三角形相似简单证明题

三角形相似简单证明题1、已知：如图，DE∥BC，AF∶FB=AG∶GE。求证：ΔAFG∽ΔAED。证明：连接AG、DG，由题可得：AG∶GE=AF∶FB即AG×FB=AF×GE又因为DE∥BC，所以有：∠AED=∠ACB，∠AFG=∠ABC因此，ΔAFG∽ΔAED（AA相似性质）。2、已知：如图，AB∥CD，AF=FB，CE=EB。求证：GC²=GF·GD。证明：连接GC、GD，由题可得：CE=EB，AF=FB因此，∠AFC=∠BEC，∠GDC=∠GCD又因为AB∥CD，所以：∠AFC=∠GCD，∠BEC=∠GDC因此，ΔGDC∽ΔAFC，ΔGEC∽ΔBEC由相似比可得：GC²=GD×GF。3、已知：如图，ΔABC中，∠ACB=90，F为AB的中点，EF⊥AB。求证：ΔCDF∽ΔECF。证明：连接CF，由题可得：EF⊥AB，F为AB的中点因此，EF∥CD，且EF=FD又因为∠ACB=90，所以：∠ECF=∠ACB，∠CDF=∠ABC因此，ΔCDF∽ΔECF（AA相似性质）。4、已知：如图，ΔABC中，CE⊥AB，BF⊥AC。求证：ΔAEF∽ΔACB。证明：连接EF，由题可得：CE⊥AB，BF⊥AC因此，∠AEC=∠AFB，∠AFC=∠AEB又因为∠ACB=90，所以：∠AEC=∠AFC，∠AFB=∠AEB因此，ΔAEF∽ΔACB（AA相似性质）。5、已知：如图，DE∥BC，AD=AF·AB。求证：ΔAEF∽ΔACD。证明：连接AE、FD，由题可得：AD=AF×AB即AD∶AB=AF∶AD又因为DE∥BC，所以：∠AEF=∠ACD，∠EAF=∠DAC因此，ΔAEF∽ΔACD（AA相似性质）。6、已知：如图，ΔABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。求证：AB·BC=AC·CD。证明：连接BD，由题可得：∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC因此，∠CBD=∠ABD=∠C/2又因为∠ABC=2∠C，所以：∠BAC=∠C，∠ACB=2∠C因此，∠ADG=∠ABD-∠C=∠C/2因此，∠DGC=∠C/2，∠GDC=∠C因此，ΔBDC∽ΔGAC由相似比可得：AB·BC=AC·CD。7、已知：如图，CE是RtΔABC的斜边AB上的高，BG⊥AP。求证：CE²=ED·EP。证明：连接CD，由题可得：CE是RtΔABC的斜边AB上的高，BG⊥AP因此，∠ABG=∠ACD，∠BAG=∠CBD又因为∠ACB=90，所以：∠ABG=∠ACD=∠BCE，∠BAG=∠CBD=∠CBE因此，ΔBCE∽ΔBAG由相似比可得：CE²=ED·EP。8、已知：如图，ΔABC中，AD=DB，∠1=∠2。求证：ΔABC∽ΔEAD。证明：连接AE，由题可得：AD=DB，∠1=∠2因此，∠ABD=∠BAD又因为AD=DB，所以：∠ADB=∠ABD因此，ΔABD为等腰三角形因此，∠AED=∠ABD=∠BAD因此，ΔABC∽ΔEAD（AA相似性质）。9、已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4。求证：ΔDBE∽ΔABC。证明：连接BD，由题可得：∠1=∠2，∠3=∠4因此，∠ABD=∠BAD，∠CBD=∠CBA又因为∠1=∠2，所以：∠DBE=∠ABD=∠BAD，∠EBD=∠ABE因此，ΔDBE∽ΔABC（AA相似性质）。10、如图，∠B=90，AB=BE=EF=FC=1。求证：ΔAEF∽ΔCEA。证明：连接AC，由题可得：∠B=90，AB=BE=EF=FC=1因此，AE=√2，CE=2又因为∠B=90，所以：∠AEF=∠CEA因此，ΔAEF∽ΔCEA（AA相似性质）。11、如图，在梯形ABCD中，AB⊥BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC。（1）△ABD与△DCB相似吗？请说明理由。（2）如果AD=4，BC=9，求BD的长。（1）证明：连接AC，由题可得：AB⊥BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC因此，∠ABD=∠DCB，∠ADB=∠BDC因此，ΔABD∽ΔDCB（AA相似性质）。（2）由题可得：AD=4，BC=9因此，AB²+BD²=AD²，BC²+BD²=DC²解得BD=√65。12、已知：如图，在△PAB中，∠APB=120°，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形。求证：BM·PA=PN·BP。证明：连接PN，由题可得：∠APB=120°，△PMN是等边三角形因此，∠MPN=∠MNP=30°，∠PBM=∠PNB=60°因此，△PBM∽△PNB由相似比可得：BM·PA=PN·BP。13、已知：如图，四边形ABCD中，CB⊥BA于B，DA⊥BA于A，BC=2AD，DE⊥CD交AB于E，连结CE。求证：DE²=AE·CE。证明：连接BD，由题可得：CB⊥BA于B，DA⊥BA于A，BC=2AD因此，∠BAC=∠CBD，∠CDE=∠CBA又因为CB⊥BA于B，所以：∠BAC=90°，∠CBD=90°因此，∠CDE=∠CBA=90°又因为BC=2AD，所以：CD/AD=2，BC/AD=2√5因此，CD=2AD，BC=2√5AD因此，AE=AB-EB=AB-CD=AB-2AD因此，DE²=CE²-CD²=CE²-4AD²又因为BC=2AD，所以：CE/AD=2√5，BC/AD=2√5因此，CE=2√5AD因此，DE²=AE·CE。14、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F。（1）ΔABE与ΔADF相似吗？请说明理由。（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长。（1）证明：连接AF，由题可得：E为BC上一点，DF⊥AE于F因此，∠ABE=∠ADF，∠AEB=∠AFD因此，ΔABE∽ΔADF（AA相似性质）。（2）由题可得：AB=6，AD=12，BE=8因此，AE=10，DE=√244又因为ΔABE∽ΔADF，所以：AB/AD=BE/DF因此，DF=24/5。15、如图：三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？证明：连接BD，由题可得：BC＝120mm，AD＝80mm因此，AB²+BD²=120²，AC²+CD²=80²解得AB＝96mm，AC＝64mm，BD＝72mm，CD＝48mm因此，正方形零件的边长为72mm。16、如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，EF⊥AE。求证：AE＝AD×AF。证明：连接AF、BD，由题可得：E是CD的中点，EF⊥AE因此，AE＝2ED又因为正方形ABCD，所以：AE²+ED²=AD²，AF²+FD²=AD²解得ED＝AF＝(AD/√10)因此，AE＝AD×AF。17、如图，∠ADC＝∠ACB＝90°，∠1＝∠B，AC＝5，AB＝6。求AD的长。证明：连接BD，由题可得：∠ADC＝∠ACB＝90°，∠1＝∠B，AC＝5，AB＝6因此，∠ADB=90°，∠ABC=∠ADC=∠ACB=90°因此，ΔADB∽ΔABC由相似比可得：AD/AB=AB/AC因此，AD＝(AB²/A