广东省广州市钟落潭中学高一数学文下学期摸底试题含解析

广东省广州市钟落潭中学高一数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义运算，其中是向量的夹角.若，则(A)８（B）－８（C）８或－８（D）６参考答案：解析：∵∴，又θ是向量的夹角

∴∴

故选A；2.设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中a，b，α，β均为非零的常数，f的值为（）A．1 B．3 C．5 D．不确定参考答案：B【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式求得asinα+bcosβ=﹣7，再利用诱导公式化简f=asin+bcos+4=asinα+bcosβ+4=3，∴asinα+bcosβ=﹣1，故f+bcos+4=asinα+bcosβ+4=﹣1+4=3，故选：B．3.等比数列的各项均为正数，其前项的积为，若,则的最小值为A.

B．

C．

D．参考答案：A略4.函数的图像的大致形状是（

）．A．B．C．D．参考答案：B本题主要考查函数的概念和图象．根据绝对值的定义，，根据指数函数性质，为增函数，为减函数，根据选项可知符合．故本题正确答案为．5.已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为()A．－2

B．6

C．1

D．0参考答案：B6.（5分）指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示，则（） A． a＜0，b＜0 B． a＜0，b＞0 C． 0＜a＜1，0＜b＜1 D． 0＜a＜1，b＞1参考答案：D考点： 指数函数的单调性与特殊点．专题： 函数的性质及应用．分析： 直接利用指数函数的性质判断选项即可．解答： 指数函数y=ax，当a＞1时函数是增函数，0＜a＜1时函数是减函数，有函数的图象可知：0＜a＜1，b＞1．故选：D．点评： 本题考查正弦函数的单调性与指数函数的基本性质的应用．7.已知集合，若∩,则A.3

B.2

C.1

D.0参考答案：A8.若（，且），则函数的定义域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.已知函数f（x）=2x+1，则（）A．f（x）的图象经过点（0，1） B．f（x）在R上的增函数C．f（x）的图象关于y轴对称 D．f（x）的值域是（0，+∞）参考答案：B【考点】指数函数的图象变换．【专题】探究型；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】把指数函数y=2x的图象向上平移1个单位，然后再结合y=2x的性质可得函数f（x）=2x+1的性质，则答案可求．【解答】解：函数f（x）=2x+1的图象是把y=2x的图象向上平移1个单位得到的．∴f（x）=2x+1的图象过点（1，1），在R上是增函数，图象不具有对称性，值域为（1，+∞）．综上可知，B正确．故选：B．【点评】本题考查指数函数的性质，考查了指数函数的图象平移，是基础题．10.已知函数,若关于x的方程有两个不同的实数解,则实数k的取值范围是（

）A．k＜0或k≥1

B．k＞1

C.0＜k＜1或k＜0

D．0＜k≤1参考答案：C由题意有两个不同的实数解，则有两个根是其中一个根当时原式为当时成立，当时，在第一象限有一个交点，则在第二象限无交点无解综上，实数的取值范围是或故选

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等差数列中，是它的前项之和，且，，则：①数列的公差；

②一定小于；

③是各项中最大的一项；④一定是中的最大值．其中正确的是

（填入你认为正确的所有序号）．参考答案：①②④略12.甲、乙两个班级各随机选出若干同学的某次测验成绩，其茎叶图如图，则甲班同学成绩的中位数与乙班同学成绩的中位数之和为

参考答案：14513.设函数=，若函数f(x)-a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_______．参考答案：[0,2)【分析】先将方程变形为,根据数形结合思想,y=a与f(x)必须有两个交点,即可求出a的范围.【详解】函数有两个不同的零点,即有两个不同的交点,所以函数与函数y=a有两个交点,如图所示:所以a的范围是[0,2)【点睛】本题考查了数形结合和化归转化的数学思想，将函数的零点、方程的根、函数的交点的转化，再利用数形结合确定参数a的范围，属于中档题目；解题中关键是将方程的根转化为两个函数交点的问题.14.（4分）函数f（x）=cos2x+sinxcosx在[﹣，]的取值范围是_________．参考答案：15.下图是甲，乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况的茎叶图。那么甲、乙两人得分的标准差s甲___________s乙（填“<”,“>”或“=”）。参考答案：>16.若集合，，则=________．参考答案：略17.若函数，零点，则n=______.参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设f（x）的定义域为[﹣3，3]，且f（x）是奇函数，当x∈[0，3]时，f（x）=x（1﹣3x）．（1）求当x∈[﹣3，0）时，f（x）的解析式；（2）解不等式f（x）＜﹣8x．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质进行求解即可．（2）根据函数的解析式，利用分类讨论的思想解不等式即可．【解答】解：（1）若x∈[﹣3，0），则﹣x∈（0，3]，即f（﹣x）=﹣x（1﹣3﹣x）．∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣x（1﹣3﹣x）=﹣f（x），即f（x）=x（1﹣3﹣x）．x∈[﹣3，0）．（2）若x∈[0，3]时，由f（x）=x（1﹣3x）＜﹣8x．得1﹣3x＜﹣8，即3x＞9，即2＜x≤3，若x∈[﹣3，0）时，由f（x）=x（1﹣3﹣x）＜﹣8x．得1﹣3﹣x＞﹣8，即3﹣x＜9，即﹣2＜x＜0，综上不等式的解集为（﹣2，0）∪（2，3]．19.函数对一切x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求证f(x)是奇函数；（2）若f(-3)=a,求f(12)（用a表示）。参考答案：证明：（1）∵f(x+y)=f(x)+f(y)令y=-x,得：f(0)=f(x)+f(-x)令x=y=0,得：f(0)=f(0)+f(0)∴f(0)=0∴f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数；（2）f(12)=2f(6)=4f(3)=-4f(-3)=-4a20.(2010·福建)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．参考答案：方法一(1)如图(1)，设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝＝＝.故当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30.即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2×20×30t×cos(90°－30°)，故v2＝900－＋.

∵0<v≤30，∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥.

又t＝时，v＝30.故v＝30时，t取得最小值，且最小值为.此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．方法二(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇(如图(2)．在Rt△OAC中，OC＝20cos30°＝10，AC＝20sin30°＝10.又AC＝30t，OC＝vt.此时，轮船航行时间t＝＝，v＝＝30.即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

(2)猜想v＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时AD＝DO＝30t.又∠OAD＝60°，∴AD＝DO＝OA＝20，解得t＝.据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30海里/时．这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明如下：如图(3)，由(1)得OC＝10，AC＝10，故OC>AC，且对于线段AC上的任意点P，有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇．设∠COD＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt△COD中，CD＝10tanθ，OD＝.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t＝和t＝，∴＝.由此可得，v＝.又v≤30，故sin(θ＋30°)≥.

从而，30°≤θ＜90°.由于θ＝30°时，tanθ取得最小值，且最小值为.于是，当θ＝30°时，t＝取得最小值，且最小值为.方法三(1)同方法一或方法二．(2)设小艇与轮船在B处相遇．依据题意得：v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，(v2－900)t2＋600t－400＝0.①若0<v<30，则由Δ＝360000＋1600(v2－900)＝1600(v2－675)≥0，得v≥15.从而，t＝，v∈[15，30)．当t＝时，令x＝，则x∈[0,15)，t＝＝≥，当且仅当x＝0，即v＝15时等号成立．当t＝时，同理可得<t≤.综上得，当v∈[15，30)时，t>.②若v＝30，则t＝.综合①②可知，当v＝30时，t取最小值，且最小值等于.此时，在△OAB中，OA＝OB＝AB＝20，