初等解析函数和多值函数课件

§2.3初等解析函数和多值函数1、初等单值函数(1)幂函数幂函数在复平面上处处解析，同时可以证明多项式函数：也处处解析。而有理函数：除了点外解析。(2)指数函数指数函数的性质：(i)§2.3初等解析函数和多值函数1、初等单值函数(1)(ii)对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中的定义一致。

(iii)

(iv)指数函数处处解析，且：

(v)

(vi)不存在。证明：(iv)(ii)对于实数z=x来说，复数域中的指(3)三角函数性质：(i)正弦函数和余弦函数处处解析，且：(ii)正弦函数为奇函数和余弦函数为偶函数，并遵循三角公式：(iii)正弦函数和余弦函数以2

为周期；

(iv)sinz=0，则

cosz=0，则(3)三角函数性质：(i)正弦函数和(v)在复数域中，不能判定证明：(ii)

(v)在复数域中，不能判定证明：(ii)2、初等多值函数(I)根式函数：根式函数的多值性例如：很显然，w与z的模一一对应，但幅角却不然，w的幅角有三个不同的值与z的幅角对应：显然，对于同一个z值，有三个w与之对应，且三个值的幅角相差2/3。2、初等多值函数(I)根式函数：根式函数的多值性很显然若规定，w只在I区域取值，则z的值域与w的I区域就建立起了一一对应的关系。而对于其反函数z=w3来说，在区域I，不同的w值对应于z平面上不同的z值，这样的区域I(0<Arg(w)<2/3)，称为z=w3的单叶性区域。同理，区域II和III也是z=w3的单叶区域，三个单叶区域再加上相邻处的端边称为根式函数的三个单值分支。若规定，w只在I区域取值，则z的值域与w的I区域就建立起

(II)支点如图，在平面上任选一点z(r,

)，则利用第一个单值分支得：若让z(r,

)按逆时针方向沿一闭合曲线连续变化，若曲线不包括原点，则连续改变的幅角回到原来的值，而w的值也回到w1。但如果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而是回到w2：我们称z=0为的支点。(II)支点如图，在平面上任选一点z(r,)，若让定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点为多值函数的支点。对于根式函数来说，原点和无穷远点是其两个支点。

(III)支割线连接支点z=0和z=的任意一条射线，称为支割线。支割线将z平面割开，并规定z连续变化时不得跨越支割线，这就使得割开的z平面上任意闭合曲线都不包括原点，由此根式函数只在一个单值分支上取值。注：把一个多值函数划分为单值分支与支割线的选取密切相关，不同的支割线选取方式使得单值分支的区域定义也不相同。定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数w=f((IV)对数函数：显然：很明显，对数函数是多值函数，一个z对应有无数个w，彼此的虚部差2的整数倍。若限定-

<Arg(z)<

很明显，即-

<v(x,y)<，则z的对数只有一个取值，我们称之为ln(z)的主值支，记做：ln(z)。所以：显然：(IV)对数函数：显然：很明显，对数函数是多值函数，一个如在w平面上用平行于实轴的直线画出一个宽为2的条带，例如图中的I，则z与w为一一对应的关系。I为z=ew的单叶性区域。同样，对数函数也存在两个支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：而这无穷多个单值函数皆是解析函数。证明：如在w平面上用平行于实轴同样，对数函数也存在两个而这无穷多个考虑极限：所以：考虑极限：所以：对数运算法则：证明：对数运算法则：证明：例1：若a>0，计算Ln(-a).解：而：所以：例2：计算Ln(i).解：因为：所以：例3：计算ii。解：所以：因为：例1：若a>0，计算Ln(-a).解：而：所以：例2：计算L(III)反三角函数：由于：