全等三角形公开课教学

全等三角形全等三角形全等三角形的概念及性质全等三角形的判定判定定理三角形全等的证明思路概念全等三角形的性质全等三角形的概念及性质考点11.概念：能够________的两个三角形叫做全等三角形．2.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边________，对应角________．(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，周长________，面积________．相等相等相等相等返回思维导图完全重合全等三角形的判定考点21.判定定理(1)________分别相等的两个三角形全等(简写成“SSS”)(2)两边和它们的________分别相等的两个三角形全等(简写成“________”)(3)两角和它们的________分别相等的两个三角形全等(简写成“ASA”)(4)两角分别相等且

也相等的两个三角形全等(简写成“AAS”)(5)斜边和

分别相等的两个直角三角形全等(简写成“HL”)三条边夹角SAS夹边其中一角的对边一条直角边返回思维导图2.三角形全等的证明思路证明两个三角形全等已知两边相等找夹角→SAS找另一边→SSS已知一边和一角相等边为角的对边→找任一角→AAS边为角的一边找已知角的另一边→SAS找已知边上的另一角→ASA找已知边的对角→AAS已知两角相等找夹边→ASA找任一已知角的对边→AAS返回思维导图典例“串”考点模型一

平移型图示总结此模型的特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等1.如图，△ABC中，EF∥BC，PG∥AB，AP＝CF.求证：△AEF≌△PGC.【自主解答】第1题图证明：∵EF∥BC，PG∥AB，∴∠AFE＝∠C，∠A＝∠GPC.又∵AP＝CF，∴AP＋PF＝CF＋PF，∴AF＝PC，∴△AEF≌△PGC(ASA)．模型二轴对称型图示总结此模型的特征是所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等2.如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E.求证：BD＝CE.【自主解答】第2题图证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.在△BCD和△CBE中，∴△BCD≌△CBE(AAS)，∴BD＝CE.O模型三

三垂直型图示总结有三个直角，常利用同角(等角)的余角相等证明角相等3.如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E.求证：CD＝BE.【自主解答】第3题图证明：∵∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC.∵∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB.在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴BE＝CD.模型四旋转型类型一不共顶点旋转型图示总结所给图形是一个中心对称图形，一个三角形绕中心对称点旋转180°，则可得到另一个三角形，两个三角形有一组边共线，这一组边同时加(减)公共(或这组边中间的一条)线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等4.如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，AE＝DF，CE＝BF.求证：AE∥DF.【自主解答】第4题图证明：∵AB＝CD，∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝DB.又∵AE＝DF，CE＝BF，∴△ACE≌△DBF(SSS)，∴∠EAC＝∠FDB，∴AE∥DF.类型二共顶点旋转型图示总结此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，在旋转过程中，两个三角形无重叠或有重叠，找等角或运用角的和差得到等角.注：遇到共顶点，等线段，考虑用旋转.5.如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AE＝AC，∠1＝∠2.求证：∠D＝∠B.【自主解答】第5题图证明：∵∠1＝∠2∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠DAE＝∠BAC.在△DAE和△BAC中，∴△DAE≌△BAC(SAS)，∴∠D＝∠B.【提分要点】找满足三角形全等的边相等或角相等的方法：寻找等角？寻找等边？全等三角形的判定命题点1例1.如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有(

)A.2对B.3对C.4对D.5对第1题图C练习1.如图，在三边互不相等的△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点．连接DE，过点C作CM∥AB交DE的延长线于点M，连接CD、EF交于点N，则图中全等三角形共有(

)A．3对B．4对C．5对D．6对第2题图C与全等三角形有关的证明命题点2第3题图例2：[2019·苏州]如图18-10,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G.(1)求证:EF=BC;(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.解:(1)证明:∵线段AC绕点A旋转到AF的位置,∴AC=AF.∵∠CAF=∠BAE,∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE,即∠EAF=∠BAC.在△ABC和△AEF中,AB=AE,∠BAC=∠EAF,AC=AF,∴△ABC≌△AEF(SAS),∴EF=BC.例2：[2019·苏州]如图18-10,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G.(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.图18-10(2)∵AE=AB,∴∠AEB=∠ABC=65°.∵△ABC≌△AEF,∴∠AEF=∠ABC=65°,∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=180°-65°-65°=50°.∵∠FGC是△EGC的外角,∠ACB=28°,∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=50°+28°=78°.练习1.[2019·南京]如图18-12,D是△ABC的边AB的中点,DE∥BC,CE∥AB,AC与DE相交于点F.求证:△ADF≌△CEF.证明:∵DE∥BC,CE∥AB,∴四边形DBCE是平行四边形,∴BD=CE.∵D是AB的中点,∴AD=BD,∴AD=EC.∵CE∥AD,∴∠A=∠ECF,∠ADF=∠E,∴△ADF≌△CEF(ASA).图18-12全等三角形的开放性问题图18-15命题点3例3[2018·金华、丽水]如图18-15,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是

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考向四全等三角形的实际应用图18-21例4

课间,小明拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图18-21.(1)求证:△ADC≌△CEB;(2)从三角板的刻度可知AC=25cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等)例5课间,小明拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图18-21.(2)从三角板的刻度可知AC=25cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等)(2)从三角板的刻度可知AC=25cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等)图18-21(2)∵一块墙砖的厚度为a,∴AD=4a,BE=3a,由(1)得:△ADC≌△CEB,∴DC=BE=3a,在Rt△ACD中:AD2+CD2=AC2,∴(4a)2+(3a)2=252,∵