平均数标准差

平均数标准差第1页，课件共91页，创作于2023年2月本次课内容一、计量资料的频数分布二、集中趋势指标三、离散趋势指标四、正态分布第2页，课件共91页，创作于2023年2月计量资料（复习）统计描述（statisticaldescription)：对资料的属性、特点进行的有关叙述、显示、计算等，是统计推断的基础。描述必须基于资料的分布(distribution)类型，主要是资料的分布特征。分布类型不同，统计指标不同。第3页，课件共91页，创作于2023年2月分布：数值在所研究样本（或总体）中的存在状态，通常用频数(frequency)来表示。频数：某变量值出现的次数（某现象发生的次数）。第4页，课件共91页，创作于2023年2月某市1995年110名7岁男童的身高(cm）频数表第5页，课件共91页，创作于2023年2月身高(cm)某市1995年110名7岁男童的身高分布直方图第6页，课件共91页，创作于2023年2月频数表揭示频数的两个重要特征：集中趋势（centraltendency):数值高低不等，但中等水平的人数最多。离散趋势（tendencyofdispersion):数值之间参差不齐；逐渐变大（或变小）的人数渐少。向两端分散。两方面含义：数值大小和位置。第7页，课件共91页，创作于2023年2月集中趋势centraltendency平均数（average)：用于描述数值变量资料的集中趋势（平均水平）。特点：简明概括，便于比较。包括：算术平均数，几何平均数，中位数，百分位数第8页，课件共91页，创作于2023年2月1、算术平均数（arithmeticmean)一组变量值之和除以变量值个数所得的商,简称均数。总体均数µ，样本均数表示。适用条件：资料成正态分布（或近似正态，或对称分布）。计算方法：直接法，加权法第9页，课件共91页，创作于2023年2月直接法：当样本的观察值个数不多时，将各观察值X1，X2，……，Xn相加再除以观察值的个数n（样本含量）即得均数。公式：第10页，课件共91页，创作于2023年2月加权法weightedmethod当观察值个数较多时，可先将各观察值分组归纳成频数表，用加权法求均数。利用频数表，计算组中值（为本组段的下限与相邻较大组段的下限的均值），各组段频数与组中值的乘积，近似等于该组变量值之和，各乘积之和除以总频数，所得的商，就是均数。第11页，课件共91页，创作于2023年2月加权法计算算数均数的公式第12页，课件共91页，创作于2023年2月例题：计算算术均数直接法：略第13页，课件共91页，创作于2023年2月加权法第14页，课件共91页，创作于2023年2月均数的两个重要属性：（1）各离均差（各观察值与均数之差）的总和等于零。（2）离均差的平方和小于各个观察值X与任何数a()之差的平方和。均数是一组观察值理想的代表值。第15页，课件共91页，创作于2023年2月均数的应用：（1）只能在合理分布的基础上，对同质事物求均数才有意义，才能反映事物的特性。（2）均数最适用于对称分布，尤其是正态分布资料。此时，均数位于分布的中央，能反映观察值的集中趋势。第16页，课件共91页，创作于2023年2月2、几何均数geometricmeanG将n个观察值的乘积再开n次方的方根（或各观察值对数值均值的反对数）。适用条件：（1）观察值为非对称分布，差距较大，用算术均数表示其平均水平会受少数特大或特小值影响；第17页，课件共91页，创作于2023年2月（2）数值按大小顺序排列后，各观察值呈倍数关系或近似倍数关系。如：抗体滴度，药物效价等几何均数是算数均数的近似值。第18页，课件共91页，创作于2023年2月直接法:当观察例数不多时采用。加权法：观察例数多时采用。第19页，课件共91页，创作于2023年2月为什么滴度资料的几何均数需校正？假设有13人接种疫苗后抗体滴度为：1/20，1/20，1/40，1/40，1/40，1/80，1/80，1/80，1/80，1/80，1/80，1/160，1/320可以证明，这种取下限值的计算，会使得到的几何均数偏小，即：几何均数在取反对数之前偏小半个组距（在作d倍稀释时就是1/2lgd）。第20页，课件共91页，创作于2023年2月几何均数的应用：（1）常用于等比级数资料，滴度，效价，卫生事业平均发展速度，人口几何增长，对数正态分布资料；（2）观察值不能有0；（3）观察值不能同时有正值和负值。（4）同一组资料求得的几何均数小于算术均数。第21页，课件共91页，创作于2023年2月几何均数的计算3，4，5，6，17，算数均数：几何均数：第22页，课件共91页，创作于2023年2月3、中位数（median,M)：位于中间位置上的数值。把一组观察值，按大小顺序排列，位置居中的变量值（奇数个）或位置居中的两个变量值的均值（偶数个）。是位置指标，以中位数为界，将观察值分为两半，有一半比它大，一般比它小。第23页，课件共91页，创作于2023年2月中位数适用于：（1）资料偏态分布；（2）两端无确定数值；（3）资料分布不清楚；潜伏期，毒物测定值等用中位数表示其集中趋势。第24页，课件共91页，创作于2023年2月中位数的算法：未分组资料，依变量个数定。

