广西壮族自治区南宁市市江南区苏圩中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

广西壮族自治区南宁市市江南区苏圩中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，，则(

)

参考答案：C略2.设函数，则下列结论错误的是（

）A．的值域为

B．是偶函数C．不是周期函数

D．不是单调函数参考答案：C3.纯虚数z满足，则z的共轭复数为（

）A.－2i

B.2i

C.－4i

D.4i参考答案：B设，由，知，即，可得，从而，于是的共轭复数，故选B.4.已知复数的实部为，且，则复数的虚部是A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是 A．甲被录用了 B．乙被录用了

C．丙被录用了 D．无法确定谁被录用了参考答案：A6.已知复数，则=（

）A． B． C． D．参考答案：B试题分析：，故选B.考点：1.复数的运算.

7.已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A8.若f（x）=x3﹣x2+x﹣1，则f（i）=（）A．2i B．0 C．﹣2i D．﹣2参考答案：B【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算．【分析】本题是一个求函数值的问题，把自变量的值代入函数式，根据虚数单位的特点，得到结果，这是一个送分的问题．【解答】解：由题意知f（x）=x3﹣x2+x﹣1，∴f（i）=i3﹣i2+i﹣1=﹣i+1+i﹣1=0，故选B9.设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意都有成立，则称和在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”。若与在上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是()A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知在区间内是减函数，则的取值范围是

．参考答案：12.方程的解是

。参考答案：13.若复数，(i为虚数单位)，则＝

。参考答案：514.设为虚数单位，则______.参考答案：因为。所以15.曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为________________。参考答案：

解析：即16.已知数列{an}满足，a1=0，数列{bn}为等差数列，且an+1=an+bn，b15+b16=15，则a31=

．参考答案：225【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由已知得an+1=b1+b2+b3+…+bn，从而a31==15（b15+b16），由此能求出结果．【解答】解：∵数列{an}满足，a1=0，数列{bn}为等差数列，且an+1=an+bn，b15+b16=15，∴an+1=b1+b2+b3+…+bn，∴a31=b1+b2+b3+…+b30==15（b15+b16）=15×15=225．故答案为：225．17.设是的三边中垂线的交点,分别为角对应的边,已知,则的范围是___________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，.(1)求函数在上的单调区间；(2)若函数有两个不同的极值点，且，求实数的取值范围．

参考答案：解：（I）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=，f（x）在上递减，在上递增。(1)当时，函数f（x）在上递减；（2）当时，函数f（x）在上递减，在上递增；（3）当时，函数f（x）在上上单调递增。

略19.已知函数f（x）=alnx﹣bx3，a，b为实数，b≠0，e为自然对数的底数，e=2.71828．（1）当a＜0，b=﹣1时，设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最大值；（2）若关于x的方程f（x）=0在区间（1，e]上有两个不同的实数解，求的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出g（a）的最大值即可；（2）问题转化为函数y1=的图象与函数m（x）=的图象有2个不同的交点，根据函数的单调性求出的范围即可．【解答】解：（1）b=﹣1时，f（x）=alnx+x3，则f′（x）=，令f′（x）=0，解得：x=，∵a＜0，∴＞0，x，f′（x），f（x）的变化如下：x（0，）（，+∞）f′（x）﹣0+f（x）递减极小值递增故g（a）=f（）=ln（﹣）﹣，令t（x）=﹣xlnx+x，则t′（x）=﹣lnx，令t′（x）=0，解得：x=1，且x=1时，t（x）有最大值1，故g（a）的最大值是1，此时a=﹣3；（2）由题意得：方程alnx﹣bx3=0在区间（1，e]上有2个不同的实数根，故=在区间（1，e]上有2个不同是实数根，即函数y1=的图象与函数m（x）=的图象有2个不同的交点，∵m′（x）=，令m′（x）=0，得：x=，x，m′（x），m（x）的变化如下：x（1，）（，e]m′（x）﹣0+m（x）递减3e递增∴x∈（1，）时，m（x）∈（3e，+∞），x∈（，e]时，m（x）∈（3e，e3]，故a，b满足的关系式是3e＜≤e3，即的范围是（3e，e3]．20.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求a+c的最大值．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简等式2bcosA=2c﹣a，可得（2cosB﹣1）sinA=0，结合sinA＞0得到cosB，从而解出B；（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子，解出12=a2+c2﹣ac．再利用基本不等式得出结论．【解答】解：（1）∵2c﹣a=2bcosA，∴根据正弦定理，得2sinC﹣sinA=2sinBcosA，∵A+B=π﹣C，可得sinC=sin（A+B）=sinBcosA+cosBsinA，∴代入上式，得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA﹣sinA，化简得（2cosB﹣1）sinA=0∵A是三角形的内角可得sinA＞0，∴2cosB﹣1=0，解得cosB=，∵B∈（0，π），∴B=；（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得12=a2+c2﹣ac．∴（a+c）2﹣3ac=12，∴12≥（a+c）2﹣ac，（当且仅当a=c=2时）∴a+c≤4，∴a+c的最大值为4．21.为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（1）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（2）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（3）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．参考答案：【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图的性质可（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解方程即可得到a的值；再根据样本容量=频数÷频率，求出参加“掷实心球”项目测试的人数；（2）根据题意，成绩在最后两组的为优秀，其频率为0.15+0.05，由频率计算公式即可算出该样本中成绩优秀的人数，根据样本估计总体的原则得出估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（3）由频率计算公式得样本中第一组共有2人，得第二组共有6人．用列举的方法计算出基本事件的总数共有28个，而抽取的2名学生来自不同组构成的基本事件有12个．由此结合古典概型计算公式即可算出所求概率．【解答】解：（1）由题意可知（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解得a=0.05．所以此次测试总人数为=40．答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人．

（2）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为（0.15+0.05）×2=0.4，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4．

（3）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．由已知，测试成绩在[2，4）有2人，记为a，b；在[4，6）有6人，记为c，d，e，f，g，h．从这8人中随机抽取2人共28种情况ab，ac，ad，ae，af，ag，ah，bc，bd，be，bf，bg，bh，cd，ce，cf，cg，ch，de，df，dg，dh，ef，eg，eh，fg，fh，gh，事件A包括共12种情况．ac，ad，ae，af，ag，ah，bc，bd，be，bf，bg，bh，所以事件A的概率P==．答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率．【点评】本题给出频率分布直方图，求样本中成绩优秀的人数，并求一个随机事件的概率．着重考查了频率分布的计算公式和古典概型计算公式等知识，属于基础题．22.（12分）已知函数上是增函数。

（I）求整数a的最大值；

（II）令a是（I）中求得的最大整数，若对任意的恒成立，求实数b的取值范围。参考答案：解析：（I）∴要使函数上是增函数则有恒成立…………3分而由此知，满足条件的整数a的最大值为1。

…………6分

（II）由（I）知