吉林省长春市田家炳实验中学2023年数学高二第二学期期末统考模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1,f(2)=,则()A．a< B．a<且a≠1 C．a>且a<-1 D．-1<a<2．已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（）A． B． C． D．3．已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（）A． B． C． D．4．在一组样本数据为，，，（，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（）A． B． C．1 D．-15．已知向量，，若，则（）A．－1 B．1 C．－2或1 D．－2或－16．已知直线l过点P(1,0,－1)，平行于向量，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是（）A．(1,－4,2) B． C． D．(0,－1,1)7．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）．A． B． C． D．8．若，是第三象限的角，则（）A． B． C． D．9．函数（）A． B．C． D．10．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有第一节第二节第三节第四节地理B层2班化学A层3班地理A层1班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A．8种 B．10种 C．12种 D．14种11．“，”的否定是A．， B．，C．， D．，12．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的取值为（）A．-2 B．-1 C．1 D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆，圆，直线分别过圆心，且与圆相交于两点，与圆相交于两点，点是椭圆上任意一点，则的最小值为___________；14．给出下列命题：①“”是“”的充分必要条件；②命题“若，则”的否命题是“若，则”；③设，，则“且”是“”的必要不充分条件；④设，，则“”是“”的必要不充分条件.其中正确命题的序号是_________.15．已知函数，则当函数恰有两个不同的零点时，实数的取值范围是______．16．已知，且复数是纯虚数,则_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知二阶矩阵A=abcd，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α118．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点.（1）求椭圆的标准方程以及的取值范围；（2）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形.19．（12分）如图所示，四边形为菱形，且，，，且，平面.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的正弦值.20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数且）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由.21．（12分）已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且、、成等比数列.（1）求通项公式；（2）设，求数列的前项和.22．（10分）如图，在多面体中，四边形是菱形，⊥平面且.(1)求证：平面⊥平面；(2)若设与平面所成夹角为，且，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

先利用函数f（x）是定义在实数集上的以3为周期的奇函数得f（2）=f（-1）=-f（1），再利用f（1）＞1代入即可求a的取值范围．【详解】因为函数f（x）是定义在实数集上的以3为周期的奇函数，

所以f（2）=f（-1）=-f（1）．

又因为f（1）＞1，故f（2）＜-1，即＜-1⇒＜0

解可得-1＜a＜．

故选：D．【点睛】本题主要考查了函数的周期性，以及函数奇偶性的性质和分式不等式的解法，属于基础题．2、B【解析】

由和都是定义在上的偶函数，可推导出周期为4，而，即可计算.【详解】因为都是定义在上的偶函数，所以，即，又为偶函数，所以，所以函数周期，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.3、B【解析】

求得的导数，可得切线的斜率，由直线的斜率公式，可得所求倾斜角．【详解】函数的导数为，可得在处的切线的斜率为，即，为倾斜角，可得．故选：B．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，是解题的关键，属于容易题．4、D【解析】

根据回归直线方程可得相关系数．【详解】根据回归直线方程是yx+2，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线上，则有|r|＝1，∴相关系数r＝﹣1．故选D．【点睛】本题考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的含义是解题的关键．5、C【解析】

根据题意得到的坐标，由可得的值.【详解】由题，，，或，故选C【点睛】本题考查利用坐标法求向量差及根据向量垂直的数量积关系求参数6、D【解析】试题分析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），选项A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2）=0满足垂直，故正确；选项B，（2，1，1）（，-1，）=0，（0，2，4）（，-1，）=0满足垂直，故正确；选项C，（2，1，1）（-，1，−）=0，（0，2，4）（-，1，−）=0满足垂直，故正确；选项D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）≠0，故错误．考点：平面的法向量7、D【解析】

是奇函数，故；又是增函数，，即则有，解得，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.8、B【解析】

先利用同角三角函数的基本关系计算出的值，然后利用两角和的正弦公式可计算出的值.【详解】是第三象限角，，且，因此，，故选B.【点睛】本题考查两角和的正弦公式计算三角函数值，解题时充分利用同角三角函数的基本关系进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.9、A【解析】

由于函数为偶函数又过（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.10、B【解析】

根据表格进行逻辑推理即可得到结果.【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B层1班，政治1班，物理A层2班；（2）生物B层1班，政治1班，物理A层4班；（3）生物B层1班，政治2班，物理A层1班；（4）生物B层1班，政治2班，物理A层4班；（5）生物B层1班，政治3班，物理A层1班；（6）生物B层1班，政治3班，物理A层2班；（7）生物B层2班，政治1班，物理A层3班；（8）生物B层2班，政治1班，物理A层4班；（9）生物B层2班，政治3班，物理A层1班；（10）生物B层2班，政治3班，物理A层3班；共10种，故选B.【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题.11、D【解析】

通过命题的否定的形式进行判断．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，故“，”的否定是“，”.故选D.【点睛】本题考查全称命题的否定，属基础题.12、B【解析】

求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；【详解】f（x）的定义域为（﹣1，+∞），因为f′（x）a，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故选：B．【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据圆和椭圆的参数方程可假设出点坐标；根据共线、共线可得坐标；写出向量后，根据向量数量积运算法则可求得，从而可知当时，取得最小值，代入求得结果.【详解】由题意可设：，，则，，同理可得：当时，本题正确结果：【点睛】本题考查向量数量积的最值的求解问题，关键是能够灵活应用圆和椭圆的参数方程的形式，表示出所需的点的坐标，从而将问题转化为三角函数最值的求解问题.14、②④【解析】

