相似三角形小结与复习

第十九章相似三角形小结与复习一、掌握本章知识结构［线骂苗出:比例的性质线啟的比I成比例的线段一平行线分线段成比例相似形+相似三角形（定义、判定及性质）推U广、相似多边形（定义及性质）二、按照“特殊——一般——特殊”的认识规律，理解本章的基本图形的形成、变化及发展过程，把握本章的两个重点1.平行线分线段成比例定理所对应的基本图形（2从）一般到特殊：要求：用对比的方法掌握相似三角形和相似多边形的定义及性质，系统总结相似三角形的判3熟.悉一些常用的基本图形中的典型结论有助于探求解题思路.bb已知：3'5.求:b€的值分析：已知等比条件时常有以下几种求值方法：设比值为（2比）例的基本性质；（3方）程的思想，用其中一个字母表示其他字母abbc即 设二一及一，-即 设则b－)c:)(=ba2b5解法二-.•b3'c4a+b5b一c_1a+b25-b3'b5-b一c3解法一由得TOC\o"1-5"\h\za bb 5 2 4b，,—， a， ,c，—解法三■/2 3c 4...3b 5<2 )/ 、b+b\a+b„ (3丿 5 1 25(b€c„ ( 4" 3 5 3b一一b- k5丿例2已知：如图,在梯形中，〃，对角线交于点,112112+€ADBCEF过作〃，分别交，于，求证:若为梯形中位线，求证〃分析：（1利）用比例证明两线段相等的方法ac①若dd■或 nd IJIH nd ■或ab②若da则 只适用于线段，对实数不成立；aca' c'③若ddd' d' / / /则=利）用平行线证明比例式及换中间比的方法112111+—+——证明ADBCEF时，可将其转化为“abc”类型后:C+C—1化为ab直接求出各比值，或可用中间比求出各比值再相加，证明比值的和为1；直接通分或移项转化为证明四条线段成比例.（4可）用分析法证明第（3题），并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题延长，交于，〃

〃成立用运动的观点将问题进行推广若直线平行移动后不过点，分别交，，，于，，，，如图与是否相等为什么（6其）它常用的推广问题的方法有：类比、从特殊到一般等例3已知：如图5－12在^中， =为中点，丄于，为中点，1八、、9交于N交于求证： 丄分析：（1分）解基本图形探求解题思路.（2总）结利用相似三角形的性质证明两角相等，进一步证明两直线位置关系（平行垂直等）

ADDE的方法，利用△s'得到DCCFADDF结合中点定义得到BCCE结合Z=得到△s'，因此Z=进一步可得到丄总结证明四条线段成比例的常用方法：①比例的定义；②平行线分线段成比例定理；③三角形相似的预备定理；④直接利用相似三角形的性质；⑤利用中间比等量代换；⑥利用面积关系进例已知：如图一，△中，Z °,丄于，丄于，丄于求证：分析A D Q掌握基本图形“ △ ,Z。，丄于”中的常用结论勾股定理：面积公式：*三个比例中项：AC-CD=BC-AD,两个等积式Jbc•CD二AC・ED（可由图中相似三角形得到）-AC-CD=BC-AD,AC2€ADBC2BD（，灵）活运用以上结论，并掌握恒等变形的各种方法，是解决此类问题的基本途径，如等式两边都乘或除以某项，都平方、立方，或两等式相乘等进

学习三类问题的常见的思考方法，并熟悉常用的恒等变形方法证明型：先得到型，再两边乘方，求出来，进行化简证法一或在两边乘以同一线段，再进行化简证法二证明 型问题的常用方法：a2€m mci先证b2n再利用中间比证明ndaxa2 x2 x2c ii先证by再两边平方：b2 y2然后设法将右边降次，得y2damae a2meiii先分别求出bnbf两式相乘得b2 nf再将右边化简证明 型问题的常用方法：a2€mxi先用有关定理求出b2 ny，再通过代换变形实现；a_xii先证by两边平方或立方，再通过代换实现；amaeax a3mexc ... iii先分别求出bnbfby然后相乘并化简：b3nfy d第题：证法一••• •AC，BC证法二AC，BCAB(BD证法二AC，BCAB(BD，BC…AB„，AB第（2题）：BC2BD，BABDBDDF_CE证法一AC2AD，ABAD利用△s△A证得ADEAAE命题得证BCDEBC2DE2AE•ECCE€ ,得€ € € -证法二由ACAEAC2AE2AE2 AE证法三■/△ aBC_DF•-•ACde相似三角形对应高的比等于对应边的比BCDE■BCDE■〃■AC5・・AE■第（3题）BC2_BD•AB证法•AC2—AD•ABBDADBC2_DF.DE_DFCEAC2—DE~AE~~AE~~AEBC4_BD2_BF•BCBC3_BF

•.AC4—AD2—AE•AC二AC3—ABC_DF证法二：△■证法二：△5 ・・BC3_DF3_DF•DF2_DF•BF•CF_BF二AC3—DE3—DE•DE2~DE•AE•EC~~AE.BC_DFBC_DEBC_BF证法三■.•AC_DE，AC~AE，AC_DFBC3BCBCBCDF•DE•BFBF€••€€■•AC3ACACACDE•AE•DFAE四、师生共同小结在学生思考总结的基础上，教师归纳：1本.章重点内容及基本图形.2.本章重要的解题方法、数学思想方法及研究问题的方法.五、作业课本第〜页复习题五中选取补充题：1利.用相似三角形的性质计算.已知：如图一，在△，中z ,为上一点，过交于，过作丄交于若J 6=5求的长答:的中线求证：提示:证明交于，过作丄交于若J 6=5求的长答:的中线求证：提示:证明△S△DE得到AB3若已知：如图〃求证：,△内一点分别作各边的平行线〃C，F〃GAB，竺+DH+GK€1A)CABBC设△若构造相似三角形来解决问题设△若构造相似三角形来解决问题已知:如图一，△则S.兀仏"中点，点在上，，zO°0，;答：8O°0，提示：延长至，使作Z平分线交于一（2已）知：如图5－3在^中，Z：Z:z求证：若BACBC若111AB+AC1+€€（提示：把ABACBC变形为AB，ACBC，进-步变形为AB+ACACAB BC设法AB+ACAC和构造相似三角形，使其对应边的比分别为ABBC，作 交延长线于，延长至，使5构.造基本图形（平行线分线段成比例定理）.三线交于一点若求证：AFBDCE