湖南省长沙市宗第一中学高三数学文期末试卷含解析

湖南省长沙市宗第一中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线在第一象限内与C1交于点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出C1：x2=2py在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．【解答】解：由抛物线C1：x2=2py（p＞0），可得焦点坐标为F（0，）．由双曲线C2：得a=，b=1，c=2．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为px+4y﹣2p=0①．设该直线交抛物线于M（x0，），则C在点M处的切线的斜率为．由题意可知=，得x0=p，代入M点得M（p，p）把M点代入①得：p×p+4×p﹣2p=0．解得p=．故选：D．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．2.一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球中至少有1个是红球的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，这2个球中至少有1个是红球的对立事件是这2个球都不是红球，由此能求出这2个球中至少有1个是红球的概率．【解答】解：一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，基本事件总数n=，这2个球中至少有1个是红球的对立事件是这2个球都不是红球，这2个球中至少有1个是红球的概率是p=1﹣=1﹣=．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．3.在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣3）2+y2=1相交”发生的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CF：几何概型．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆（x﹣3）2+y2=1的圆心为（3，0），半径为1．要使直线y=kx与圆（x﹣3）2+y2=1相交，则圆心到直线y=kx的距离＜1，解得﹣＜k＜．在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1相交”发生的概率为=．故选：B．【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．4.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7 B．12 C．17 D．34参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．5.若则(

)

A．a<b<c

B．a<c<b

C．c<a<b

D．b<c<a参考答案：B6.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有、种

、种

、种

、种参考答案：A7.函数的图象大致是A. B.C.

D.参考答案：A本题主要考查函数的图像与性质，考查了分析问题与解决问题的能力.由函数的奇偶性的定义可知，函数是奇函数，故排除C；令x=2，y>0,排除D；令,y<0,排除B，故答案为A.8.观察下列各式：，，则的末两位数字为（

）A.01 B.43 C.07 D.49参考答案：B9.已知集合，且、都是全集的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知0＜a＜1，x=loga+loga，y=loga5，z=loga﹣loga，则(

)A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．z＞x＞y参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【分析】先化简x、y、z然后利用对数函数的单调性，比较大小即可．【解答】解：x=loga+loga=loga，y=loga5=loga，z=loga﹣loga=loga，∵0＜a＜1，又＜＜，∴loga＞loga＞loga，即y＞x＞z．故选C．【点评】本题考查对数函数的性质，对数的化简，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（几何证明选讲）如图，已知是⊙的切线，是切点，直线交⊙于两点，是的中点，连接并延长交⊙于点，若，则

．参考答案：12.若实数满足，则的取值范围是

参考答案：试题分析：不等式对应的区域如图，设，则的几何意义是区域内的点与原点的斜率，由，得，即，此时的斜率由，得，即，此时的斜率，则，故的答案为考点：线性规划的应用13.如图，平行四边形的两对角线交于点，点是的中点.若，，且，则

.参考答案：略14.对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间和常数c，使得对任意x1,都有，且对任意x2D,当时，恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数为R上的“平顶型”函数；③函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当时，函数，是区间上的“平顶型”函数.其中正确的是________.(填上你认为正确结论的序号）参考答案：①④15.若α∈，且sinα＝，则sin＋cos＝

．参考答案：【知识点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数.C2,C5【答案解析】解析：解：∵，且，∴cosα=﹣,又=cosα∴=×（﹣）=故答案为【思路点拨】由题设条件知本题是一个三角化简求值题，可先由同角三角函数的基本关系求出角α的余弦，再由正弦的和角公式，余弦的和角公式将展开成用角α的余弦，正弦表示，代入值即可求得答案16.不等式组所表示的平面区域的面积等于________．参考答案：17.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为．参考答案：4π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设出球的半径，求出球的体积，利用圆锥与球的体积相等，圆锥的高为1，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为：r，则球的体积为：．∵圆锥与球的体积相等，圆锥的高为1，∴=，∴r=1，∴球的表面积为：4πr2=4π．故答案为：4π．【点评】本题考查圆锥与球的表面积与体积，考查计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax+1nx（a∈R），g（x）=ex．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a=0时，g（x）＞f（x）+2．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f（x）的定义域是（0，+∞），导函数，通过10当a≥0时；20当a＜0时，求解函数的单调区间．（2）求出函数的定义域，化简令F（X）=ex﹣lnx，求出导函数，通过二次求导，求出函数的最值，判断导数的符号，得到函数的单调性，然后求解函数的最值即可．【解答】（本小题满分12分）解（1）f（x）的定义域是（0，+∞），10当a≥0时，f'（x）＞0，所以在（0，+∞）单调递增；20当a＜0时，由f'（x）=0，解得．则当时．f'（x）＞0，所以f（x）单调递增．当时，f'（x）＜0，所以f（x）单调递减．综上所述：当a≥0时，f（x）增区间是（0，+∞）；当a＜0时，f（x）增区间是，减区间是．

…（2）f（x）=lnx，f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞），令F（X）=ex﹣lnx，，，所以F'（x）单调递增因为，所以存在唯一使得，∴且当x∈（0，x0）时F'（x）＜0，F（x）递减；当x∈（x0，+∞）时F'（x）＞0，F（x）当递增；所以故g（x）＞f（x）+2．

…19.(本小题满分13分)某学校在一次庆祝活动中组织了一场知识竞赛，该竞赛设有三轮，前两轮各有四题，只有答正确其中三题，才能进入下一轮，否则将被淘汰。最后第三轮有三题，这三题都答对的同学获得奖金500元．某同学参与了此次知识竞赛，且该同学前两轮每题答正确的概率均为，第三轮每题答正确的概率，各题正确与否互不影响．在竞赛过程中，该同学不放弃所有机会．（1）求该同学能进入第三轮的概率；（2）求该同学获得500元奖金的概率.参考答案：（1）设该同学能进入第三轮为事件A，则高考资源网

（2）该同学获得500元奖金的概率.=

=

20.坐标系与参数方程已知直线:（t为参数），圆:

(为参数)，（Ⅰ)当=时，求与的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点作的垂线，垂足为,为的中点，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.

参考答案：（1）连接、，则

又是BC的中点，所以

又，

所以.。。。。。。。。。。。3分

所以

所以、、、四点共圆

。。。。。。。5分

（2）延长交圆于点

因为.。。。。。7分

所以所以。。。。。。。。。。10分略21.（13分）解析：已知定圆圆心为A，动圆M过点B(1,0)且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C.

（I）求曲线C的方程；

（II）若点为曲线C上一点，求证：直线与曲线C有且只有一个交点.参考答案：

解析：（I）解：圆A的圆心为，设动圆M的圆心由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|=r1—r2，即|MA|+|MB|=4，所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设椭圆方程为，由故曲线C的方程为

…………6分

（II）解：当，消去

①由点为曲线C上一点，于是方程①可以化简为

解得，综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为.

…………1322.在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：；（2）若AC=3，求AP?AD的值．参考答案：考点：相似三角形的性质；相似三角形的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）先由角相等∠CPD=∠ABC，∠D=∠