2023年广东省梅州市平远县中考数学一模试卷（含解析）

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一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）若|a|＝2，则a＝（）

A．﹣2B．C．2D．±2

2．（3分）下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

3．（3分）2023年第一季度，广东省国民生产总值超过30000亿元，比去年同期增长4%．将“30000”用科学记数法表示为（）

A．0.3×105B．30×103C．3×104D．3×105

4．（3分）下列运算正确的是（）

A．2x2+3x3＝5x5B．（﹣2x）3＝﹣6x3

C．（x+y）2＝x2+y2D．（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2

5．（3分）如图是由6个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取一点，那么这个点取在阴影部分的概率是（）

A．B．C．D．1

6．（3分）如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（）

A．61°B．60°C．59°D．58°

7．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（）

A．

B．

C．

D．

8．（3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（）

A．B．

C．D．

9．（3分）如图，CD是半圆O的直径，点A，B是半圆上的两点，已知∠ABC＝140°，CD＝4，则AC的弧长为（）

A．B．C．D．

10．（3分）若（x1，y1），（x2，y2）是抛物线y＝x2+4x+3上两点，则以下说法正确的是（）

A．当x1＞x2时，y1＞y2

B．若x2＝2x1，则y2＝2y1

C．y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1﹣x2+4）

D．当x1+x2＝﹣4时，y1＝y2

二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11．（3分）因式分解：9a2﹣1＝．

12．（3分）若3xmy与﹣5x2yn是同类项，则m+n＝．

13．（3分）一个正n边形的一个外角是45o，那么n＝．

14．（3分）如图，AE是△ABC的外角∠CAD的平分线，且AB＝AC，∠ABC＝65°，则∠DAE＝°．

15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，P，Q分别为BC，CD上一点，且BP＝CQ，连接PQ，则PQ的最小值是．

三．解答题（共8小题，满分75分）

16．（7分）计算：．

17．（8分）先化简：÷（1﹣），然后从2，0，﹣2中选一个合适的数代入求值．

18．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝7．

（1）用尺规作BC边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若BC边的垂直平分线交AC于D、交BC于E；连接BD，求△ABD的周长．

19．（8分）为了解某校七年级学生每周课外阅读平均时间的情况，随机抽查了该校七年级m名同学，对他们每周课外阅读平均时间进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图：

（1）根据以上信息回答下列问题：

①m＝；

②扇形统计图中阅读平均时间为5小时的扇形圆心角的度数为；

③补全条形统计图；

（2）直接写出这组数据的众数、中位数，并求这组数据的平均数．

20．（10分）为落实“双减”政策，某校让学生每天体育锻炼1小时，同时购买了甲、乙两种不同的足球．已知购买甲种足球共花费2500元，购买乙种足球共花费2000元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花30元．

（1）求两种足球的单价；

（2）为进一步推进课外活动，学校再次购买甲、乙两种足球共50个，若学校此次购买两种足球总费用不超过3000元，则学校至多购买乙种足球多少个？

21．（10分）如图在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象交于A、B两点与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3n，n）和（m，﹣3）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）请直接写出不等式x﹣2的解集；

（3）点P为反比例函数y＝图象的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标．

22．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．

（1）求∠CDE的度数；

（2）求证：DF是⊙O的切线；

（3）若BD平分∠ADC，AD＝4，tan∠E＝2，求AB的长．

23．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当的值最大时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线上，当△APQ是直角三角形时，直接写出点Q的坐标．

2023年广东省梅州市平远县中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．解：∵|2|＝2，|﹣2|＝2，|a|＝2，

∴a＝±2，

故选：D．

2．解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；

D、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．

故选：D．

3．解：30000＝3×104．

故选：C．

4．解：A选项，2x2与3x3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；

B选项，原式＝﹣8x3，故该选项计算错误，不符合题意；

C选项，原式＝x2+2xy+y2，故该选项计算错误，不符合题意；

D选项，原式＝22﹣（3x）2＝4﹣9x2，故该选项计算正确，符合题意；

故选：D．

5．解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的＝，

即这个点取在阴影部分的概率是，

故选：B．

6．解：∵a∥b，

∴∠1＝∠DBC，

∵∠DBC＝∠A+∠2，

＝28°+31°

＝59°．

故选：C．

7．解：，

解不等式①得：x＜﹣2，

解等式②得：x≤﹣4，

∴不等式组的解集为：x≤﹣4，

在数轴上表示如图：

故选：D．

8．解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为：．

故选：A．

9．解：连接AD．

∵∠ACB+∠ADB＝180°，

∵∠ACB＝140°，

∴∠ADB＝40°，

∴∠AOC＝2∠ADB＝80°，

∴AC的弧长＝＝．

故选：B．

10．解：∵y1＝+4x1+3，y2＝+4x2+3，

∴y1﹣y2＝+4x1+3﹣（+4x2+3）

＝（﹣）+4（x1﹣x2）

＝（x1+x2）（x1﹣x2）+4（x1﹣x2）

＝（x1﹣x2）（x1+x2+4），

A、若x1＞x2时，

∴x1﹣x2＞0，

当（x1+x2+4）＞0时，y1＞y2，当（x1+x2+4）＜0时，y1＜y2，故A说法错误，不合题意；

B、若x2＝2x1，

则y1＝+4x1+3，y2＝4+8x1+3，

∴y2≠2y1，故B说法错误，不合题意；

C、y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1+x2+4），故C说法错误，不合题意；

D、当x1+x2＝﹣4时，y1﹣y2＝0，

∴y1＝y2，故D说法正确，符合题意．

故选：D．

二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11．解：9a2﹣1＝（3a）2﹣12＝（3a+1）（3a﹣1）

