答案】80°．

【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，

∴∠B+∠D＝180°，

∵∠D＝100°，

∴∠B＝80°．

故答案为：80°．

一十五．作图—基本作图（共1小题）

17．（2022绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是10°或100°．

【答案】10°或100°．

【解答】解：如图，点D即为所求；

在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，

∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，

由作图可知：AC＝AD，

∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣80°）＝50°，

∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；

由作图可知：AC＝AD′，

∴∠ACD′＝∠AD′C，

∵∠ACD′+∠AD′C＝∠BAC＝80°，

∴∠AD′C＝40°，

∴∠BCD′＝180°﹣∠ABC﹣∠AD′C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．

综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．

故答案为：10°或100°．

一十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）

18．（2022绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是或5．

【答案】或5．

【解答】解：如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接EJ．

∵tan∠CBT＝3＝，

∴可以假设BT＝k，CT＝3k，

∵∠CAT+∠ACT＝90°，∠ACT+∠JCD＝90°，

∴∠CAT＝∠JCD，

在△ATC和△CJD中，

，

∴△ATC≌△CJD（AAS），

∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，

∵∠CJD＝∠CED＝90°，

∴C，E，D，J四点共圆，

∵EC＝DE，

∴∠CJE＝∠DJE＝45°，

∴ET＝TJ＝10﹣2k，

∵CE2＝CT2+TE2＝（CD）2，

∴（3k）2+（10﹣2k）2＝[]2，

整理得4k2﹣25k+25＝0，

∴（k﹣5）（4k﹣5）＝0，

∴k＝5或，

∴BE＝BT+ET＝k+10﹣2k＝10﹣k＝或5，

故答案为：或5．

第1页（共1页）浙江省绍兴市2023-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

一．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）

1．（2023绍兴）一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．

（1）求OA所在直线的表达式；

（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？

（3）甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离．

二．一次函数的应用（共2小题）

2．（2022绍兴）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）．

x00.511.52

y11.522.53

为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y＝kx+b（k≠0），y＝ax2+bx+c（a≠0），y＝（k≠0）．

（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．

（2）当水位高度达到5米时，求进水用时x．

3．（2023绍兴）Ⅰ号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔30m处同时出发，以a（m/min）的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b（m）．无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系如图．两架无人机都上升了15min．

（1）求b的值及Ⅱ号无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系式；

（2）问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米．

三．二次函数综合题（共1小题）

4．（2023绍兴）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径AB＝4，且点A，B关于y轴对称，杯脚高CO＝4，杯高DO＝8，杯底MN在x轴上．

（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）；

（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A′CB′所在抛物线形状不变，杯口直径A′B′∥AB，杯脚高CO不变，杯深CD′与杯高OD′之比为0.6，求A′B′的长．

四．等腰三角形的性质（共1小题）

5．（2023绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．

（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；

（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．

五．平行四边形的性质（共1小题）

6．（2023绍兴）问题：如图，在ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．

答案：EF＝2．

探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．

①当点E与点F重合时，求AB的长；

②当点E与点C重合时，求EF的长．

（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．

六．正方形的性质（共1小题）

7．（2023绍兴）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H．

（1）求证：∠DAG＝∠EGH；

（2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由．

七．四边形综合题（共3小题）

8．（2023绍兴）在平行四边形ABCD中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列），AB＝12，AD＝10，∠B为锐角，且sinB＝．

（1）如图1，求AB边上的高CH的长；

（2）P是边AB上的一动点，点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C'，D'，

①如图2，当C'落在射线CA上时，求BP的长；

②当△AC'D'是直角三角形时，求BP的长．

9．（2022绍兴）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连结MN．

（1）如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．

（2）当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．

（3）当直线MN恰好经过点