2023学年完整公开课版垂径定理

第三章圆3.3垂径定理③AM=BM,●OABCDM└①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.条件结论如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。

（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？猜想探索连接OA,OB,则OA=OB.●OABCDM└在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.●OABCDM└CD⊥AB,∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒

AC=BC,⌒⌒

AD=BD.

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。几何语言垂径定理判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBA注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦××√BOCDAOCDE③CD⊥AB,●OCD

由①CD是直径②AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些相等的弧？CD与AB垂直吗？想一想垂径定理逆定理

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。∴

CD⊥AB,

∵CD是直径，

AE=BE⌒⌒

AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？想一想OCDBA

如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE练一练EODCF例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点0是CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。⌒⌒⌒知识应用解这个方程，得R=545.EODCF解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。∵OE⊥CD根据勾股定理，得OC²=CF²+OF²即R²=300²+(R-90)².所以，这段弯路的半径为545m.归纳：

直径，弦长，弦心距，拱高四者知其二，即可根据勾股定理求出另外的两个量。当堂检测：1、判断：()(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.()(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.()(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.()(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.√

√2．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为(

)A．3

B．2.5

C．4

D．3.5C1、1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径。（结果精确到0.1米）。1、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.2、