故答案为：（3a+1）（3a﹣1）．

12．解：∵3xmy与﹣5x2yn是同类项，

∴m＝2，n＝1，

∴m+n＝2+1＝3．

故答案为：3．

13．解：∵正n边形的一个外角是45°，n边形的外角和为360°，

∴n＝360÷45＝8．

故答案为：8．

14．解：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵AE平分∠CAD，

∴∠DAE＝∠CAE，

∵∠CAD＝∠B+∠C＝∠DAE+∠CAE，

∴∠DAE＝∠ABC＝65°．

故答案为：65．

15．解：设PB＝CQ＝x，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝6，

∴PC＝6﹣x，

∵PQ2＝CQ2+PC2，

∴PQ＝＝，

∴PQ的最小值是＝3．

故答案为：3．

三．解答题（共8小题，满分75分）

16．解：

＝

＝．

17．解：÷（1﹣）

＝÷

＝÷

＝

＝x﹣2，

要使分式÷（1﹣）有意义，x+2≠0且x﹣2≠0，

所以x不能为﹣2和2，

取x＝0，

当x＝0时，原式＝0﹣2＝﹣2．

18．解：（1）如图，DE即为所求；

（2）∵DE是BC边的垂直平分线，

∴BD＝DC，

∵AB＝3，AC＝7，

∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+AC＝3+7＝10．

19．解：（1）①m＝15＝60（人），

故答案为：60；

②扇形统计图中阅读平均时间为5小时的扇形圆心角的度数为：360＝30°，

故答案为：30°；

③样本中课外阅读时间为3小时的学生人数为：60﹣10﹣15﹣10﹣5＝20（人），

补全条形统计图如图所示：

（2）样本中学生每周课外阅读平均时间出现次数最多的是3小时，共有20人，因此众数是3；

样本中60名学生每周课外阅读平均时间从小到大排列，处在中间位置的两个数都是3小时，因此中位数是3；

学生每周课外阅读平均时间平均数为：＝2.75（小时），

答：学生每周课外阅读平均时间的平均数是2.75小时，中位数是3小时，众数是3小时．

20．解：（1）设甲种足球的单价是x元，则乙种足球的单价是（x+30）元，

根据题意得：＝×2，

解得：x＝50，

经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意，

∴x+30＝50+30＝80．

答：甲种足球的单价是50元，乙种足球的单价是80元；

（2）设学校购买乙种足球y个，则购买甲种足球（50﹣y）个，

根据题意得：50（50﹣y）+80y≤3000，

解得：y≤，

又∵y为正整数，

∴y的最大值为16．

答：学校至多购买乙种足球16个．

21．解：（1）把点A（3n，n）代入直线y＝x﹣2得：

n＝3n﹣2，

解得：n＝1，

∴点A的坐标为：（3，1），

∵反比例函数y＝的图象过点A，

∴k＝3×1＝3，

即反比例函数的解析式为y＝，

（2）把点B（m，﹣3）代入直线y＝x﹣2得，﹣3＝m﹣2，

解得m＝﹣1，

∴B（﹣1，﹣3），

观察函数图象，发现：

当﹣1＜x＜0或x＞3时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，

∴不等式x﹣2的解集为﹣1＜x＜0或x＞3；

（3）把y＝0代入y＝x﹣2得：x﹣2＝0，

解得：x＝2，

即点C的坐标为：（2，0），

∴S△AOC＝2×1＝1，

∵S△POC＝3S△AOC，

∴S△POC＝OC|yP|＝3，即2×|yP|＝3，

∴|yP|＝3，

当点P的纵坐标为3时，则3＝，解得x＝1，

当点P的纵坐标为﹣3时，则﹣3＝，解得x＝﹣1，

∴点P的坐标为（1，3）或（﹣1，﹣3）．

22．（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°，

∴∠CDE＝90°；

（2）证明：连接DO，

∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，

∴DF＝FC，

∴∠FDC＝∠FCD，

∵OD＝OC，

∴∠OCD＝∠ODC，

∵∠OCF＝90°，

∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，

∴DF是⊙O的切线；

（3）解：连接OB，过点B作BM⊥AD于M，

∵∠ACD+∠DCE＝90°，∠DCE+∠E＝90°，

∴∠ACD＝∠E，

∴tan∠ACD＝＝2，

∵AD＝4，

∴CD＝2，

∴AC＝＝＝2，

∵BD平分∠ADC，

∴，∠BDC＝∠ADB＝45°，

∴AB＝BC，

∵∠ABC＝90°，

∴AB＝AC＝．

23．解：（1）由题意得，

∴，

∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图1，作PE∥AB交BC的延长线于E，

设P（m，﹣m2+2m+3），

∵抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3，

令y＝0，得0＝﹣x2+2x+3，解得x1＝﹣1，x2＝3，

∴B（3，0），

∵C（0，3），

∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，

由﹣x+3＝﹣m2+2m+3得，x＝m2﹣2m，

∴E（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），

∴PE＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，

∵PE∥AB，

∴△PDE∽△ADB，

∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，

∴当m＝时，的值最大，

当m＝时，y＝﹣（）2+2×+3＝，

∴点P的坐标为（，）；

（3）设Q（n