交替方向乘子法在航空发动机模型预测控制中的应用

交替方向乘子法在航空发动机模型预测控制中的应用

模型预测控制（pmc）能够识别飞机结构的限制，改进航空车辆控制系统的结构，在发动机控制领域引起广泛关注。交替方向乘子法(AlternatingDirectionMethodofMultipliers,ADMM)于1975年提出,在20世纪80年代获得广泛讨论本文通过引入辅助变量将航空发动机MPC中的QP问题转化为可分结构的优化问题,并基于ADMM算法对其进行求解,与IPM算法进行比较,验证了ADMM算法的优越性。1在线优化搜索航空发动机控制系统具有稳态控制、加减速控制在单输入MPC中,取二次型性能指标,在采样时刻d之后的预测时域内,航空发动机MPC的目标是求解在预测时域内使性能指标J最小的燃油流量W式中:r求解式(1)需要获得各个输出量和W式中:N=[N利用离散系统状态方程的响应:可以获得输出量在预测时域n式(1)可以改写为一个带有线性不等式约束的二次规划问题:式中:Y通过求解QP问题式(7),可以获得满足约束条件下,使性能指标最小的最优控制输入序列为了实现闭环非线性控制,将序列的第一个值WMPC通过迭代进行优化搜索来获得最优的控制序列,如果迭代过程耗时较多将限制算法的应用。ADMM算法具有对偶上升法的可分解性以及乘子法的全局收敛性,近年来得到了大量关注,由于其所需计算量小、算法结构简单,本文将其用于求解航空发动机MPC中的优化问题。2惩罚参数日函数ADMM算法可用于求解形如的约束规划问题。式中:x∈R通过乘子法,引入对偶变量y,构造增广拉格朗日函数:式中:ρ>0为惩罚参数。ADMM迭代过程与对偶上升法和乘子法相似,包含3部分:原始变量x的迭代更新、原始变量z的迭代更新和对偶变量y的更新过程,更新策略为可以看出,在ADMM算法中,原始变量x和原始变量z的迭代更新是一个交替进行的过程,每个求解过程只需求解部分变量,降低了求解规模。3航空发动机mpc的admm算法实现将式(7)所描述航空发动机MPC中的QP问题简写为式中:P=H为应用ADMM算法,首先添加辅助变量,将式(11)改写为等式约束的形式:由于式(12)所描述的QP问题不具有可分形式,不能直接采用ADMM算法进行求解。为此将x和z视作为一个整体变量(x,z),引入辅助变量约束引入对偶变量(w,y),根据式(10),可以得到求解式(13)的ADMM迭代过程为式中:σ为惩罚系数。式(14)表示辅助变量的更新过程,是一个等式约束的QP问题,其一阶最优性条件(KKT条件)为式(18)的系数矩阵称作KKT矩阵,该矩阵是一个列满秩的对称矩阵,因此方程具有唯一解。观察式(18),KKT矩阵的结构只和式(11)与参数ρ相关,在迭代过程中是不变的。式(15)表示原变量的更新过程,是一个二次函数集合在集合为了加速算法收敛,根据文献根据QP问题的一阶最优性条件,定义QP问题式(12)的原始残差r根据2个残差给出收敛判定准则:一般取ε使用ADMM算法还需要一个初始值,由于MPC问题的特殊性,可以将d-1时刻的最优解(x因此可以获得航空发动机MPC求解控制输入W1)获得发动机采样时刻d的状态和状态方程。2)以二次型性能指标和约束,根据状态方程建立问题式(7)。3)将问题式(7)改写为适合用ADMM算法的形式(13)。4)根据式(29),将d-1时刻得到最优解作为d时刻问题求解的初始值。5)根据迭代过程式(19)、式(20)、式(23)和式(24)计算并更新各个变量。6)根据原始残差r7)进入采样时刻d+1,重复步骤1)。4模拟4.1平衡流形展开模型的预测图1为航空发动机MPC系统结构,主要包括模型预测控制器和发动机模型。MPC根据输入的参考指令r平衡流形展开模型通过实验数据离线计算所得,其输出与发动机传感器输出存在一定的误差,使得预测模型也存在误差,为了满足控制精度的要求,需要对预测方程的输出进行修正。在d时刻,预测模型的输出N式中:4.2admm算法的仿真实验使用MATLAB进行仿真,MPC算法由MAT-LAB实现,模拟真实发动机的部件级模型使用VC++开发,并且通过MEX方法在MATLAB中调用。指令跟踪的目的是让发动机NADMM算法最大迭代次数为500次,收敛准则为ε图2(a)为N图2(c)为控制器计算所得的W为了验证基于ADMM算法的MPC对于发动机约束的处理能力,将T为了验证ADMM算法在实时性方面的优势,使用文献表1中给出了10个仿真过程中转速阶跃幅值ΔN从表2中可以看出,无论ΔN预测时域n预测时域的增大可以改善航空发动机MPC的性能。图4为在H=0km,Ma=0,慢车以上转速,给定阶跃幅值ΔN5各算法间的比较ADMM算法在航空发动机MPC的滚动优化中具有良好的应用前景。1)在指令跟踪控制中,N2)ADMM算法每次迭代过程只需计算一次矩阵分解,与IPM相比,计算量大大降低,实时性得到了很大的提高。3)ADMM算法相对IPM有更好的