逐项判断每个选项的正误得到答案.【详解】①当时，成立，但不成立，所以不具有必要性，错误②根据否命题的规则得命题“若，则”的否命题是“若，则”；，正确.③因为且”是“”的充分不必要条件，所以错误④因为且，所以“”是“”的必要不充分条件.正确.故答案为②④【点睛】本题考查了充分必要条件，否命题，意在考查学生的综合知识运用.15、【解析】

由题方程恰有两个不同的实数根，得与有2个交点，利用数形结合得a的不等式求解即可【详解】由题可知方程恰有两个不同的实数根，所以与有2个交点，因为表示直线的斜率，当时，，设切点坐标为，，所以切线方程为，而切线过原点，所以，，，所以直线的斜率为，直线与平行，所以直线的斜率为，所以实数的取值范围是.故答案为【点睛】本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，考查切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意临界位置的开闭，是易错题16、【解析】

由复数的运算法则可得，结合题意得到关于的方程，解方程即可确定实数的值.【详解】由复数的运算法则可得：，复数为纯虚数，则：，据此可得：.故答案为．【点睛】本题主要考查复数的运算法则，纯虚数的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、A=【解析】

运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A【详解】由特征值、特征向量定义可知，Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单18、（1）（2）见解析.【解析】（1）设椭圆方程为则∴椭圆方程∵直线l平行于OM，且在轴上的截距为m又∴l的方程为：由∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，∴m的取值范围是（2）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2=0即可设可得而∴k1＋k2=0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.点睛：解答本题的第一问是，直接依据题设条件建立含方程组，通过解方程组求出基本量，进而确定椭圆的标准方程，再联立直线与椭圆的方程组成的方程组，借助交点的个数建立不等式求出参数的取值范围；求解第二问时，依据题意先将问题转化为证明直线的斜率之和为0的问题来处理，再联立直线与椭圆的方程组成的方程组，借助坐标之间的关系进行推证而获解．19、（1）见解析；（2）平面与平面所成锐二面角的正弦值为.【解析】试题分析:（1）先证得平面,再根据面面垂直的判定定理得出结论;(2)建立合适的空间直角坐标系,分别求出平面AEF和平面ABE的法向量,利用二面角的公式求解即可.试题解析:（1）∵平面,∴平面,又平面,∴平面平面.（2）设与的交点为,建立如图所示的空间直角坐标系,则，∴设平面的法向量为，则，即，令，则，∴.设平面的法向量为，则，即，令，则，∴.∴，∴，∴平面与平面所成锐二面角的正弦值为.20、（1）;（2）相切.【解析】

（1）根据互化公式可得；（2）根据点到直线的距离与半径的关系可得．【详解】解：（1）由得，得，即直角坐标方程为：．（2）由，消去得，则圆心到直线的距离等于圆的半径，所以直线与圆相切．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了直线与圆的位置关系.一般地，已知极坐标方程时，通过变形整理，将方程中的，分别代换为即可.判断直线与圆的位置关系时，可通过联立方程，由判别式判断交点个数；也可求出圆心到直线的距离，与半径进行比较.21、（1）；（2）.【解析】

（1）根据条件列方程组，根据首项和公差求通项公式；（2）数列是等比数列，根据等比数列的前项求和公式求解.【详解】设等差数列的首项为，公差，解得：；（2），，是公比为8，首项为的等比数列，.【点睛】本题考查等差和等比数列的基本量的求解，属于基础题型，只需熟记公式.22、(1)见解析;(2).【解析】

（1）根据已知可得和，由线面垂直判定定理可证平面，再由面面垂直判定定理证得平面⊥平面.（2）解法一：向量法，设，以为原点，作，以的方向分别为轴，轴的正方向，建空间直角坐标系，求得的坐标，运用向量的坐标表示和向量的垂直条件，求得平面和平面的的法向量，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求的值.解法二：三垂线法，连接AC交BD于O，连接EO、FO，过点F做FM⊥EC于M，连OM，由已知可以证明FO⊥面AEC，∠FMO即为二面角A-EC-F的平面角，通过菱形的性质、勾股定理和等面积法求得cos∠FMO，得到答案.解法三：射影面积法，连接AC交BD于O，连接EO、FO，根据已知条件计算，，二面角的余弦值cosθ=，即可求得答案.【详解】（1）证明：连结四边形是菱形，，⊥平面，平面，，，平面，平面，平面，平面⊥平面.（2）解：解法一：设，四边形是菱形，，、为等边三角形，，是的中点，，⊥平面，，在中有，，，以为原点，作，以的方向分别为轴，轴的正方向，建空间直角坐标系如图所示，则所以，，设平面的法向量为，由得设，解得.设平面的法向量为，由得设，解得.设二面角的为，则结合图可知，二面角的余弦值为.解法二：∵EB⊥面ABCD，∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角在Rt△EAB中，cos∠EAB=又AB=2,∴AE=∴EB=DF=1连接AC交BD于O，连接EO、FO菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2矩形BEFD中，F