水平考试复习4

要点梳理1.任意角（1）角的概念的推广①按旋转方向不同分为

、

、

.②按终边位置不同分为

和

.

（2）终边相同的角终边与角相同的角可写成

.第四编§1.1任意角和弧度制及任意角的三角函数正角负角零角象限角轴线角(k∈Z)基础知识自主学习（3）弧度制①1弧度的角：_______________________________叫做1弧度的角.②规定：正角的弧度数为

,负角的弧度数为

，零角的弧度数为

,

,l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径.③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小

,仅与

.④弧度与角度的换算：360°=

弧度；180°=

弧度.⑤弧长公式：

,扇形面积公式：S扇形=

=

.把长度等于半径长的弧所对的圆心角无关角的大小有关正数负数零2.任意角的三角函数

(1)任意角的三角函数定义设是一个任意角，角的终边上任意一点

P(x,y),它与原点的距离为r(r>0）,那么角的正弦、余弦、正切分别是：它们都是以角为自

，以比值为

的函数.(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：

.

,

,

,变量函数值一全正、二正弦、三正切、四余弦3.三角函数线设角的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x

轴于M,则点M是点P在x轴上的

.由三角函数的定义知，点P的坐标为

,

即

,其中=

,

单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点

T，则

.我们把有向线段OM、

MP、AT叫做的

、

、

.OM

,MPAT余弦线正弦线正切线正射影4.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：

.(2)商数关系:

.三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线MPOMAT基础自测1.若=k·180°+45°(k∈Z)，则在（）

A.第一或第三象限B.第一或第二象限

C.第二或第四象限D.第三或第四象限解析当k=2m+1(m∈Z)时，

=2m·180°+225°=m·360°+225°,故为第三象限角；当k=2m(m∈Z)时，

=m·360°+45°,故为第一象限角.A2.角终边过点(-1,2),则cos等于（）解析C3.已知角的终边经过点(，-1),则角的最小正值是（）

解析B4.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）

A.1B.4C.1或4D.2或4

解析设此扇形的半径为r，弧长为l，C5.已知为第四象限角，且解∵为第四象限角，且

三角函数的定义已知角的终边在直线3x+4y=0上,求的值.

本题求的三角函数值.依据三角函数的定义,可在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),求出r,由定义得出结论.

思维启迪

【例1】

解题型分类深度剖析

某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定.

但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组要分别求解.

同角三角函数的基本关系式（12分）已知是三角形的内角，且（1）求tan的值；（2）用tan表示出来，并求其值.

（1）由

解

(1)方法一2分3分6分方法二3分6分(1)对于这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式的值可求.转化的公式为(2)关于sinx,cosx的齐次式,往往化为关于tanx的式子.10分12分2.已知角是第二象限角，且 （）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角解析由是第二象限角知,是第一或第三象限角.

C§1.2三角函数的诱导公式要点梳理1.下列各角的终边与角的终边的关系

角

图示与角终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称基础知识自主学习

角

图示与角终边的关系关于y轴对称关于直线y=x对称2.六组诱导公式六组诱导公式的记忆口诀为:函数名不(改)变、符号看象限.怎么看？就是把看作锐角时，原函数值的符号即为变化后的三角函数值的符号.组数一二三四五六角正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限基础自测1.已知则tanx等于（）

解析

D2.()解析D3. 的值是()

解析

A4.等于()

解析C三角函数式的化简化简：(k∈Z).

化简时注意观察题设中的角出现了需讨论k是奇数还是偶数.

解题型分类深度剖析熟练应用诱导公式.诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了.三角恒等式的证明

观察被证式两端,左繁右简,可以从左端入手,利用诱导公式进行化简,逐步地推向右边.

证明

三角恒等式的证明在高考大题中并不多见,但在小题中,这种证明的思想方法还是常考的.一般证明的思路为由繁到简或从两端到中间.§1.3三角函数的图象与性质要点梳理1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sinx

在［0，2］上的图象形状时,起关键作用的五个点是

、

、

、

、

.余弦函数呢？(0,0)基础知识自主学习2.三角函数的图象和性质:

y=sinxy=cosxy=tanx定义域图象

值域R

函数性质[-1,1][-1,1]RR(k∈Z)对称性周期单调性奇偶性；；；；奇奇偶3.一般地对于函数f（x）,如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时,都有

f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期).函数y=Asin(x+）或y=Acos（x+）（>0且为常数）的周期函数y=Atan(x+)(>0)的周期基础自测1.函数y=1-2sinxcosx的最小正周期为（）

解析B2.设点P是函数f(x)=sinx(≠0)的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是则f(x)的最小正周期是（）解析由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的故f（x）的最小正周期为T=B3.函数y=sin的图象（）

A.关于点对称

B.关于直线对称

C.关于点对称

D.关于直线对称

解析验证法：A4.在下列函数中,同时满足以下三个条件的是()①在上递减；②以为周期；③是奇函数.A.y=tanx B.y=cosxC.y=-sinxD.y=sinxcosx

解析

y=tanx的周期为，故A错.

y=cosx为偶函数，故B错.

