牛顿-莱布尼茨公式的详细证明

牛顿—莱布尼茨公式•前言此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多余，不过在一些条件上如函数f(X),我们是默认可积的。所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！(Ps：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字•定积分性质的证明首先给出定积分的定义：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n个区间[a,X]],[X],x2]...[Xn，Xn]]，其中x=a，xn=b，第i个小区间Ax.=x.-x.1(i=1,2_n)o由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为ASi=f(si)Ax.，为此定积分可以归结为一个和式的极限即：fbf(x)dx二lim为fCi)AXinT8.4i=1b性质1证明fcdx=C(b-a)，其中C为常数.fbf(x)dx=limSf(&,)Ax.=limc(x1-x0+x2-x1+...+xn~xn_1)a ns.v mgi=1=limc(xn-x0)=c(b-a)mg几何上这就是矩形的面积性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C为常数.设K(x)=F(x)-G(x)定义域为K・.・F'(x)=G'(x)=z(x)K'(x)=F'(x)一G(x)=z(x)一z(x)=0•••K'(x)=limK(x心)-K(x)=0AxT0 Ax

即对任意的xWK,都存在一个以|Ax|为半径的区间,使得K(x+Ax)=K(x)・••函数值在K内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线Jb即:Jb性质3：如果f(x)Wg(x),则J"f(x)dx<J"g(x)dxa设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)WO..)Ax.<0ii即J°k(x).)Ax.<0ii即J°k(x)dx=J"[f(x)-g(x)]dx=Jbf(x)dx-Jbg(x)dx<0aaaa.•.Jbf(x)dx<Jbg(x)dxJbk(x)dx_Jb丁aaf(x)dx<Jbg(x)dxaa相关定理的证明介值定理：设f(x)在区间［a,b］上连续，当x^［a,b］，取m为f(x)的最小值,M为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m,M的数C,至少存在一点£W(a,b),有f(e)=C证明：运用零点定理:设f(x)在［a,b］上连续,若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点£^(a,b)，有f(£)=0设xl,x2G［a,b］,且xl〈x2,f(xl)=m,f(x2)=M,g(x)二f(x)-C,其中m<C<M则：g(x1)=f(x1)-C<0 g(x2)=f(x2)-C>0即：g(x1)*g(x2)<0由零点定理得，至少存在一点£G(xl,x2),有g(e)=0=f(e)-C=>f(e)=CPs：在这里，零点定理在高中应该有介绍，很美妙的一个定理，在几何上有明显的意义，通俗的理解是：有两个点，一个大于0(在x轴上方)，一个小于0(在x轴下方)，要用一条连续的线把它连起来，那么势必至少会与x轴有一个交点。严格的证明这里就不了，其实我也不太懂，有兴趣的可以上网查查.

积分中值定理：若函数f(x)在区间［a,b］上连续,，则在区间［a,b］上至少存在一个点£丘(a,b),有Jbf(x)dx二f(£)(b-a)a几何意义:曲线所围成的面积总有一个以积分区间为长的矩形面积与之相等设f(x)在区间［a,b］的最大值为M，最小值为m，Jbmdx<Jbf(x)dx<JbMdxa a anm(b-a)<Jbf(x)dx<M(b-a)aJbf(x)dxnm<_a <Mb-a即：mWf(x)WM(a,b),有即：mWf(x)WM(a,b),有积分上限函数(变上限的定积分)的定义设函数f(x)在区间［a,b］上连续，则定积分f(兀冲的值由区间［a，b］与a IJbf(t)dta积分变量的记号x无关，因此可以记为x积分上限函数(变上限的定积分)的定义设函数f(x)在区间［a,b］上连续，则定积分f(兀冲的值由区间［a，b］与a IJbf(t)dta积分变量的记号x无关，因此可以记为xf(t)dt，当xaf(x)决定，与而对于积分所确定的值与之对应，因此积分.［a,b］时，都会有一个由积分Jf(t)dtaXf(t)dt是上限x的函数.记为：a申(x)=Jxf(t)dta申'(x)=f(x)下面证明显然，我们好自然会从左边证起，因为我们要运用Ex)的定义，用到导数的定义，更重要的是，因为我们要落笔，而不是呆呆的看。(因为有的人是在看，有的人是在观察，这明显存在很大的差别)

, 申(x+Ax)—申(x)TOC\o"1-5"\h\z・.・9(x)=lim =limAxT0『 » AxT0Jaf(t)dt+Jx+Axf(t)dt=limx a_AxT0 AxJxJx+Axf(t)dt—Jxf(t)dta aAxJx+Axf(t)dt=lim匚AxT0 AxJx+Axf(t)dt=f(S)A(其中8是在x与x+Ax之间)x•••0(x)=limJTT(t)dt=lim空空=limf(8)AxT0 Ax AxT0 Ax AxT0这就是你想看到的，显然，当AX->0时，8->X・・・0(x)二limf(8)二f(x)AxT0通往真相的最后一步证明:Jbf(x)dx二F(b)—F(a)证明:a・・9(x)=Jx・・9(x)=Jxf(t)dta也是f(x)的一个原函数由性质2：f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数C,有F(x)=9(x)+C・・F(b)=9(b)+C F(a)=9(a)+CF(b)—F(a)=9(b)—9(a)