第25页，课件共91页，创作于2023年2月分组资料，用下公式。L:中位数所在组的下限W:中位数所在组的宽度f:中位数所在组的频数（例数）n:总频数C:中位数所在组的前一组的累计频数第26页，课件共91页，创作于2023年2月中位数常用于描述偏态分布资料的集中趋势，它反映居中位置的变量值的大小。不受特大，特小值的影响，只受位置居中的观察值的影响，因而不够敏感。

而均数，几何均数是由全部观察值综合计算出的，敏感性好。理论上，中位数等于算术均数。第27页，课件共91页，创作于2023年2月例题：

中位数的计算P24

第28页，课件共91页，创作于2023年2月4、百分位数(percentile,P)：位于某个百分位置上的数值。把一组数据从小到大排列，分成100等份，各等份含1%的观察值，处在分割界线上的数值，就是百分位数，Pr表示。第29页，课件共91页，创作于2023年2月百分位数将总体或样本的全部观察值分为两部分，理论上有r%的观察值比它小，有（100-r）%的观察值比它大。如含量为n的样本，P5即表示：理论上有n5%个观察值比P5小，有n95%个观察值比P5大。常用的百分位数：5，25，75，95分位数。第30页，课件共91页，创作于2023年2月百分位数频数表法计算：Pr:百分位数；L:该百分位数所在组段的下限；W:组距；f:该百分位数所在组段的频数；C:小于L的各组段的累积频数；n:样本数中位数是特殊的百分位数。第31页，课件共91页，创作于2023年2月第32页，课件共91页，创作于2023年2月图解法计算百分位数也可用图解法:横轴:变量值;纵轴:累计百分数p25第33页，课件共91页，创作于2023年2月百分位数常用于描述一组资料在某百分位置上的水平和分布特征。多个百分位数结合使用，可更全面地描述总体或样本的分布特征，包括位置大小和变异度。第34页，课件共91页，创作于2023年2月例题：百分位数的计算，P25第35页，课件共91页，创作于2023年2月百分位数常用于确定医学正常值范围（normalrange)。医学正常值范围，不用样本观察值的极差，习惯上用包括95%正常人的界值，百分位数是数列的百分界值。如：白细胞数的确定，过高，过低都属异常，故计算P2.5，P97.5,为双侧的正常值范围。第36页，课件共91页，创作于2023年2月如：肺活量95%正常值范围，只有过低算异常，故计算P5.如：尿铅,过高为异常，故计算P95.第37页，课件共91页，创作于2023年2月一般地说，分布中部的百分位数相当稳定，具有较好代表性，靠近两端的百分位数，只在样本含量足够大时，才稳定，故样本量不够大时，不应取太近两端的百分位数。以上是集中趋势指标。第38页，课件共91页，创作于2023年2月脑筋急转弯：

请看下面数据，有问题吗？A:89101112B:37101317两组均数都为10，但离散程度不同，B组较大。均数只反映平均水平，不能反映离散度。第39页，课件共91页，创作于2023年2月离散趋势tendencyofdispersion全距，四分位数间距，方差，标准差，变异系数。全距（Range)：极大与极小值之差。全距大，资料离散程度大，但易受极端值大小的影响。样本量越大，抽到极端值的可能性越大，全距可能会越大。故：全距不宜单独使用。第40页，课件共91页，创作于2023年2月