y=sinxcosx=sin2x的周期为，故D错.

y=-sinx的周期为2,是奇函数，由图象知在上是递减函数，故C正确.C5.（2009·四川文，4）已知函数f(x)=sin

(x∈R)，下面结论错误的是（）

A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)在区间上是增函数

C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称

D.函数f(x)是奇函数

解析

A正确;

由图象知y=-cosx关于直线x=0对称，C正确.

y=-cosx是偶函数，D错误.D求下列函数的定义域：

解

(1)要使函数有意义,必须有题型分类深度剖析可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集，如图所示：三角函数的单调性与周期性（1）化为再求单调区间;(2)先化为,再求单调区间.解(1)求形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)(其中A≠0,>0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“

x+(>0)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与y=sinx(x∈R),y=cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同（反）.（2）对于y=Atan(x+)(A、、为常数),其周期单调区间利用解出x的取值范围,即为其单调区间.对于复合函数y=f(v),v=(x)，其单调性判定方法是:若y=f(v)和v=(x)同为增（减）函数时，y=f((x))为增函数；若y=f(v)和v=(x)一增一减时，y=f((x))为减函数.三角函数的对称性与奇偶性已知f(x)=sinx+cosx（x∈R），函数

y=f(x+)的图象关于直线x=0对称，则的值可以是 （）

先求出f(x+)的函数表达式.

f(x+)关于x=0对称，即f(x+)为偶函数.解析答案

D

f(x)=Asin(x+)若为偶函数,则当x=0时，f(x)取得最大或最小值.若f(x)=Asin(x+)为奇函数，则当x=0时，f(x)=0.如果求f(x)的对称轴,只需令x+=求x.如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令x+=k即可.三角函数的值域及最值

(12分)已知函数f(x)=2asin

的定义域为函数的最大值为1,最小值为

-5,求a和b的值.求出2x-的范围a>0时，利用最值求a、ba<0时，利用最值求a、b解3分7分11分12分

解决此类问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=Asin（x+）或y=Acos（x+）的最值,再由方程的思想解决问题.§1.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用要点梳理1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点.如下表所示.x0A0-A00基础知识自主学习2.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)

的图象的步骤如下:各点的纵坐标变为原来的A倍各点的纵坐标变为原来的A倍

以上两种方法的区别:方法一先平移再伸缩;方法二先伸缩再平移.特别注意方法二中的平移量.3.当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈(0,+∞))

表示一个振动时，A叫做

，叫做

，叫做

，ωx+φ叫做

，

φ叫做

.4.三角函数的图象和性质.振幅周期相位初相频率5.三角函数模型的应用

(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象.(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.基础自测1.（2009·湖南理，3）将函数y=sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数的图象，则φ等于（）

A.B.C.D.

解析将函数y=sinx的图象向左平移φ(0≤φ

<2π)个单位得到函数y=sin(x+φ),在A、B、C、

D四项中，只有D2.为了得到函数x∈R的图象，只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）解析将y=2sinx的图象向左平移个单位得到y=2sin的图象，将y=2sin图象上各点横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的图象，故选C.答案

C3.已知函数f(x)=asinx-bcosx(a、b为常数，

a≠0,x∈R)在处取得最小值，则函数

A.偶函数且它的图象关于点（π，0）对称

B.偶函数且它的图象关于点对称

C.奇函数且它的图象关于点对称

D.奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

()解析据题意，当时，函数取得最小值，由三角函数的图象与性质可知其图象必关于直线对称，故必有故原函数f(x)=asinx+acosx=答案

D,04.将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin(4x+φ)的图象，则φ等于（）

A.B.C.D.

解析将函数y=sin4x的图象向左平移个单位后得到的图象的解析式为C5.（2008·浙江理，5）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是（）

A.0B.1C.2D.4

解析函数图象如图所示，直线与该图象有两个交点.C作y=Asin(ωx+φ)的图象已知函数

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

(3)说明的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.

(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决.(2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点.(3)只要看清由谁变换得到谁即可.题型分类深度剖析解（1）的振幅A=2,周期XX方法一把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位,得到的图象,再把的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图象,最后把上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到的图象.方法二将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象向左平移个单位；得到的图象；再将的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的2倍，得到的图象.

（1）作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；（2）变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用来确定平移单位.求函数y=Asin(ωx+φ)+b的解析式如图为y=Asin（ωx+φ）的图象的一段，求其解析式.

