苏科版数学七年级上册6.5垂直 素养提升练（含解析）

第第页苏科版数学七年级上册6.5垂直素养提升练（含解析）第6章平面图形的认识(一)

6.5垂直

基础过关全练

知识点1垂直的概念及表示方法

1.下列说法中,正确的个数为()

①两条直线相交所成的四个角中,如果有两个角相等,那么这两条直线垂直;

②两条直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么这两条直线垂直;

③一条直线的垂线可以画无数条;

④在同一平面内,经过一个已知点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直.

A.1B.2C.3D.4

2.(2023江苏镇江月考)如图,直线AB、CD相交于点O,OM⊥AB.

(1)若∠1=∠2,证明:ON⊥CD;

(2)若∠1=∠BOC,求∠BOD的度数.

3.已知:如图①,点O在直线AB上,CO⊥AB于点O,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC.

(1)∠DOE=,OD与OE的位置关系是;

(2)若CO与AB不垂直,如图②,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出正确的结论;

(3)若∠AOD=40°,请你利用(2)中得到的结论求出∠BOE的度数.

知识点2垂线的画法

4.(1)如图①,过P点画AB的垂线;

(2)如图②,过P点分别画OA、OB的垂线;

(3)如图③,过点A画BC的垂线.

5.如图,在方格纸中,直线AC与CD相交于点C.

(1)过点E画直线EF,使EF⊥AC;

(2)分别写出AC,CD,EF之间的位置关系;

(3)根据你观察到的EF与CD之间的位置关系,用一句话来表达你的结论.

知识点3垂线的基本事实及点到直线的距离

6.(2023江苏泰州期末)下列图形中,线段AD的长等于点A到直线BC的距离的是()

ABCD

7.(2022江苏扬州广陵期末)如图,点A是直线l外一点,过点A作AB⊥l于点B.在直线l上取一点C,连接AC,使AC=AB,点P在线段BC上,连接AP.若AB=3,则线段AP的长不可能是()

A.3.5B.4C.5D.5.5

8.如图①,l是一条笔直的公路,A、B是刚建成的两个生活小区,为了出行方便,小区本着最经济(最省钱)的原则,准备修建公交站点及站点到小区的道路.

(1)若要修两个站点,则站点及道路建在何处最合适请在图①中画出所修建的道路,并用字母标出两个站点的位置;

(2)若只修一个站点,则此时站点及道路建在何处最合适请在图②中画出所修建的道路,并用字母标出站点的位置.

能力提升全练

9.(2023北京中考,3,★☆☆)如图,点O在直线AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,则∠BOD的大小为()

A.30°B.40°C.50°D.60°

10.(2023浙江杭州中考,4,★☆☆)如图,设点P是直线l外一点,PQ⊥l,垂足为点Q,点T是直线l上的一个动点,连接PT,则()

A.PT≥2PQB.PT≤2PQC.PT≥PQD.PT≤PQ

11.(2022江苏常州中考,6,★☆☆)如图,斑马线的作用是引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理,这一想法体现的数学依据是()

A.垂线段最短

B.两点确定一条直线

C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

12.(2023吉林中考,11,★☆☆)如图,某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处.他们的做法如下:过点C作CD⊥l于点D,将水泵房建在了D处.这样做最节省水管长度,其数学道理是.

第12题图

(2022江苏南通海安期末,13,★★☆)如图,点O在直线AB上,OC⊥OD于O,OE平分∠AOD,OF平分∠BOC,则∠EOF的度数为.

第13题图

14.(2023江苏南京建邺期末,24,★★☆)如图,直线AB与CD相交于点O,OE平分∠COB,OE⊥OF.

(1)图中∠BOE的补角是;

(2)若∠COF=2∠COE,求∠BOE的度数;

(3)试判断OF是否平分∠AOC,并说明理由.

素养探究全练

15.【空间观念】噪音对环境的影响与距离有关,距离越小,噪音越大.如图,一辆汽车在笔直的公路上由点A向点B行驶,M、N分别是位于公路AB两侧的两所学校.

(1)找出学校M受噪音影响最严重的点P;

(2)找出学校N受噪音影响最严重的点Q;

(3)汽车在公路上的哪一段行驶时,学校M受噪音影响越来越小,而学校N受噪音影响越来越大

答案全解全析

基础过关全练

1.C如图,两条直线a和b相交所成的四个角中,∠1=∠2,∠3=∠4,但a与b不垂直,故①不正确;②③④均正确.故选C.

2.解析(1)证明:∵OM⊥AB,

∴∠AOM=∠BOM=90°,

∴∠1+∠AOC=90°,

∵∠1=∠2,

∴∠2+∠AOC=90°,

即∠CON=90°,

∴ON⊥CD.

(2)∵∠1=∠BOC,

∴∠BOM=2∠1=90°,

解得∠1=45°,

∴∠BOD=90°-45°=45°.

3.解析(1)90°;垂直.

(2)成立.理由如下:

∵OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,

∴∠COD=∠AOC,∠COE=∠BOC.

∵∠AOC+∠BOC=180°,

∴∠DOE=∠COD+∠COE=(∠AOC+∠BOC)=90°,∴OD⊥OE.

(3)由(2)知∠DOE=90°,∴∠AOD+∠BOE=90°.

∵∠AOD=40°,∴∠BOE=90°-40°=50°.

4.解析(1)如图①所示.(2)如图②所示.(3)如图③所示.

5.解析(1)如图.

(2)AC⊥CD,EF⊥AC,EF∥CD.

(3)同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

6.D点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度.选项D中线段AD的长等于点A到直线BC的距离.

7.D∵AB⊥l,∴AP≥AB,∵P在线段BC上,

∴AP≤AC,∵AC=AB,AB=3,∴AC=5,

∴3≤AP≤5,故AP的长不可能是5.5.

8.解析(1)如图,分别过点A和点B作直线l的垂线,垂足分别为C、D,则线段AC、BD即为所修建的道路,C、D两点即为两个站点的位置.

(2)如图,连接AB,交直线l于点E,则线段AB即为所修建的道路,点E即为站点位置.

能力提升全练

9.A∵∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC=120°,

∴∠BOC=180°-120°=60°,又∵OC⊥OD,∴∠COD=90°,∴∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-60°=30°.

10.C根据“垂线段最短”可得PT≥PQ.

11.A这一想法体现的数学依据是垂线段最短.

12.垂线段最短

13.45°

解析∵OC⊥OD于O,∴∠COD=90°,∵OE平分∠AOD,OF平分∠BOC,∴∠AOE=∠AOD,∠BOF=∠BOC,∴∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF=180°-∠AOD-∠BOC=180°-(180°-∠BOD)-(180°-∠AOC)=180°-90°+∠BOD-90°+∠AOC=(∠BOD+∠AOC)=(180°-∠COD)=×90°=45°.

14.解析(1)∵OE平分∠COB,∴∠COE=∠BOE,

∵∠AOE+∠BOE=∠AOB=180°,∠COE+∠DOE=∠COD=180°,

∴∠BOE的补角是∠AOE和∠DOE.

(2)∵OE⊥OF,∠COF=2∠COE,

∴∠COF=×90°=60°,∠COE=×90°=30°,

∵OE平分∠COB,

∴∠BOE=∠COE=30°.

(3)OF平分∠AOC.理由如下:

∵OE平分∠COB,OE⊥OF,

∴∠BOE=∠COE,