四分位数间距（quartileintervalQ)：将一组资料分为四等份，上四分位数P75和下四分位数P25之差，叫四分位数间距。意义：Q越大，离散程度越大，通常用于描述偏态分布资料的离散程度。第41页，课件共91页，创作于2023年2月优点：比全距稳定；若资料一端或两端无确切数值，只能选择Q作为离散指标。

缺点：未考虑全部观察值，不能全面反映资料离散趋势。第42页，课件共91页，创作于2023年2月方差（variance)和标准差(standarddeviationSD)对总体而言，为了克服极差和四分位数间距的缺点，要描述资料的离散趋势，必须考虑到各个观察值，离均差的平方和是最好的指标，

第43页，课件共91页，创作于2023年2月总体方差：样本方差：为了消除例数的影响，其取均值，就是方差。第44页，课件共91页，创作于2023年2月标准差：方差的平方根的正值。总体的标准差：样本的标准差：自由度=n-1第45页，课件共91页，创作于2023年2月自由度：一组数据中可以自由取值的数据的个数。当样本数据的个数为n时，若样本均值x确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值。第46页，课件共91页，创作于2023年2月样本方差除以自由度，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差σ2时，它是σ2的无偏估计量.第47页，课件共91页，创作于2023年2月样本的标准差：第48页，课件共91页，创作于2023年2月第49页，课件共91页，创作于2023年2月xx21181392412214884989604104108161221488412214884686（合计）78996（合计）血红蛋白数据标准差的计算：第50页，课件共91页，创作于2023年2月分组资料的标准差计算第51页，课件共91页，创作于2023年2月方差，标准差意义：方差，标准差越大，变异程度越大。其值越小，观察值的离散度越小，用均数反映平均水平的代表性越好。第52页，课件共91页，创作于2023年2月了解一下：离均差平方和是表示某变量总变异的一种形式，即：第53页，课件共91页，创作于2023年2月关于离均差平方和的三条规则1、原始数据加（减）一个数，离均差平方和或积和不变。2、原始数据除以一个数，则简化计算出的离均差平方和要乘上该数的平方。3、如将两变量之一除以一个数，则离均差积和要乘以该数；如同时另一变量也除以一个数，则离均差积和要同时乘上该两数。第54页，课件共91页，创作于2023年2月标准差应用（1）反映一组观察值的离散程度：

直接比较标准差：数值单位相同;计算变异系数：数值单位不同;第55页，课件共91页，创作于2023年2月变异系数（coefficientofvariation,CV)也称离散系数（coefficientofdispersion)标准差与均数之比用百分数表示。公式：第56页，课件共91页，创作于2023年2月常用于比较度量单位不同或均数相差悬殊的资料的变异。同时考虑了均数和标准差，更客观。比如：身高，体重的变异比较；第57页，课件共91页，创作于2023年2月（2）估计变量值的频数分布正态曲线，正态分布normaldistribution正态分布标准正态分布面积(或概率)μ-1σ~μ+1σ-1~+168.27%μ–1.96σ~μ+1.96σ-1.96~+1.9695.00%μ–2.58σ~μ+2.58σ-2.58~+2.5899.00%第58页，课件共91页，创作于2023年2月（3）计算标准误（4）估计医学正常值范围：双侧：均数±1.96倍标准差单侧：均数±1.645倍标准差第59页，课件共91页，创作于2023年2月概念：又称高斯分布。频数分布以均数为中心，左右两侧基本对称，靠近均数两侧频数较多，离均数愈远，频数愈少，形成一个中间多，两侧逐渐减少，基本对称的分布。是一种连续型分布。正态分布(normaldistribution)第60页，课件共91页，创作于2023年2月当样本量扩大，组段分细，频数分布图中的直条变窄，表现出中间高，两侧逐渐降低，并完全对称的特点；如果将各直条顶端的中点连线，就接近于一条光滑的曲线，称为正态曲线。用N(µ,)表示，其位置与均数有关，形状与标准差有关。第61页，课件共91页，创作于2023年2月医学现象许多呈正态分布，或近似正态分布。如：正常人的生理，生化指标变量，等。第62页，课件共91页，创作于2023年2月高斯(JohannCarlFriedrichGauss）生于1777年4月30日于不伦瑞克，卒于1855年2月23日于哥廷根，德国著名数学家、天文学家、大地测量学家、物理学家。被认为是最重要的数学家，并有数学王子的美誉。第63页，课件共91页，创作于2023年2月第64页，课件共91页，创作于2023年2月对称分布正（右）偏分布负（左）偏分布几种常见的频数分布第65页，课件共91页，创作于2023年2月正态分布之所以重要,原因很多,三个主要的原因:1.正态分布在分析上较易处理。2.正态分布之p.d.f.的图形为钟形曲线(bell-shapedcurve),再加上对称性,使得很适合当做不少事件之机率模式。3.正态分布可当做不少大样本的近似分布。概率密度函数（p.d.f.，probabilitydensityfunction）描述了随机变量的机率分布，为累积分布函数的导函数。

