矩形的五种折叠方法

矩形的五种折叠方法一、沿对角线折叠。例如，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，OC=3。将△OAB沿对角线OB翻折得到△OBN，ON与AB交于点M。根据折叠原理，得到△OBM是等腰三角形，且面积为6，MN的长为2。二、折一角，使直角顶点到对边。例如，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4。在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处。根据折叠原理，得到点D的坐标为(3,4)。三、折叠矩形的对角，使对角的顶点重合，求折痕的长。这种折叠方法需要根据勾股定理求解折痕的长。例如，已知矩形ABCD的长为10，宽为6，将其沿对角线折叠，使对角的顶点重合，求折痕的长为8。四、折叠矩形的一边，使其与另一边垂直相交。例如，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处。若∠BAF＝60°，则根据折叠原理，可以求得∠EAF的度数为30°，线段CE的长为8，△AEF的面积为12。五、折叠矩形的一边，使其与另一边平行相交。这种折叠方法需要根据平行四边形的性质求解。例如，已知矩形ABCD的长为8，宽为6，将其沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处。根据平行四边形的性质，可以求得BF的长为4，CF的长为2，然后根据勾股定理求解EC的长为2√5。通过以上五种折叠方法的总结和练习，相信大家已经掌握了矩形折叠问题的解法，可以在中考中应对各种题型。1.如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，求折痕EF的长度。解析：由折叠原理可知，DE=BE且AE+BE=AD=9。根据勾股定理求得BE的长度为$\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{72-9}=3\sqrt{7}$。因为DE=BE，所以EF=2DE=2BE=6$\sqrt{7}$。2.如图，将矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上，若AB=3，则折痕AE的长度为多少，∠BAG=45°。解析：因为AB=3，所以AM=MB=1.5。由于B点叠在MN线上，所以AN=NB。因为∠BAG=45°，所以∠NAG=45°。因此，AG=AN=NB=1.5，所以AE=2AG=3。3.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在B'处，当△CEB'为直角三角形时，求BE的长度。解析：将∠B沿AE折叠后，得到折痕线BF。因为矩形ABCD中，AB=3，BC=4，所以AC=5。因为AE=AC-CE=5-4=1，所以BE=BF=1。因为△CEB'为直角三角形，所以BE'=$\sqrt{CE^2+CB'^2}$。因为CE=4，所以$BE'=\sqrt{4^2+3^2}=5$。4.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长度为多少。解析：因为E是AB的中点，所以AE=EB=2。因为AD=3，所以AC=$\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{9+16}=5$。因为AE=2，所以CE=AC-AE=3。因为DE交对角线AC于点F，所以AF=FC。因此，CF=2AF=2$\sqrt{AC^2-AF^2}$。因为AC=5，所以$CF=2\sqrt{5^2-AF^2}$。因为$\triangleADF\sim\triangleCAF$，所以$\dfrac{AF}{DF}=\dfrac{AC}{AD}$，即$AF=\dfrac{AC}{AD}\cdotDF=\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{4}{3}$。因此，$CF=2\sqrt{5^2-\left(\dfrac{4}{3}\right)^2}=2\sqrt{\dfrac{161}{9}}=\dfrac{2\sqrt{161}}{3}$。1.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（）。解：根据菱形的性质，菱形的对角线相交于一点，且对角线长度相等。因此，我们可以得出AC=BD=√(10²+24²)=26。又因为菱形的四条边长度相等，所以周长为4×AC=104。故选项A正确。2.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB=，BD=2，求OE的长。解：（1）因为AB//DC，且AC平分∠BAD，所以∠BAC=∠CAD，又因为AB=AD，所以△ABC≌△ADC，从而AC=BD。又因为AC平分∠BAD，所以∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，所以△OAB≌△OCD，从而OA=OD。同理可得OB=OC。因此，ABCD是菱形。（2）根据题意，我们可以列出以下方程组：OE²+CE²=OC²CE²+BE²=BC²AB=ADBD=2解得CE=√3，OE=√(OC²-CE²)=√(4²-3)=√13。因此，OE的长为√13。故选项B正确。3.如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．解：根据题意，我们可以得到以下结论：∠BAC=∠FDE∠ABE=∠DCFBE=CF因此，根据相似三角形的性质，我们可以得到：△ABE∽△DCF因此，AE/DC=BE/CF=1，即AE=DC，从而ABED是平行四边形。故命题成立。4.如图，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EF过点O，交AD于点E，交BC于点F．求证：OE=OF。解：根据题意，我们可以得到以下结论：∠AOC=∠BOD∠EOA=∠FOB因此，根据相似三角形的性质，我们可以得到：△EOA∽△FOB因此，OE/OB=EA/AB=FC/BC=OF/OB，即OE=OF。故命题成立。5.已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点。（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．解：（1）因为G是BE的中点，H是CE的中点，所以GH∥BC，且GH=1/2BC。又因为F是BC的中点，所以BF=FC=1/2BC。因此，△BGF≌△FHC（SSS相似性质）。（2）因为四边形EGFH是正方形，所以EG=GH=HF=FE。因此，AE=AD-DE=a-DE。又因为G是BE的中点，所以DG=1/2DE。因此，AG=AD-DG=a-1/2DE。因为△ABE∽△DCE，所以AE/DC=AB/CD，即(a-DE)/a=AB/CD。因此，AB=a²/(a+DE)，CD=a²/(a-DE)。因为矩形的面积为AB×CD，所以S=a²-DE²。因为四边形EGFH是正方形，所以DE=EG=a/2-BC/2。因此，S=a²-(a/2-BC/2)²=a²/2+BC²/4。故选项B正确。6.如圈1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．（1）求证：CM=EM；（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点求证：AN∥EM。解：（1）因为M是BD的中点，所以BM=MD。因为CM∥DE，所以∠MCE=∠EDF。因为∠ACB=90°，所以∠ADE=∠ACB=90°。因此，△ADE∽△ECM。因为M是BD的中点，所以BM=MD，因此∠ABM=∠MDC。因此，△ABM∽△MDC。因为BM=MD，所以AM=MC，即CM=EM。故命题成立。（2）因为∠ACB=90°，所以∠ADE=∠ACB=90°。因此，△ADE∽△ECM。因为M是BD的中点，所以BM=MD，因此∠ABM=∠MDC。因此，△ABM∽△MDC。因为BM=MD，所以AM=MC，即CM=EM。因为∠BAC=50°，所以∠ABD=∠ADB=20°。因为BM=MD，所以∠ABM=∠MDC=70°。因此，∠EMF=∠ABM-∠ABD=50°。故选项B正确。（3）因为△DAE≌△CEM，所以∠ADE=