首先确定A.若以N为五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是先下降后上升（类似于y=-sinx的图象），所以A<0；若以M点为第一个零点,由于此时曲线是先上升后下降（类似于y=sinx的图象），所以A>0.而可由相位来确定.解

方法一以N为第一个零点，方法二由图象知A=，①②

(1)①与②是一致的，由①可得②，事实上同样由②也可得①.(2)由此题两种解法可见，在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是重要的,应尽量使A取正值.(3)已知函数图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0）的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由图象求得的y=Asin（ωx+φ）（A>0,ω>0）的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范围，才能得出惟一解，否则φ的值不确定，解析式也就不惟一.（4）将若干个点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正确代入式中.依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx+φ=0；“第二点”（即图象曲线的最高点）为；“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx+φ=π；“第四点”（即图象曲线的最低点）为；“第五点”为ωx+φ=2π.§1.5两角和与差的正弦、余弦和正切要点梳理1.cos（α-β）=cos

αcosβ+sinαsinβ(Cα-β)cos(α+β)=

(Cα+β)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(Sα-β)sin(α+β)=(Sα+β)cosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβ基础知识自主学习前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是

(Tα+β需满足),(Tα-β需满足)k∈Z时成立，否则是不成立的.当tanα、tanβ或tan（α±β）的值不存在时，不能使用公式Tα±β,处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法来解.2.要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：α=(α+β)-β,α=(α-β)+β，2α=（α+β）+（α-β），

2α=（α+β）-（β-α）等等.3.二倍角公式sin2α=

;cos2α=

=

=

;tan2α=

.2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α4.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等.如Tα±β可变形为：

tanα±tanβ=

,tanαtanβ=5.函数f（α）=acosα+bsinα(a,b为常数)，可以化为f（α）=

或f（α）=

，其中φ可由a，b的值唯一确定.tan(α±β)(1

tanαtanβ)=.基础自测1.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为（）

A.B.C.D.

解析原式=cos43°cos(90°-13°)+sin43°cos(180°-13°)=cos43°sin13°-sin43°cos13°=sin(13°-43°)=-sin30°=B2.()解析由已知可得C3.（2009·陕西理，5）若3sinα+cosα=0,则

的值为（）A.B.C.D.-2

解析

3sinα+cosα=0,则A4.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan2α

等于（）A.B.C.D.解析

tan2α=tan［(α+β)+(α-β)］D5.（2009·上海理，6）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是

.解析∵y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x∴y最小值=1-.

三角函数式的化简、求值

(1)从把角θ变为入手,合理使用公式.(2)应用公式把非10°角转化为10°的角,切化弦.题型分类深度剖析解（1）原式

（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.（2）对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值.三角函数的给值求值

角的变换：所求角分拆成已知角的和、差、倍角等，综合上述公式及平方关系.

解

角的变换：转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等；如α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β)等；函数变换：弦切互化，化异名为同名.综合运用和、差、倍角与平方关系时注意角的范围对函数值的影响.当出现互余、互补关系，利用诱导公式转化.三角函数的给值求角已知tan(α-β)=,tanβ=,

且α,β∈(0,π),求2α-β的值.

对角2α-β拆分为α+(α-β);α拆分为(α-β)+β,先求tanα,再求tan(2α-β).

解∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0).∵tan(2α-β)=tan［α+(α-β)］

(1)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.（2）解这类问题的一般步骤为：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角.§1.6正弦定理和余弦定理要点梳理1.正弦定理:

,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:

（1）a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;

（2）a=

,b=

,c=

;

（3）等形式,以解决不同的三角形问题.2RsinC2RsinA2RsinB基础知识自主学习2.余弦定理:a2=

,b2=

,

c2=

.余弦定理可以变形为:cosA

,cosB=

,cosC=

.3.·r（r是三角形内切圆的半径）,并可由此计算R、r.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其它边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其它边或角.

情况（2）中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.

余弦定理可解决两类问题：（1）已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；（2）已知三边问题.5.解三角形的类型在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角

图形关系式

解的个数

一解

两解

一解

一解基础自测1.（2008·陕西理，3）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c=,b=,B=120°,

则a等于（）

A.B.2C.D.

解析D2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若

a、b、c成等比数列，且c=2a,则cosB等于()A.B.C.D.解析由已知得b2=ac,c=2a,B3.在△ABC中，A=60°,a=4,b=4,则B等于（）A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对

解析由正弦定理得又∵a>b,A=60°,∴B=45°.C4.已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc=16，则三角形的面积为（）

A.B.C.D.

解析C5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

若∠B=45°，b=，a=1，则∠C=

.

解析∵a<b,∠B=45°,∴∠A为锐角.

∴∠C=180°-30°-45°=105°.105°正弦定理的应用

(1)在△ABC中,a=,b=,B=45°.

求角A、C和边c；（2）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°.求边b

和c；（3）在△ABC中，a，b，c分别是∠A,∠B,∠C

的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2-c2=

ac-bc，求∠A及的值.

已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断.题型分类深度剖析解∵a>b,∴A=60°或A=120°.当A=60°时，C=180°-45°-60°=75°,当A=120°时，C=180°-45°-120°=15°.(2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°.（3）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，又∵a2-c2=ac-bc，∴b2+c2-a2=bc.在△ABC中，由余弦定理得

（1）已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.（2）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意.余弦定理的应用在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C

的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.

由

利用余弦定理转化为边的关系求解.

解

（1）由余弦定理知：(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.（2）熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.三角形形状的判定在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角

A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=

（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.

利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系.

解

方法一已知等式可化为

a2［sin（A-B）-sin（A+B）］=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由0<2A,2B<2π得2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A=-B,∴△ABC为等腰或直角三角形.方法二同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0∴a=b或a2+