第66页，课件共91页，创作于2023年2月概率密度函数（p.d.f.，probabilitydensityfunction）对于一维实随机变量X，任何一个满足下列条件的函数fX(x)都可以被定义为其概率密度函数：

随机变量X在区间上的概率可以由其概率密度函数的定积分表示：而是X的累积分布函数，显然概率密度函数是它的导函数。第67页，课件共91页，创作于2023年2月从直方图到正态曲线的过渡第68页，课件共91页，创作于2023年2月正态分布的两个参数：µ,决定了曲线的形状和位置第69页，课件共91页，创作于2023年2月第70页，课件共91页，创作于2023年2月正态分布的密度函数（概率密度函数probabilitydensityfunction,p.d.f）：式中μ为均数；σ为标准差；π为圆周率；е为自然对数的底，即2.71828。以上均为常数，仅x为变量。第71页，课件共91页，创作于2023年2月标准正态分布:为了应用方便，常将式进行变量变换，u变换,u变换后，μ=0，σ=1，使原来的正态分布变换为标准正态分布（SND,standardnormaldistribution）亦称u分布。第72页，课件共91页，创作于2023年2月标准正态分布的概率密度函数：正态分布曲线的模拟第73页，课件共91页，创作于2023年2月正态分布的特征和分布规律：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交，当x=μ时，曲线位于最高点。（2）曲线关于直线x=μ左右对称。（3）正态分布有两个参数:均数,标准差;标准正态的参数分别为:0,1（4）正态曲线在1σ,标准正态曲线在1处各有一个拐点,（5）正态分布的面积分布有一定规律。第74页，课件共91页，创作于2023年2月正态曲线下面积的分布规律正态曲线下，横轴上一定区间的面积,等于该区间的频数发生的概率。面积可用积分求得。F(x)为正态变量X的累计分布函数，反映正态曲线下，自-到x的面积，即左侧累计面积。第75页，课件共91页，创作于2023年2月第76页，课件共91页，创作于2023年2月统计学家已经按（4）编成了附表，标准正态分布曲线下的面积。应用时注意：（1）当总体μ，σ已知时，先计算u值，再用u值查表，得出所求区间面积占总面积的比例。如果未知，常分别用样本均数和样本标准差来估计。（2）曲线下对称于0的区间，面积相等。如：区间（，-2.58）与区间（2.58，）的面积相等。（3）曲线下横轴上的总面积为100%或为1。根据后两个特征，可计算右侧累计面积。正态分布表的用法P545第77页，课件共91页，创作于2023年2月单侧，双侧的概念：以均数为对称轴，只考虑低于（或高于）某值，为单侧；若关心数值可高，可低，为双侧。第78页，课件共91页，创作于2023年2月正态分布标准正态分布面积(或概率)μ-1σ__μ+1σ-1__+168.27%μ–1.96σ__μ+1.96σ-1.96__+1.9695.00%μ–2.58σ__μ+2.58σ-2.58__+2.5899.00%正态分布和标准正态分布曲线下面积分布规律第79页，课件共91页，创作于2023年2月标准正态曲线下任意区间的面积有规律第80页，课件共91页，创作于2023年2月（-1，1），68.27%（-1.96，1.96），95%（-2.58，2.58），99%双侧概率第81页，课件共91页，创作于2023年2月单侧概率第82页，课件共91页，创作于2023年2月正态曲线下面积的