浙江省杭州市周浦中学2022年高三数学文期末试卷含解析

浙江省杭州市周浦中学2022年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知平面向量的夹角为，（）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.函数的单调递增区间是（

）A． B．C.

D．参考答案：B3.若、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（

）A．若，则

B．若，则

C.若，则

D．若，则参考答案：C略4.函数在上的图象大致为参考答案：C略5.已知错误！未找到引用源。，，且，则的最大值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B6.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图，则该样本的中位数、众数分别是（

）A.45，56

B.46，45

C.47，45

D.45，47参考答案：B7.以下有关命题的说法错误的是（

）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．“”是“”成立的必要不充分条件C．对于命题，使得，则，均有D．若为真命题，则与至少有一个为真命题参考答案：D8.在中，若，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A试题分析：由可得,故,则,故应选A.考点：两角和的正切公式及余弦二倍角公式的综合运用.9.已知向量，，则等于(

)A.1

B.

C.2

D.参考答案：A10.设等差数列的前项和为,若,则的值等于

（

）A．54

B.45

C.36

D.27参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

参考答案：212.记，已知矩形ABCD中，AB=2AD，E是边AB的中点，将沿DE翻折至（平面BCD），记二面角为，二面角为，二面角为，二面角为，则____.参考答案：【分析】采用特例法，设平面A′DE⊥平面ABCD，取DE中点O，作出各个平面角，由正切值容易判定α最小．【详解】作为填空题，可用特例法，不妨设平面A′DE⊥平面ABCD，取DE中点O，连接A′O，则A′O⊥平面ABCD，由点O作各边的垂线OM，ON，OH，并连接A′M，A′N，A′H，则α＝∠A′HO，β＝∠A′NO，θ＝A′MO，γ＝90°，，易知所以最小，故答案为：．【点睛】此题考查了二面角的作法，求法，难度适中．13.求值：_________．参考答案：1=1【点睛】考查对数的运算性质，比较简单。14.四面体ABCD中，E是AD中点，F是BC中点，AB=DC=1，，则直线AB与DC所成角的大小为_________。参考答案：答案:

15.在的展开式中的常数项为

.参考答案：1016.若复数为纯虚数（为虚数单位），其中，则

.参考答案：317.数列满足：

（与分别表示的整数部分和小数部分），则

.参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知焦距长为4的双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点，且点在双曲线的一条渐近线上．（1）求该双曲线的方程；（2）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（3）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：由条件知，，设，．（I）双曲线的方程是（II）解法二：同解法一的（I）有当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入有．则是上述方程的两个实根，所以．．由①②③得．………④

．……⑤当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有．整理得．当时，点的坐标为，满足上述方程．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．故点的轨迹方程是．（III）假设在轴上存在定点，使为常数．当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入有．则是上述方程的两个实根，所以，，于是．因为是与无关的常数，所以，即，此时=．当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，此时．故在轴上存在定点，使为常数．19.已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为，圆C的极坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与圆C相切，求的值;（Ⅱ）若直线l与圆C有公共点，求的范围．参考答案：将方程和化为普通方程。则有，，有图可知（Ⅰ）直线l与圆C相切时，（Ⅱ）直线l与圆C有公共点，略20.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，点E、F分别为BC、AP中点.（1）求证：EF∥平面PCD；（2）若，求三棱锥的体积.参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）取中点，连接．推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面；．

（2）推导出，，从而平面，进而平面平面，平面，推导出，从而平面

平面，得点点到平面的距离等于点到平面的距离.，由此能求出三棱锥P-DEF的体积．【详解】（1）证明：取中点，连接.在△中，有

分别为、中点

在矩形中，为中点

四边形是平行四边形

而平面，平面

平面

（2）解：

四边形是矩形

，

平面平面,平面平面=，平面

平面

平面平面，平面

，满足

平面

平面

点到平面的距离等于点到平面的距离.而

三棱锥的体积为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题21.(1)求经过点的双曲线的标准方程；(2)已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．参考答案：略22.（本题满分12分）某寝室的5位同学为了缓解学习压力，放松心情，举办了主题为“中国梦，我的梦”的畅想活动。活动规则为：每位同学在相同的卡片上写上自己的祝福语和梦想，然后把5张卡片集中起来放在一个盒子中，每位同学从中随机抽取一张卡片。（1）求甲抽到乙所写的卡片，乙抽到甲所写的卡片概率；（2）设随机变量为5位同学中抽到的卡片为自己所写的卡片的人数，求的分布列与均值（不要求写出计算过程）。参考答案：解：设事件“甲抽到乙所写的卡片，乙抽到甲所写的卡片”为A，则-----